有限體積方法的案例
有限體積方法處理非結構網格-方法框架
我們經常能夠看到一些講解通過有限體積進行數值計算的文章，有的還給出了詳細的代碼，只要一跑就能得到結果，但是美中不足的是這些文章大多數都是基于等距的結構網格而且還是一維的，學習一下基礎的原理是可以的，但是要在現實中用起來難免存在諸多限制。同時，我們也可以看到很多的商業軟件，比如Fluent很容易可以將一個和真實場景的幾何離散成網格然后求解，結果還可以花花綠綠的展示出來，看起來就非常高端。
這期文章主要講講如何采用有限體積方法計算非結構網格上的偏微分方程，與其他文章不同的是這里網格和方程是獨立開的，而且處理3維的方程，代碼主要基于python的numpy。
要說3維和一維的方法差距確實有，而且很大，而且要說清楚非常難，這里先從簡答的說起。簡單就從數學物理方程講吧，大多數方程可以寫成如下的形式。
鑒于每一項都有不同的數值特性，將這四項進行離散，每一項都可以得到如下的離散格式，離散過程采用的就是有限體積法，這里先不去講。
有了上面的公式之后是不是就可以給出迭代更新的公式了呢，只需要在全部計算域上對每個網格計算一下這個值，然后重復個幾十或者一百步就可以得到穩定的值，這個過程就叫收斂。
但是，一般來說為了使得迭代過程更加平滑，不會因為更新產生過大的動蕩我們一般把上一步的值和更新的值做一個權重來更新網格的值,比如這里都是0.5，當然你也可以選擇0到1之間的其他值，并不影響，只要給出兩者之間的權重就可以了，如果后面部分權重太小的話迭代步數會需要很多，可能不劃算。
知道了怎么去更新之后，就來說說具體的計算過程。
展開 有限體積方法處理非結構網格-多邊形和多面體的幾何的處理
上一篇文章中已經講了通過離散求解的流程，目的就是先構造出每個網格的代數方程，代數方程的具體形式如下，碰到的問題就是需要求解三個系數項bc，af，ac
但是這三個系數項就是采用有限體積方法離散獲取的，每個都有自己的特點， 有的需要當前網格的值或者這個值的梯度，有的需要與當前網格相鄰的單元的值。而且前面也列出了這三個公式的具體表達式，如下
前面我們已經知道求解這三項只需要知道gDiff和Tf還有▽?三個就可以了這三個就可以了，而且這三相都是和網格相關的，而且都需要長篇大論的寫，所以我們就一個一個的處理，首先是這個gDiff吧，先給出一個網格的圖片，圖片來自互聯網哈。
一個典型的非結構網格
這里把公式先寫出來
Ef是表面向量的類正交擴散分量，dCF是兩個單元的質心距離，e是兩個網格單元質心向量的單元向量，Sf是面的法向向量,已經知道的是網格中所有的點的坐標都。
首先來完成單元的質心計算吧，當然質心的計算其實也是一個比較漫長的步驟，首先是把每個面的面心計算出來，對于三角形來說每個面的面心直接加權就可以，但是對于多邊形來說還需要轉化為三角形再處理。
1.大致流程是這樣的，通過面上的頂點坐標加和然后除以頂點的數目可以計算到幾何中心
2.將幾何中心與邊上的兩個點相連得到n邊形對應的n個三角形
3.將這n個三角形的面矢量和面積分別計算出來，還有三角形的幾何中心
4.將這n個三角形的幾何中心和對應的面積加權就可以得到面的面心，三角形面積矢量加和除以2就是這個面的面積矢量Sf。
為了省去你的麻煩，我把函數已經定義好了，當然你也可以自己編寫，最好以類的形式寫出來，計算結果也存為類里面的屬性，可以減少計算量。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法。
有限體積法（Finite Volume Method）
有限體積法又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。
小結
1、三種方法都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，比如有限差分是用差分近似微分，有限元法是用插值函數來近似等；
2、三種方法適應的問題不同，比如有限差分法適應線性的區域規則的問題，而有限元法可計算非線性不規則區域問題；
