高斯積分法
關注創建者：sniper_5292 創建時間：2020-01-16
高斯積分法的視頻教程
abaqus云圖積分法求應力強度因子
本視頻詳細展示利用 Abaqus 軟件通過云圖積分法求應力強度因子的全過程。從模型構建、材料屬性設定、邊界條件施加等前處理操作，到精準運用云圖積分法進行計算，再到對計算結果的后處理分析與展示，為您清晰呈現每一個關鍵步驟與技術細節。
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ABAQUS中利用圍線積分法輸出裂紋尖端積分值
基于ABAQUS的官方幫助文檔，詳細講解了ABAQUS中裂紋體的創建方法+裂紋尖端奇異性單元的構件方法（多種單元類型計算精度對比）+裂尖積分值的輸出設置
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圍線積分法(Contour integral)求解裂紋前緣J積分與應力強度因子K
使用圍線積分(Contour integral)計算裂紋前緣J積分與應力強度因子K
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高斯積分法的實例教程
等參數公式描述-四節點四邊形單元-高斯積分法-python編程
當函數表達式比較復雜時，f(x)的原函數可能難以求出，而采用高斯積分，其省去了求f(x)原函數，只需要將數值代入f(x)的表達式即可求解。</p><p>到目前為止，高斯積分的公式已經介紹完成，那么有兩個最直接最現實的問題出現了：（1）f(x)的表達式是什么形式時適合采用高斯積分，精度怎么樣；（2）xi和wi的取值是多少。</p><p>關于（1），實踐表明，當f（x）的表達式為多項式時，高斯積分是合適的，并且，n點高斯積分可以準確積分2n-1次多項式。</p><p>關于（2），xi和wi的取值一般較多的有限元教科書中會給出數值，如果沒有給出數值，也可以用多項式手動算出具體值，另外，scipy庫，PETSc庫也直接給出了高斯積分的值和權重。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202308/f410d6e3bb89c8459660277304592181.png"></p><p>以下是高斯積分點積分多項式的一個例子：</p><div contenteditable="false" width="100%">
<img src="https://img.jishulink.com/upload/202308/865d98a129374c668e89080010b652c9.jpg" title="圖片4.jpg" alt="圖片4.jpg" style="max-width:760px;" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/202308/865d98a129374c668e89080010b652c9.jpg?
展開 可以輸出umat接口中的變量coords進行查看
write(*,"(A,I4)") "npt = ", npt
write(*,"(A,3ES16.8)") "coords = ", coords
結果為：
npt = 1
coords = -5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 2
coords = 5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 3
coords = -5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 4
coords = 5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02
因此Abaqus中平面應力單元高斯積分點的順序為：
展開 本課從實際問題出發，帶著問題去講解有限元中的高斯點與數值積分。一開始拋出了以下3個關鍵問題：
1.對于一個任意函數怎么去得到它的積分？
2.數值積分的本質是什么？為什么簡單地取幾個點就可得到積分值？此種方法的立足點在哪？
3.很多資料上都說“有限元求解精度嚴重依賴于網格質量，過度扭曲的單元會導致結果不收斂或者精度極度惡化”，這只是為什么呢？扭曲單元到底影響的是有限元方法中的哪一步？
