有限體積方法
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有限體積方法的視頻教程
COMSOL Multiphsics初級教程-有限元方法簡介
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有限體積方法的實例教程
我們經常能夠看到一些講解通過有限體積進行數值計算的文章，有的還給出了詳細的代碼，只要一跑就能得到結果，但是美中不足的是這些文章大多數都是基于等距的結構網格而且還是一維的，學習一下基礎的原理是可以的，但是要在現實中用起來難免存在諸多限制。同時，我們也可以看到很多的商業軟件，比如Fluent很容易可以將一個和真實場景的幾何離散成網格然后求解，結果還可以花花綠綠的展示出來，看起來就非常高端。
這期文章主要講講如何采用有限體積方法計算非結構網格上的偏微分方程，與其他文章不同的是這里網格和方程是獨立開的，而且處理3維的方程，代碼主要基于python的numpy。
要說3維和一維的方法差距確實有，而且很大，而且要說清楚非常難，這里先從簡答的說起。簡單就從數學物理方程講吧，大多數方程可以寫成如下的形式。
鑒于每一項都有不同的數值特性，將這四項進行離散，每一項都可以得到如下的離散格式，離散過程采用的就是有限體積法，這里先不去講。
有了上面的公式之后是不是就可以給出迭代更新的公式了呢，只需要在全部計算域上對每個網格計算一下這個值，然后重復個幾十或者一百步就可以得到穩定的值，這個過程就叫收斂。
但是，一般來說為了使得迭代過程更加平滑，不會因為更新產生過大的動蕩我們一般把上一步的值和更新的值做一個權重來更新網格的值,比如這里都是0.5，當然你也可以選擇0到1之間的其他值，并不影響，只要給出兩者之間的權重就可以了，如果后面部分權重太小的話迭代步數會需要很多，可能不劃算。
知道了怎么去更新之后，就來說說具體的計算過程。
展開 上一篇文章中已經講了通過離散求解的流程，目的就是先構造出每個網格的代數方程，代數方程的具體形式如下，碰到的問題就是需要求解三個系數項bc，af，ac
但是這三個系數項就是采用有限體積方法離散獲取的，每個都有自己的特點， 有的需要當前網格的值或者這個值的梯度，有的需要與當前網格相鄰的單元的值。而且前面也列出了這三個公式的具體表達式，如下
前面我們已經知道求解這三項只需要知道gDiff和Tf還有▽?三個就可以了這三個就可以了，而且這三相都是和網格相關的，而且都需要長篇大論的寫，所以我們就一個一個的處理，首先是這個gDiff吧，先給出一個網格的圖片，圖片來自互聯網哈。
一個典型的非結構網格
這里把公式先寫出來
Ef是表面向量的類正交擴散分量，dCF是兩個單元的質心距離，e是兩個網格單元質心向量的單元向量，Sf是面的法向向量,已經知道的是網格中所有的點的坐標都。
首先來完成單元的質心計算吧，當然質心的計算其實也是一個比較漫長的步驟，首先是把每個面的面心計算出來，對于三角形來說每個面的面心直接加權就可以，但是對于多邊形來說還需要轉化為三角形再處理。
1.大致流程是這樣的，通過面上的頂點坐標加和然后除以頂點的數目可以計算到幾何中心
2.將幾何中心與邊上的兩個點相連得到n邊形對應的n個三角形
3.將這n個三角形的面矢量和面積分別計算出來，還有三角形的幾何中心
4.將這n個三角形的幾何中心和對應的面積加權就可以得到面的面心，三角形面積矢量加和除以2就是這個面的面積矢量Sf。
為了省去你的麻煩，我把函數已經定義好了，當然你也可以自己編寫，最好以類的形式寫出來，計算結果也存為類里面的屬性，可以減少計算量。
展開 根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法。
有限體積法（Finite Volume Method）
有限體積法又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。
小結
1、三種方法都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，比如有限差分是用差分近似微分，有限元法是用插值函數來近似等；
2、三種方法適應的問題不同，比如有限差分法適應線性的區域規則的問題，而有限元法可計算非線性不規則區域問題；
3、三種方法都可以做到高精度。
下載地址：有限體積法基礎
展開 其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。