3、三種方法都可以做到高精度。
下載地址：有限體積法基礎
展開 有限差分、有限元及有限體積法概述
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。
展開 
有限體積法
有限體積法（FVM）又稱為控制體積法。
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。
從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。
展開 漫談基于有限體積法鑄造模擬仿真技術
近幾十年計算機科學和數值計算方法的飛速發展為計算機仿真技術的發展提供了廣闊的前景，科研人員將計算機發展技術應用到材料科學領域，鑄造工藝過程仿真技術便是其中一種應用。鑄造工藝過程仿真技術成為改造傳統鑄造產業的必由之路。
目前，世界上主流的鑄造工藝仿真計算算法主要有有限體積法、有限差分法和有限元法等。NovaCast軟件采用的是先進的有限體積算法，在歐美市場占據有了大量的用戶群體數量。有限體積算法的代表是NovaCast軟件，相比其他兩種計算算法，NovaCast軟件在網格處理、計算速度和計算精度方面都有非常明顯的優勢。
1、網格處理
NovaCast軟件率先將有限體積網格處理方法（CVM）應用于鑄造工藝仿真，并使用體積分數準確描述幾何形狀。而傳統有限差分法是基于六面體網格，模型表面是不均勻的，幾何描述精度不如有限體積法。NovaCast軟件結合了有限差分法和有限體積法等兩者的優勢。NovaCast軟件使得網格處理更加簡單、高效，離散化后的模型邊界非常光順，同時保持著非常高的計算精度。
有限體積法描述三維模型邊界和鑄件截面尺寸精度非常高，因此能夠獲得更加精準的計算精度，使得模擬結果更加接近真實情況。同等計算精度的情況下，有限體積法所需網格數量更加少，所以有限體積法計算速度更快。相比其他兩種算法，有限體積法計算精度更高，可以達到95%及以上。
有限體積法和有限差分法網格處理技術對比如圖1所示：
有限體積法（網格尺寸10mm）
有限差分法（網格尺寸10mm）
有限差分法（網格尺寸3.6mm）
圖1 網格處理技術對比
2、計算速度
同等計算精度的情況下，有限體積法相比其他兩種算法所需網格數量更加少，所以有限體積法計算速度更快。
展開 《計算流體力學的若干新方法》
有限體積法篇
第九章 非結構網格的生成和構造
9. 1 Delaunay三角形和Delaunay三角剖分
9. 2 Rebay的非結構網格生成算法
9. 3 一個簡單的任意二維區域三角形剖分的方法
9. 4 非結構網格生成的前沿追蹤算法
9. 5 介紹一個二維Delaunay三角形剖分生成非結構網格軟件
第十章 非結構網格有限體積法
10. 1 一維問題有限體積方法的討論
10. 2 二維問題的FVM構造
10. 3 二維對流-擴散問題的FVM
練習題
五. 非標準有限元方法篇
第十一章 混合有限元方法簡介
11. 1 混合變分問題簡例
11. 2 混合變分問題和混合有限元的存在惟一性
11. 3 非線性Burgers方程的混合元方法
練習題
第十二章 運動有限元方法
12. 1 從一般FEM到moving FEM
12. 2 運動有限元方法單元分析的一般公式
12. 3 運動有限元方法單元分析的簡單實例
12. 4 運動有限元方法在非線性波問題的應用
12. 5 運動有限元方法的研究課題和進展
第十三章 間斷有限元方法
13. 1 一維守恒律問題
13. 2 二維守恒律問題的間斷Galerkin有限元方法
13. 3 對流-擴散問題的混合元方法
13. 4 守恒律方程組的間斷有限元方法
13. 5 二維可壓縮流體的間斷Galerkin有限元方法
練習題
第十四章 時空有限元方法
14. 1 流線擴散法的數值實現
14, 2 穩定性分析
14. 3 SDM的誤差分析
14. 4 SDM的發展歷史
14. 5 SDM的其他形式
六.
