FDTD中的邊界條件原創(chuàng)

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2025年9月16日 10:19

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前言

在時域有限差分法（FDTD）中，邊界條件在FDTD模擬中起著非常重要的作用，它們是開放建模區(qū)域用于截斷計算域所施加的條件，可以決定電磁波在邊界處的反射、透射和吸收等行為。我們將介紹FDTD模擬中網(wǎng)格截斷的幾種不同邊界條件，包括理想電導(dǎo)體（PEC）、理想磁導(dǎo)體（PMC）、周期邊界條件、bloch邊界條件、一階Mur吸收邊界條件以及PML邊界條件。其中mur邊界條件以及PML邊界條件都是吸收邊界，可以模擬光源激發(fā)的場傳播到無窮遠(yuǎn)處被完全吸收的情況，從而降低反射的光波對FDTD截斷區(qū)域的影響，這對FDTD的數(shù)值計算至關(guān)重要。

理想電導(dǎo)體和理想磁導(dǎo)體

當(dāng)PEC條件被應(yīng)用于截斷FDTD計算域時，它將使邊界上的切向電場為零。PEC可以理解為電導(dǎo)率無限大的材料。它的實際例子是波導(dǎo)和腔壁，以及微波電路或貼片天線的接地平面。

FDTD中的邊界條件的圖1

與PEC一樣，理想磁導(dǎo)體也是電磁波的一種自然邊界條件，也是全反射的。然而，與PEC不同的是，PMC不是物理的，它只是一種技巧。原則上，我們可以通過強制PMC表面上的切向磁場為零，來截斷計算域。

PEC和PMC經(jīng)常利用仿真的對稱性，以減小計算域的大小，或者用于截斷正入射平面波時的周期性結(jié)構(gòu)。

周期邊界條件和bloch邊界條件

周期邊界條件通常用于模擬周期性結(jié)構(gòu)，通過應(yīng)用這種邊界條件，F(xiàn)DTD計算域中的結(jié)構(gòu)和電磁場都被視為周期性的。這意味著在計算域內(nèi)，結(jié)構(gòu)和電磁場的變化會在一個周期內(nèi)重復(fù)。而Bloch邊界條件主要適用于平面波以一定角度入射到周期性結(jié)構(gòu)中的情況。Bloch邊界條件將對模擬區(qū)域內(nèi)一個邊界處的場進(jìn)行相位調(diào)整，然后將其注入到另一個邊界中。通過使用Bloch邊界條件，可以準(zhǔn)確地模擬周期性結(jié)構(gòu)中的任意入射角度的電磁波傳播特性，其公式可表示為：

$E_{x\_max}=e^{-ia_xk_x}E_{x\_min} \\$ $E_{x\_min}=e^{ia_xk_x}E_{x\_max}\tag*{}$

其中 $a_x$ 為平移的晶格矢量， $k_x$ 為bloch波矢。以下為傾斜平面波入射時的電場分布，使用Bloch邊界和PML邊界的結(jié)果。入射光在Bloch邊界的作用下拓展為無限大的平面入射，然后在PML邊界當(dāng)中被吸收。

吸收邊界

由于計算機容量的限制，F(xiàn)DTD只能在有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行模擬。為了能夠模擬開放區(qū)域電磁過程，在有限的計算區(qū)域截斷邊界處必須給出吸收邊界條件。常用的吸收邊界有Mur吸收邊界和完美匹配層吸收邊界。

Mur吸收邊界

在PML出現(xiàn)之前，Mur吸收邊界在FDTD的發(fā)展中發(fā)揮了重要作用。即使在今天，我們?nèi)匀豢梢岳眠@種簡單的邊界條件在FDTD模擬中獲得相當(dāng)好的結(jié)果。雖然Mur邊界的吸收效果比PML差，但是它在模擬速度和內(nèi)存需求方面優(yōu)于PML。以一維平面波為例，其場分量 $\phi(x+ct)$ 滿足波動方程

$(\cfrac{\partial}{\partial x}-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial}{\partial t})\phi(x,t)=0\tag*{}$

在FDTD網(wǎng)格當(dāng)中，場分量按照迭代方程進(jìn)行更新，而在邊界處，由于缺少對應(yīng)分量，只能采用吸收邊界條件進(jìn)行更新。此時Mur吸收邊界條使用上一個時間步邊界附近的場分量對其進(jìn)行近似，即為

$\phi_{x=0}^{n+1}=(1-\cfrac{c\Delta t}{\Delta x})\phi_{x=0}^{n}+\cfrac{c\Delta t}{\Delta x}\phi_{x=1}^{n}\tag*{}$

對上式進(jìn)行差分近似

$\phi_{x=0}^{n+1}=\phi_{x=1}^{n}+\cfrac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x}[\phi_{x=1}^{n+1}-\phi_{x=0}^{n}]\tag*{}$

