有限元，變分法的案例
有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別 附有限體積法基礎(chǔ)文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。常見的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 變分法有限元法和外推法
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變分法與有限元思想
把所有單元的變形勢能疊加，求最小值就可得出真實(shí)的位移解。
有限元的理論研究主要是對各種單元的研究，如三角形單元、四邊形單元，以及包含各種力學(xué)理論的梁單元、板殼單元和實(shí)體單元等。
有限元法的快速發(fā)展主要在20世紀(jì)40年代，由于對飛機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算需求，研究人員逐漸發(fā)展出了的結(jié)構(gòu)力學(xué)中的矩陣位移法，結(jié)構(gòu)力學(xué)中的離散思想應(yīng)用于彈性力學(xué)問題求解，就為有限元法的誕生創(chuàng)造了條件。1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的論文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元剛度表達(dá)式；1960年Clough在處理平面彈性問題，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名稱。1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關(guān)有限元分析的專著。有限元方法的發(fā)展歷程可參見下圖。
有限元發(fā)展過程 （曾攀：有限元分析基礎(chǔ)教程）
雖然，有限元法最初是用來求解力學(xué)問題的，但現(xiàn)在有限元已經(jīng)不再局限于力學(xué)問題，一切可以用微分方程描述的問題，如電磁學(xué)、熱力學(xué)、滲流等問題都可以用有限元方法來求解。當(dāng)今，有限元技術(shù)已深入到機(jī)車、建筑、大跨度橋梁、精密設(shè)備等幾乎所有的行業(yè)領(lǐng)域內(nèi)，在優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、減少成本方面展現(xiàn)出了不容忽視的重要價值。
參考資料：
曾攀：有限元分析基礎(chǔ)教程
吳家龍：彈性力學(xué)
徐芝綸：彈性力學(xué)
公眾號：陸姐說（做有限元一定要關(guān)注）
公眾號：馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)
來源：力學(xué)酒吧
作者：張偉偉
展開 介紹有限元變分法
一種變分法推薦學(xué)習(xí)
變分法 有限無法和外推.part1.rar
變分法 有限無法和外推.part2.rar
有限差分、有限元及有限體積法概述
有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式?？紤]時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。
有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區(qū)別
1 有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定條件來決定。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。
2 有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。
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培訓(xùn)內(nèi)容
目前，一般高校都會開設(shè)簡單的有限元課程和有限元軟件的學(xué)習(xí)，大多集中在線性有限元的傳授，然而非線性有限元在實(shí)際工程和科學(xué)研究中是常用和重要的。因此，如何學(xué)習(xí)或者說入門非線性有限元就很有必要了。此外，非線性也是固體力學(xué)的難點(diǎn)。
1.非線性有限元的變分法推導(dǎo)和有限元求解完整過程程序講解
2.Cohesive 模型簡介及其UEL實(shí)現(xiàn)
課程對象
低年級研究生和在校大學(xué)生，學(xué)習(xí)UEL二次開發(fā)的研究生
培訓(xùn)時間
8月6日19：30
主講講師簡介
彭旭斌
固體力學(xué)博士在讀 ，比較擅長內(nèi)聚力模型和UEL編寫。
費(fèi)用：免費(fèi)
點(diǎn)擊圖片或點(diǎn)擊鏈接報(bào)名：https://www.yqgqt.org.cn/live/10773
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目錄
前言
第1章 DEFORM簡介
1.1 DEFORM軟件簡介
1.2 DEFORM軟件的安裝