展開 1D 有限體積法編程實現
<p>此教程為簡單易懂的《手寫求解器-有限體積法和計算流體力學基礎》系列教程的第二課，1D 有限體積法基礎。基礎理論+Python編程實現，源碼免費共享給大家。</p><p>本系列課程不使用任何商業商業軟件，從底層了解基礎理論，讓仿真調試工作不再抓瞎，提高自己的數學思維和編程能力。更詳細內容https://www.yqgqt.org.cn/self?nagivator=course。</p><p>此系列課程已將在“技術鄰”、知乎、CSDN等平臺上發布，受到眾多同學的點贊支持，所有內容均為一手原創。
展開 LSDYNA 負體積防范方法
lsdyna負體積防范方法，詳情見附件。
Preventing_negative_volume_2010-10.ppt
ls-dyna 泡沫材料負體積的防范 (2).zip
基于流體壓力的橡膠圈密封有限元仿真分析方法--ANSYS Workbench有限元分析方法--橡膠密封方法
2.網格在接觸位置加密，其余位置不用加密，網格如圖所示
這些參數在ANSYS Workbench中都有詳細的說明和設置方法，可以根據實際情況進行調整。
五、結果展示
經過模擬計算，我們得到了橡膠圈的位移結果圖。
從圖中可以清晰地看到橡膠圈在受到壓縮和流體壓力作用下的變形情況。這些結果為我們提供了寶貴的參考信息，有助于我們更好地理解和優化橡膠圈密封的設計。
運動和壓縮變形效果
局部放大圖展示流體壓力的擠壓效果
六、總結與展望
通過ANSYS Workbench的有限元分析，我們成功地對橡膠圈密封進行了精確的模擬和計算。這不僅讓我們對橡膠圈密封的工作原理有了更深入的了解，還為我們提供了優化設計的方向。在未來的工作中，我們將繼續利用這一強大的工具，為更多的工業設備提供可靠的密封解決方案。
微信公眾號：CAE_ANSYS
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展開 使用Sesam HydroD計算排水體積的方法
在GeniE中，第一點可以在完成建模后，點擊工具欄上的Display Free Plate Edges按鈕，通過顯示自由邊的方法進行檢查。
第二點可以通過右擊模型樹中的濕表面屬性，在彈出的右鍵菜單中選擇Color Code Property的方法進行檢查。
為了簡化賦予濕表面屬性的操作，通常需要統一船體外板的法向，使其統一指向舷外或舷內，再將濕表面屬性賦給正面（Front）或反面（Back）。
最后展示幾個濕表面模型未滿足上述兩個要求、導致排水體積計算錯誤的例子。
例1 船體外板不封閉（為了展示效果，故意把底板去掉一部分）
例2 濕表面屬性賦給船體外板內表面
例3 右舷側板未賦濕表面屬性
展開 
LS_DYNA負體積解決方法(英文版本/中文版)
LS_DYNA負體積解決方法(英文版本).pdf
材料負體積解決方法（中文版）.pdf
本人也是轉自別人，希望可以幫助大家！
計算流體動力學中的高性能計算
有限體積方法由于其優異的保守特性而受到大多數工程模擬的青睞，而高精度的有限體積方法主要用于良好分辨的計算。在任何一種情況下，離散化過程都是為了保持一致性而設計的，這樣當網格點的間距減小到零時，所引起的誤差將迅速消失。然而，可以處理的網格點的總數取決于可用計算硬件的容量并且必然是有限的。顯然，這種約束也適用于解決小規模現象的需要。例如，在完整飛機模擬的背景下，解決客機機翼上的邊界層所需的網格點的數量可能是不可靠的，并且需要替代策略。
在實踐中，離散化方案的準確性證明比小規模現象的分辨率要求更少限制。在預先知道小規模現象的位置的情況下，可以利用網格點的靜態但非均勻分布。這是解決邊界層的標準做法，邊界層自然與實心墻相關聯。如果確切的位置未知，或者該現象本質上是瞬態的，那么盡管分辨率不足，也可以利用已知的物理來捕捉現象。這種方法通常用于沖擊波，其中厚度可能不再是比一些分子平均自由路徑，但跨波的跳躍條件是很好理解的。在湍流的情況下，這種現象基本上是空間的，瞬態的并且沒有很好地理解，除了實際問題之外沒有其他選擇，只能利用統計建模技術。