圍繞這3個問題，本課分別講了一下三個內容：
1. 數值積分基本方法。
2. 有限元單元積分。
3. 誤差分析。
希望有興趣的同學多多支持下，你們的支持是我更新的動力
展開 本課從實際問題出發，帶著問題去講解有限元中的高斯點與數值積分。一開始拋出了以下3個關鍵問題：
1.對于一個任意函數怎么去得到它的積分？
2.數值積分的本質是什么？為什么簡單地取幾個點就可得到積分值？此種方法的立足點在哪？
3.很多資料上都說“有限元求解精度嚴重依賴于網格質量，過度扭曲的單元會導致結果不收斂或者精度極度惡化”，這只是為什么呢？扭曲單元到底影響的是有限元方法中的哪一步？
圍繞這3個問題，本課分別講了一下三個內容：
1. 數值積分基本方法。
2. 有限元單元積分。
3. 誤差分析。
本次課程分為上下兩課，第一課講了第一和第二個內容。關鍵詞是：數值積分的本質，有限元高斯積分（附件中包含1個小時的詳細課程視頻以及PPT）。
在第二課中，再繼續展開第三部分內容，誤差分析，解決問題“扭曲單元到底影響的是有限元方法中的哪一步”。
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高斯積分法的相關專題、標簽、搜索
高斯積分法的最新內容
07-通過多重積分法求解點接觸彈性變形Fortran和MATLAB程序，程序請見下文附件及百度網盤鏈接
06-通過多重積分法求解線接觸彈性變形Fortran和MATLAB程序，程序請見下文附件及百度網盤鏈接
可以輸出umat接口中的變量coords進行查看
write(*,"(A,I4)") "npt = ", npt
write(*,"(A,3ES16.8)") "coords = ", coords
結果為：
npt = 1
coords = -5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02
npt = 2
<p>高斯勒讓德積分是有限元中最常見的數值積分方法之一，在有限元中有著廣泛的應用。實際上，關于該積分方法的書籍和公眾號文章也已經較多，本文主要是基于現有的教程，基本上把該方法的具體理論和使用重復了一遍，另外基于常用的數值計算庫PETSc描述下在PETSc中如何使用高斯勒讓德積分（本文后續都將高斯勒讓德積分簡稱為高斯積分）。</p><p>高斯積分的具體公式如下：</p><div contenteditable
ETABS中有兩種彈塑性時程分析方法，分別是非線性模態分析法（FNA法）和非線性直接積分法。其中FNA適合于帶有少量非線性連接單元的結構，計算速度快是其主要優點，在減隔震分析中多被采用；而非線性直接積分法適用范圍更廣，適用于除時間相關效應外的所有非線性行為，適用性強是其主要優點，在大震彈塑性時程分析當中多被采用。本文主要介紹非線性直接積分法的相關設置與應用。
1.時程分析的步驟
1.1
主要圍繞以下內容進行展開：
直角坐標-極坐標-等參元坐標的相互轉換；
采用高斯積分法計算慣性矩積分公式；
粗網格（兩個8節點單元）離散計算域；
稀疏采樣計算的收斂速度非常非常快，某種意義上類似于高斯求積分法。稀疏采樣計算任意精度的MTF所使用的光線數量遠小于網格采樣。并且更重要的是，在夫瑯禾費理論適用的所有情況下，稀疏采樣的精度非常高。
由高斯積分法，函數在某個區域的積分可以看作在區域內某幾個點對應函數值的求和，寫成表達式的話有：
其中
有了數值積分的工具，我們就可以把上面求得的積分式算出來，我把他們全部列出來：
觀察上面的這些式子，我們看一下哪些值我們還沒有。首先，T是通過本構關系求得的，已經更新完畢；積分點的等參坐標都是給定的；t是參數，也是知道的；所以我們沒有的量是旋轉矩陣R和法向量n。
高斯積分點探測法
在面對面的接觸計算時，相比節點探測法來說，使用高斯積分點探測方法可以得到更加準確的計算結果。
在面對面的接觸中，如使用罰函數接觸算法或增廣拉格朗日算法時，Workbench默認的探測方法是高斯積分點法。
如上圖所示由于這種探測方法會造成接觸面之間的穿透，因此不適用于MPC 算法和一般拉格朗日算法。
在之前的文章[數值算法與編程]高斯消去法 中，本公眾號編寫了高斯消去法求解線性方程組的具體代碼。其具體算法如下：
（1）消元部分
（2）回代部分
很明顯，對于某些矩陣，使用上述算法可能會出現a(i,i)為0的情況，而一旦出現這種情況，該算法實際上就無法繼續進行求解。
以以下方程組為例：
上述方程組的系數矩陣為：