1.3 DEFORM5.03的主界面
1.4 DEFORM-3D軟件的模塊結(jié)構(gòu)
第2章 金屬塑性成形理論基礎(chǔ)
2.1 引言
2.2 自由鍛
2.3 模鍛
2.4 板料沖壓
2.5 擠壓
2.6 拉拔
2.7 軋制
第3章 金屬塑性變形力學(xué)基礎(chǔ)
3.1 金屬塑性變形的實(shí)質(zhì)
3.2 金屬的塑性與變形抗力
3.3 應(yīng)力分析與應(yīng)變分析
第4章 金屬塑性變形有限元與變分法原理
4.1 有限變形的應(yīng)變度量和應(yīng)力度量
4.2 靜力平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件
4.3 有限應(yīng)變彈塑性有限元分析
4.4 剛粘塑性有限元法的基本原理
第5章 DEFORMtm-3D
5.1 DEFORM軟件操作流程概述
5.2 STL文件的生成
第6章 DEFORM5.03功能介紹
6.1 文件視圖功能操作
6.2 前處理功能操作
6.3 后處理功能操作
第7章 鍛壓模擬
7.1 鍛壓模擬前處理
7.2 進(jìn)行鍛壓模擬運(yùn)算
7.3 鍛壓模擬后處理
第8章 方環(huán)鐓粗模擬
8.1 引言
8.2 創(chuàng)建新項(xiàng)目
8.3 創(chuàng)建新對象
8.4 設(shè)定對稱邊界條件
8.5 對象間關(guān)系的設(shè)定
8.6 模擬控制信息設(shè)定和生成數(shù)據(jù)庫
8.7 方環(huán)鐓粗后處理
第9章 道釘成形模擬
9.1 引言
9.2 工件與外界的熱傳導(dǎo)模擬
9.3 工件與下模熱傳遞模擬
9.4 第一鍛造過程
9.5 第二鍛造過程
9.6 模具的應(yīng)力分析
第10章 切削加工的模擬分析
10.1 模型參數(shù)設(shè)定
10.2 DEFORM-3D軟件的前處理過程
10.3 刀具特性分析設(shè)置
10.4 后處理分析
第11章 鋼管熱擴(kuò)實(shí)例
11.1 問題描述
11.2 軟件模擬過程
11.3
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3.2 金屬的塑性與變形抗力
3.3 應(yīng)力分析與應(yīng)變分析
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4.2 靜力平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件
4.3 有限應(yīng)變彈塑性有限元分析
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8.2 創(chuàng)建新項(xiàng)目
8.3 創(chuàng)建新對象
8.4 設(shè)定對稱邊界條件
8.5 對象間關(guān)系的設(shè)定
8.6 模擬控制信息設(shè)定和生成數(shù)據(jù)庫
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10.3 刀具特性分析設(shè)置
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第2章 金屬塑性成形理論基礎(chǔ)
2.1 引言
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第3章 金屬塑性變形力學(xué)基礎(chǔ)
3.1 金屬塑性變形的實(shí)質(zhì)
3.2 金屬的塑性與變形抗力
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4.1 有限變形的應(yīng)變度量和應(yīng)力度量
4.2 靜力平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件
4.3 有限應(yīng)變彈塑性有限元分析
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7.1 鍛壓模擬前處理
7.2 進(jìn)行鍛壓模擬運(yùn)算
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8.1 引言
8.2 創(chuàng)建新項(xiàng)目
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9.1 引言
9.2 工件與外界的熱傳導(dǎo)模擬
9.3 工件與下模熱傳遞模擬
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9.6 模具的應(yīng)力分析
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11.1 問題描述
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有限元法的概述
隨著電子計(jì)算機(jī)的飛躍發(fā)展和廣泛使用，已逐步趨向于采用數(shù)值方法來求解復(fù)雜的工程實(shí)際問題，而有限元法是這方面的一個比較新穎并且十分有效的數(shù)值方法。
