在《雞兔同籠與彈性力學(xué)的方程體系》中已經(jīng)看到，彈性力學(xué)的理論體系是以應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量為未知量，利用力學(xué)原理構(gòu)造出平衡方程、幾何方程和物理方程，并結(jié)合邊界條件求得彈性力學(xué)未知量。

 

更進(jìn)一步，在空間坐標(biāo)系下，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量各為6個(gè)、位移分量為3個(gè)，共15個(gè)量，可列出15個(gè)方程組成的方程組，如下：

在數(shù)學(xué)上要求解這15個(gè)量必須進(jìn)行“消元”，彈性力學(xué)中的“消元”主要有兩類，一是將所有未知量均用應(yīng)力來(lái)表示，稱之為力法；二是將所有未知量均用位移來(lái)表示，稱之為位移法。

能量法是基于虛功原理和最小勢(shì)能原理發(fā)展的求解方法。在彈性力學(xué)中，虛功原理可以表述為在彈性體上，外力在任意一組幾何可能位移上作的功，等于任意一組靜力可能的應(yīng)力在上述幾何可能位移所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變上所作的功。在虛功原理基礎(chǔ)上發(fā)展出了彈性力學(xué)的基本原理——最小勢(shì)能原理，即在所有幾何可能的位移中，真實(shí)的位移使總勢(shì)能取最小值。

在自然界中廣泛存在著最小作用量原理（請(qǐng)參見(jiàn)淺說(shuō)最小作用量原理），該原理指出在自然界中的一切現(xiàn)象很可能都由一種作用量以最小化的方式進(jìn)行控制。例如一個(gè)穩(wěn)定的小球必定是在勢(shì)能最小的位置，光線的反射、折射、透射現(xiàn)象就是要光通過(guò)介質(zhì)的最小時(shí)間來(lái)控制的（費(fèi)馬原理），費(fèi)曼（Feynman）還利用最小作用量原理建立起了量子力學(xué)的理論體系等等。

龐加萊曾贊譽(yù)道“最小作用量原理迄今未經(jīng)觸動(dòng)，人們似乎相信他會(huì)比其他原理更久長(zhǎng)”。愛(ài)因斯坦則講到最小作用量原理似乎“使物理學(xué)家們窺探到了那么一點(diǎn)點(diǎn)“上帝”創(chuàng)造世界的秘密。”它的高度抽象，足以使它成為大自然最迷人、最美妙的原理之一，它的簡(jiǎn)潔性和普適性令人震撼。似乎在科學(xué)的范疇中，人類只需要找到合適的作用量去描述自然，一切皆可明朗！

最小勢(shì)能原理就是彈性力學(xué)中的最小作用量原理，利用最小勢(shì)能原理求解彈性力學(xué)問(wèn)題就必須先表示出彈性體的變形勢(shì)能。為了便于理解，我們選擇桿件的簡(jiǎn)單拉伸作為例子來(lái)解釋。如圖1所示桿件，受集中力P作用（本例題選自曾攀《有限元分析基礎(chǔ)教程》）

圖1

利用材料力學(xué)知識(shí)求解該問(wèn)題，得

以下我們來(lái)看如何利用最小作用量原理來(lái)求解該題。顯然求解該題要先設(shè)出未知量，根據(jù)彈性力學(xué)選取未知量的方法，可以選擇應(yīng)力作為未知量、或者選擇位移分量作為未知量。根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變、位移之間的關(guān)系，設(shè)出位移，利用位移表示應(yīng)變、應(yīng)力是求導(dǎo)。相反設(shè)出應(yīng)力，利用應(yīng)力表示應(yīng)變和位移會(huì)出現(xiàn)積分（會(huì)涉及到積分常數(shù)），為方便起見(jiàn)，這里我們?cè)O(shè)出位移，由于本問(wèn)題是一維問(wèn)題，只有一個(gè)位移分量設(shè)為u(x)。

寫(xiě)出桿件的變形勢(shì)能，包括兩個(gè)部分，第一部分是梁在變形過(guò)程中儲(chǔ)存的應(yīng)變能U（線彈性），二是合外力所作的功W，即