展開 有限體積法（FVM）又稱為控制體積法。
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。
從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。
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某基于有限體積方法的通用 CFD 仿真軟件，能夠模擬穩態與瞬態下的復雜流動，并支持旋轉機械流動分析與先進的共軛熱傳遞（CHT）模型。結合特定的前處理器，該軟件可以快速生成計算網格，從而為用戶提供從前處理到數值求解的完整解決方案。</p><p> 然而，隨著工程問題規模的不斷擴大，傳統代數求解器在處理大規模稀疏線性方程組時暴露出性能瓶頸。
圖2 噴嘴網格
2.2 控制方程
超音速流場的流動屬于高雷諾數湍流，本文采用 k-ε系列的 Standard k-ε 模型，Standard k-ε 模型被廣泛應用于工程流場計算，具有廣適性、成本低以及精度高的優點，采用有限體積方法來離散控制方程。壓力與速度之間的耦合通過SIMPLE算法來處理。
在流體流動中，連續方程是質量守恒定律的表現。
相比傳統的有限元方法和有限體積方法，SPH方法適于處理自由表面流動和大變形問題，因為它不需要網格，可以自適應地描述固體材料、流體物質的大變形。然而，傳統SPH方法存在著拉力不穩定、鄰近粒子搜索、邊界施加困難等問題，其精度和穩定性較難控制，并且SPH方法對計算資源需求通常較其它方法更高。
在工業生產中，密封件的作用舉足輕重，尤其是在需要承受流體壓力的場合。今天，我們就來一起探討一下如何利用ANSYS Workbench這一強大的有限元分析軟件，對典型的橡膠圈密封進行精確計算和分析。
一、模型介紹
我們構建的模型是一個圓柱形的軸對稱結構，通過取其截面進行模擬分析。這個模型由三部分組成：左側是固體部分，中間是橡膠圈，右側是剛性體。這種設計在很多工業設備中都能看到，其密封性能直接關系到設備的正常運行
切割單元方法一般結合有限體積方法使用，具備二階精度，且嚴格遵守離散守恒律。但對于三維問題，特別是三維動邊界問題，處理復雜。</p><p>為提高邊界附近的捕捉精度，可以通過一些方法對笛卡爾網格進行“局部加密”。加密方法有兩種。一是叉樹型方法，對于三維笛卡爾網格，一般采用八叉樹的方法，在邊界附近進行網格加密。
1.3 計算方法
線性靜態分析采用有限元、有限差分、有限體積等數值方法進行計算。通過求解線性方程組，可以得到結構在靜態加載下的位移、應力等信息。
2. 非線性分析
2.1 基本概念
非線性分析考慮了結構在加載過程中可能出現的非線性行為，例如材料的非線性、幾何的非線性、邊界條件的非線性等。這些非線性因素可以包括材料的塑性變形、接觸問題、大變形、非線性材料性質等。
壓力容器接管許用載載和 WRC及有限元局部應力計算方法
通過管道互連的壓力容器系統廣泛應用于石化和加工廠。 如果設計不準確，容器外殼或封頭部可能會發生彎曲變形或泄漏。
在本文中，我們將詳細介紹了確定允許的設備接管許用載荷如何幫助工程師設計更好的管道應力合規性。
工程師在現代管道系統中面臨的常見設計問題
在建設這些系統的過程中
在有限元分析中，沙漏現象是一種常見但需要特別注意的非物理零能變形模式，或簡而言之有變形沒有應力或應變。
沙漏現象的出現可能會導致計算結果不準確甚至無效，因此需要采取控制措施。
本文將深入探討沙漏現象的定義、識別方法以及控制方法，為有限元分析中的工程師提供指導和幫助。
1. 什么是沙漏？
在有限元分析中，一般以節點的位移作為基本變量，單元內節點的位移以及應變均采用形函數對各點位移進行插值計算得到
在Simdroid中繪制的典型油浸式電力變壓器二維模型
借助Simdroid的多物理場耦合功能，重慶大學的研究人員可以在界面上輕松完成固體傳熱有限元方法和流體方程有限體積方法的聯合仿真計算，在電力變壓器模型中實現對含有復雜絕緣油通道、大量流固耦合邊界的網格自動優化和高效耦合迭代。
摘 要：以往螺栓螺母緊固U型開檔消隙力常基于實物試驗測量，但時間長、成本高，后期方案優化代價大，文章研究了消隙力的簡化有限元和接近實際有限元計算方法，在設計過程中可隨時進行方案優化，有利于縮短開發周期、降低成本。基于CATIA靜力學分析模塊分別使用兩種方法計算某副車架U型開檔方案優化前后的消隙力，并和實物試驗對比。結果表明兩種仿真方法計算的消隙力符合實際規律，均可用于方案優化和最終選型。