在實際的FDTD計算當(dāng)中，其邊界的電場更新方程即為

$E_y^{n+1}(0,j+1/2,k)=E_y^{n}(0,j+1/2,k)+\cfrac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x}[E_y^{n+1}(1,j+1/2,k)-E_y^{n}(0,j+1/2,k)] \\$

完美匹配層

PML實際上也是一種人工各向異性材料，理論上它是一種損耗材料，并且反射極低。盡管自Berenger引入原始版本以來，相關(guān)研究人員已經(jīng)提出了各種不同的版本，比如UPML，CPML等，但這些版本體現(xiàn)的中心概念仍然與Berenger發(fā)現(xiàn)的相同。下面簡單介紹Berenger-PML（BPML），即分裂場完美匹配層，以二維TE為例，其將磁場分量分裂為兩個子分量 $H_{zx},H_{zy}$ ，且 $H_{zx}+H_{zy}=H_z$ ，對應(yīng)麥克斯韋方程為

$\begin{cases} \varepsilon\cfrac{\partial E_x}{\partial t}+\sigma_yE_x=\cfrac{\partial(H_{zx}+H_{zy})}{\partial y}\\ \varepsilon\cfrac{\partial E_y}{\partial t}+\sigma_xE_y=-\cfrac{\partial(H_{zx}+H_{zy})}{\partial x}\\ \mu\cfrac{\partial H_{zx}}{\partial t}+\sigma_{mx}H_{zx}=-\cfrac{\partial E_y}{\partial x}\\ \mu \cfrac{\partial H_{zy}}{\partial t}+\sigma_{my}H_{zy}=\cfrac{\partial E_x}{\partial y} \end{cases} \tag*{}$

其中介質(zhì)參數(shù) $(\sigma_x,\sigma_{mx},\sigma_y,\sigma_{my})$ 滿足阻抗匹配條件，當(dāng)材料參數(shù)為（0，0，0，0）時即為真空。

$\begin{cases} \cfrac{\sigma_x}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{mx}}{\mu_0}\\ \cfrac{\sigma_y}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{my}}{\mu_0} \end{cases} \tag*{}$

電磁波的任意波長以任意角度都能在PML層當(dāng)中傳播，但振幅由于PML吸收而不斷衰減。如下圖所示，此時PML層分為周圍四個邊以及四個頂角八個區(qū)域，按圖中所示構(gòu)建參數(shù)，可以使得相鄰的PML區(qū)域沒有反射。

FDTD中的邊界條件的圖17

實際計算當(dāng)中，PML層也不可能無限厚度，依然在最外層采用理想電導(dǎo)體截斷。電磁波經(jīng)過PML層后會被PEC邊界完全反射回來，重新經(jīng)過PML吸收并最終進(jìn)入FDTD仿真區(qū)域。此時反射系數(shù)為

$R(\theta)=exp(-\cfrac{2cos\theta}{c\varepsilon_0}\int_0^d\sigma(x)dx)\tag*{}$

當(dāng)入射光垂直入射時， $R(0)$ 通常取 $e^{-16}$ ，而且離散化PML層的電導(dǎo)率可以表示為級數(shù)形式，以 $\sigma_x$ 為例

$\sigma_x(i)=\cfrac{\sigma_{x,max}}{\Delta xd^m(m+1)}[(x(i)+\cfrac{\Delta x}{2})^{m+1}-(x(i)-\cfrac{\Delta x}{2})^{m+1}]\tag*{}$

電磁場在PML當(dāng)中衰減十分迅速，常規(guī)FDTD的迭代方程已不再適用，此時場以指數(shù)形式衰減

$E_x^{n+1}=E_x^{n}exp(-\cfrac{\sigma_y}{\varepsilon}\Delta t)\tag*{}$

最后得到在PML層中的FDTD迭代方程如下，此處僅以 $E_x$ 為例

$E_x|_{i+1/2,j}^{n+1}=exp[-\sigma_y(j)\cfrac{\Delta t}{\varepsilon_0}]E_x|_{i+1/2,j}^{n}+\cfrac{1-exp[-\sigma_y(j)\cfrac{\Delta t}{\varepsilon_0}]}{\Delta_y\sigma_y(j)}(H_z|_{i+1/2,j+1/2}^{n+1/2}-H_z|_{i+1/2,j-1/2}^{n+1/2}) \\$

實際PML吸收效果如下所示，圖中顏色覆蓋即為PML層，縱坐標(biāo)即為歸一化的電場，可見，光入射到PML以后，隨著PML的逐層吸收，入射光迅速衰減到可以被忽略的量級。

FDTD中的邊界條件的圖26

參考文獻(xiàn)

[1] Allen Taflove. "Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Time-Domain Method", Boston:Artech House, (2005).

[2] "boundary condition settings", www.emsimworks.com/zh-CN/knowledge-base/User-Manual_boundary-condition-settings.

[3] Mur, G. "Absorbing boundary condition for the finite-difference approximation of the tine-domain electromagnetic-field equtions", IEEE Trans.electromagn.compat 23(1981).

[4] Berenger,Jean-Pierre. "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves", Journal of Computational Physics, (1994).

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