有限元，變分法
關注創建者：Orlando 創建時間：2019-10-26
有限元，變分法的實例教程
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
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把所有單元的變形勢能疊加，求最小值就可得出真實的位移解。
有限元的理論研究主要是對各種單元的研究，如三角形單元、四邊形單元，以及包含各種力學理論的梁單元、板殼單元和實體單元等。
有限元法的快速發展主要在20世紀40年代，由于對飛機結構進行精確的設計和計算需求，研究人員逐漸發展出了的結構力學中的矩陣位移法，結構力學中的離散思想應用于彈性力學問題求解，就為有限元法的誕生創造了條件。1943年，Courant發表了第一篇使用三角形區域的多項式函數來求解扭轉問題的論文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機結構時系統研究了離散桿、梁、三角形的單元剛度表達式；1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名稱。1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關有限元分析的專著。有限元方法的發展歷程可參見下圖。
有限元發展過程 （曾攀：有限元分析基礎教程）
雖然，有限元法最初是用來求解力學問題的，但現在有限元已經不再局限于力學問題，一切可以用微分方程描述的問題，如電磁學、熱力學、滲流等問題都可以用有限元方法來求解。當今，有限元技術已深入到機車、建筑、大跨度橋梁、精密設備等幾乎所有的行業領域內，在優化結構設計、減少成本方面展現出了不容忽視的重要價值。
參考資料：
曾攀：有限元分析基礎教程
吳家龍：彈性力學
徐芝綸：彈性力學
公眾號：陸姐說（做有限元一定要關注）
公眾號：馬同學高等數學
來源：力學酒吧
作者：張偉偉
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變分法 有限無法和外推.part1.rar
變分法 有限無法和外推.part2.rar
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
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有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。
1.非線性有限元的變分法推導和有限元求解完整過程程序講解
2.Cohesive 模型簡介及其UEL實現
課程對象
低年級研究生和在校大學生，學習UEL二次開發的研究生
培訓時間
8月6日19：30
主講講師簡介
彭旭斌
固體力學博士在讀 ，比較擅長內聚力模型和UEL編寫。
區別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規則邊界，幾何形狀復雜精度較低；里茲法：根據描述問題的微分方程和相應的定解構造等價的泛函表達式，求得近似解；有限元：基于變分法，采用分片近似進而逼近總體的求解微分方程的數值計算方法。
在《雞兔同籠與彈性力學的方程體系》中已經看到，彈性力學的理論體系是以應力分量、應變分量和位移分量為未知量，利用力學原理構造出平衡方程、幾何方程和物理方程，并結合邊界條件求得彈性力學未知量。
更進一步，在空間坐標系下，應力分量和應變分量各為6個、位移分量為3個，共15個量，可列出15個方程組成的方程組，如下：
在數學上要求解這15個量必須進行“消元”，彈性力學中的“消元”主要有兩類，一是將所有未知量均用應力來表示
1 有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式
在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形 網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。
DEFORM軟件的安裝
1.3 DEFORM5.03的主界面
1.4 DEFORM-3D軟件的模塊結構
第2章 金屬塑性成形理論基礎
2.1 引言
2.2 自由鍛
2.3 模鍛
2.4 板料沖壓
2.5 擠壓
2.6 拉拔
2.7 軋制
第3章 金屬塑性變形力學基礎
3.1 金屬塑性變形的實質
3.2 金屬的塑性與變形抗力
3.3 應力分析與應變分析
第4章 金屬塑性變形有限元與變分法原理
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3.2 金屬的塑性與變形抗力
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第4章 金屬塑性變形有限元與變分法原理