傅立葉級(jí)數(shù)，可逼近任意函數(shù)。來(lái)源

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有限元就取了第二種方法，先將全域分為一個(gè)個(gè)子區(qū)域，即單元，然后構(gòu)造每個(gè)單元的內(nèi)能，通過(guò)疊加求到總內(nèi)能，依據(jù)最小勢(shì)能原理確定出位移解，繼而依據(jù)幾何方程和虎克定律求到應(yīng)變解和應(yīng)力解。

假設(shè)有一個(gè)截面不均勻變化的桿件，如下圖(a)所示。可見(jiàn)，這個(gè)桿件的受力分析要比圖1桿件復(fù)雜的多，如果我們對(duì)該桿件進(jìn)行離散化，如下圖(b)所示，將桿件分為若干小段，只要小段取的足夠短，在只考慮一維拉伸時(shí)（設(shè)想桿件很長(zhǎng)）就可以將每一段視為等截面的直桿,并且假設(shè)截面面積為該段的平均面積A^e（也可以用線性函數(shù)表示），這樣就將連續(xù)桿離散為了多個(gè)桿單元，并且每個(gè)單元都變成等截面直桿拉伸問(wèn)題。

 

任取出一段進(jìn)行分析，如圖5所示，設(shè)出兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分別為u₁和u₂，節(jié)點(diǎn)力假設(shè)為P₁和P₂，現(xiàn)在來(lái)看如何寫(xiě)單元的變形勢(shì)能。首先寫(xiě)應(yīng)變能時(shí)，需要整個(gè)單元上的應(yīng)力、應(yīng)變，因此需要構(gòu)造出整個(gè)單元上的位移。例如假設(shè)整個(gè)單元上位移近似為線性，就可以以節(jié)點(diǎn)位移為基準(zhǔn)點(diǎn)寫(xiě)出單元上的位移為

這里K^e稱為單元?jiǎng)偠染仃嚕⒁釧^e表示該單元的平均截面面積，為x的函數(shù)。把所有單元的變形勢(shì)能疊加，求最小值就可得出真實(shí)的位移解。

有限元的理論研究主要是對(duì)各種單元的研究，如三角形單元、四邊形單元，以及包含各種力學(xué)理論的梁?jiǎn)卧鍤卧蛯?shí)體單元等。

 

有限元法的快速發(fā)展主要在20世紀(jì)40年代，由于對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算需求，研究人員逐漸發(fā)展出了的結(jié)構(gòu)力學(xué)中的矩陣位移法，結(jié)構(gòu)力學(xué)中的離散思想應(yīng)用于彈性力學(xué)問(wèn)題求解，就為有限元法的誕生創(chuàng)造了條件。1943年，Courant發(fā)表了第一篇使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的論文；1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)研究了離散桿、梁、三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)式；1960年Clough在處理平面彈性問(wèn)題，第一次提出并使用“有限元方法”(finite element method)的名稱。1967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有關(guān)有限元分析的專著。有限元方法的發(fā)展歷程可參見(jiàn)下圖。

有限元發(fā)展過(guò)程 （曾攀：有限元分析基礎(chǔ)教程）

 

雖然，有限元法最初是用來(lái)求解力學(xué)問(wèn)題的，但現(xiàn)在有限元已經(jīng)不再局限于力學(xué)問(wèn)題，一切可以用微分方程描述的問(wèn)題，如電磁學(xué)、熱力學(xué)、滲流等問(wèn)題都可以用有限元方法來(lái)求解。當(dāng)今，有限元技術(shù)已深入到機(jī)車、建筑、大跨度橋梁、精密設(shè)備等幾乎所有的行業(yè)領(lǐng)域內(nèi)，在優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、減少成本方面展現(xiàn)出了不容忽視的重要價(jià)值。

參考資料：

曾攀：有限元分析基礎(chǔ)教程

吳家龍：彈性力學(xué)

徐芝綸：彈性力學(xué)

公眾號(hào)：陸姐說(shuō)（做有限元一定要關(guān)注）

公眾號(hào)：馬同學(xué)高等數(shù)學(xué)

來(lái)源：力學(xué)酒吧

作者：張偉偉