湍流建模是一個的假設主題，缺乏強大的哲學基礎和可疑的物理假設。盡管如此，它仍然是必不可少的，因為絕大多數實際的問題涉及湍流，因此受到動量、熱量和質量的湍流交換的影響。大多數工業設備中湍流場的完全分辨率仍然不切實際，標準方法是利用雷諾平均值。對于統計上固定的場，在一段時間內的時間平均值比湍流的相關時間長得多。對于非平穩的，我們采用相位平均（對于統計周期性的）或在大量實現上進行整體平均的概念。平均過程消除了均值-長度-尺度以下的所有小尺度現象，但由于對流項的非線性，RANS方程組未公開。然后需要一個閉包模型來表示丟失的信息。到目前為止，這些模型的優點和缺點是眾所周知的，并且大量的研究致力于它們的改進和擴展。
展開 有限元---剪切鎖死、體積鎖死、沙漏，零能模式
解決方法：1.采用減縮積分；2.細化網格；3.非協調單元；4.假定剪切應變法；
2
體積鎖死（volumetric locking）
簡單地說就是應該有單元的體積變化的時候體積卻沒發生變化。該原因是受到了偽圍壓應力（Spurious pressure stresses ）。
發生的條件：1.全積分單元；2.材性幾乎不可壓縮；
二階單元：對于彈塑性材料（塑性部分幾乎屬于不可壓縮），二階全積分四邊形和六面體單元在塑性應變和彈性應變在一個數量級時會發生體積鎖死。二次減縮積分單元發生大應變時體積鎖死也伴隨出現。
但值得注意的是，一階全積分單元當采用選擇性減縮積分（selectively reduced integration）時可以避免出現體積鎖死。
產生的結果：使得體積不變，即體積模量太大，剛度太剛。
解決方法：1.將大應變區域網格細化；2.mixed
formulation法；
檢查方法：輸出積分點的圍壓應力，分析圍壓應力是否在相鄰積分點存在突變，是否顯棋格式分布，是的話
就說明出現體積鎖死。
3
沙漏（hourglassing）
簡單地說就是單元只有一個積分點，周邊的節點可以隨意變形。
發生的對象：1.一階、減縮積分單元；
產生的結果：單元太柔；
解決方法：1.對一階減縮單元，合理細化網格；荷載避免使用點荷載；
2.在大應變區或大應變梯度區使用一階單元，而不是使用二階單元。
4
零能模式（zero-energy mode）
采用一階減縮積分時會出現零能模式。即單元只有一個積分點，在受彎時該積分點沒有任何的應變能，此時此單元沒有任何剛度，就無法抵抗變形。
展開 ABAQUS結果提取大于某值的區域體積-CAE方法
以最簡單的懸臂梁為例，提取加載歷程下大于100e6 Mises等效應力下單元體積：
1）顯示應力變形云圖，并通過云圖顯示設置，可將超過指定數值的云圖范圍顯式為灰色，便于觀察和對比：
2）顯示指定應力范圍內的單元：找到按鈕，或菜單欄Tools->DisplayGroup->Create...，點擊后激活Create Display Group對話框，選擇Item為Elements、method為Result value，并設置最小值（Min value）100e6和最大值（Max value）1e10，點擊Apply可顯示出范圍內的單元，如下圖所示。
注意：同時點擊底部的Save As...按鈕，保存名字為DisplayGroup-2。
3）測量顯示單元體積：找到按鈕，或者菜單欄Tools->Query...命令，找到Mass properties選型，并點擊后激活查詢質量流程，在提示信息欄將讓選擇單元，修改選擇方法為Display groups，并選擇剛剛生成的DisplayGroup-2；由于是測量質量，針對材料中沒有定義密度的情況，ABAQUS友好的提供了Options選項，可以設置材料密度和平面shell的厚度，這里均設置為1。如下圖所示。
重新選擇顯式組后，在底部信息框中將顯示測量的體積、體積中心、質量、質量中心以及質量距等數據。
4）匯總不同時刻的數值，繪制時程曲線如下：
同時，該方法不僅適用于應力數值范圍，基本所有的云圖范圍單元體積的測量都是可以滿足的。
作者：陳佳敏cn
來源：CAE技術資訊
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