有限元法是根據(jù)變分法原理來求解數(shù)學(xué)物理問題的一種數(shù)值計(jì)算方法。由于工程上的需要，特別是高速電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展與應(yīng)用，有限元法才在結(jié)構(gòu)分析矩陣方法 基礎(chǔ)上，迅速地發(fā)展起來，并得到越來越廣泛的應(yīng)用。
有限元法所以能得到迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用，除了高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與發(fā)展提供了充分有利的條件以外，還與有限元法本身的所具有的優(yōu)越性分不開的。其中主要有：
1）可完成一般力學(xué)中無法解決的對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的分析問題。
2）引入邊界條件的辦法簡單，為編編通用化的程序帶來了極大的簡化。
3）有限元法不僅適應(yīng)于復(fù)雜的幾何形狀和邊界條件，而且能應(yīng)用于復(fù)雜的材料性質(zhì)問題。它還成功地用來求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)以及電磁場、生物力學(xué)等領(lǐng)域的問題。它幾乎適用于求解所有關(guān)于連續(xù)介質(zhì)和場的問題。
有限元法的應(yīng)用與電子計(jì)算機(jī)緊密相關(guān)，由于該法采用矩陣形式表達(dá)，便于編制計(jì)算機(jī)程序，可以充分利用高速電子計(jì)算機(jī)所提供的方便。因而，有限元法已被公認(rèn)為工程分析的有效工具，受到普遍的重視。隨著機(jī)械產(chǎn)品日益向高速、高效、高精度和高度自動化技術(shù)方向發(fā)展，有限元法在現(xiàn)代先進(jìn)制造技術(shù)的作用和地位也越來越顯著，它已經(jīng)成為現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的一種重要的且必不可少的工具。
展開 學(xué)習(xí)有限元需了解的知識點(diǎn)
是如何將無限自由度問題轉(zhuǎn)化為有限自由度問題的？
答：基本思想：幾何離散和分片插值。
基本步驟：結(jié)構(gòu)離散、單元分析和整體分析。
離散的含義：用假想的線或面將連續(xù)物體分割成由有限個單元組成的集合，且單元之間僅在節(jié)點(diǎn)處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點(diǎn)傳遞。當(dāng)單元趨近無限小，節(jié)點(diǎn)無限多，則這種離散結(jié)構(gòu)將趨近于實(shí)際的連續(xù)結(jié)構(gòu)。
2、 有限元法與經(jīng)典的差分法、里茲法有何區(qū)別？
區(qū)別：差分法：均勻離散求解域，差分代替微分，要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜精度較低；里茲法：根據(jù)描述問題的微分方程和相應(yīng)的定解構(gòu)造等價的泛函表達(dá)式，求得近似解；有限元：基于變分法，采用分片近似進(jìn)而逼近總體的求解微分方程的數(shù)值計(jì)算方法。
3、 一根單位長度重量為q的懸掛直桿，上端固定，下端受垂直向下的外力P，試
1） 建立其受拉伸的微分方程及邊界條件；
2） 構(gòu)造其泛函形式；
3） 基于有限元基本思想和泛函求極值構(gòu)造其有限元的計(jì)算格式（即最小勢能原理）。
4、 以簡單實(shí)例為對象，分別按虛功原理和變分原理導(dǎo)出有限元法的基本格式（單元剛度矩陣）。
5、 什么是節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)載荷？兩者有何區(qū)別？
答：節(jié)點(diǎn)力：單元與單元之間通過節(jié)點(diǎn)相互作用
節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載
6、 單元剛度矩陣和整體剛度矩陣各有何特點(diǎn)？其中每個矩陣元素的物理意義是什么（按自由度和節(jié)點(diǎn)解釋）？
答：單元剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正
整體剛度矩陣：對稱性、奇異性、主對角線恒為正、稀疏性、帶狀性。
Kij，表示j節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生單位位移、其他節(jié)點(diǎn)位移為零時作用i節(jié)點(diǎn)的力，節(jié)點(diǎn)力等于節(jié)點(diǎn)位移與單元剛度元素乘積之和。
7、 單元的形函數(shù)具有什么特點(diǎn)？有哪些性質(zhì)？
答：形函數(shù)的特點(diǎn)：Ni為x，y的坐標(biāo)函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。
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