轉動慣量的案例
均質矩形盒轉動慣量計算式的推導及驗證
摘要：從轉動慣量的定義出發，推導矩形盒子的轉動慣量，并使用軟件驗證公式的正確性。
00 轉動慣量的定義
在剛體旋轉運動中，轉動慣量的地位，類似平動的慣性質量，非常基礎和重要。
01 問題的提出
求開口盒繞Z軸的轉動慣量：
求閉口盒繞Z軸的轉動慣量：
02 問題的分解
開口盒分解為四個側面，設短邊長度為a，長邊長度為b：
對于m1，繞Z軸的轉動慣量：
同樣的方法可得m2,m3,m4，繞Z軸的轉動慣量：
所以開口盒繞Z軸的轉動慣量：
閉口盒分解為六個側面，設短邊長度為a，長邊長度為b：
對于m5，繞Z軸的轉動慣量：
同樣的方法可得6，繞Z軸的轉動慣量：
所以開口盒繞Z軸的轉動慣量：
03 計算公式的驗證
根據公式計算，可得：
軟件驗證，比如最后一組，
相差不大，所以公式得到驗證。
展開 動力總成轉動慣量合成 ￥10
一般發動機和變速箱都是不同的廠家，進行組合時計算需要合成的質量和轉動慣量。懸置匹配計算時也需要合成到動力總成質心坐標下轉動慣量。
質量的合成比較簡單，假設2個剛體，質量為M ,m,在統一坐標系下質心的位置為(X,Y,Z), (x,y,z).
合成總質量為: M+m.
合成質心坐標為:(x,y,z)+L2向量，或(X,Y,Z)+L1向量。
對m點取矩，得L2=L*M/(m+M), L向量為(X-x,Y-y,Z-z)，注意向量方向。帶入可得合成質心點在原參考坐標系中的坐標為:
（xc,yc,zc）= (x,y,z)+(X-x,Y-y,Z-z)*M/(m+M),
轉動慣量合成:
兩剛體各質心的轉動慣量為[Jx,Jy,Jz,Jxy,Jxz,Jyz], 另一個為[J2x,....]
對3個坐標軸的合成轉動慣量，根據平行軸定理，平移到合成的質心坐標處要再加上質量*原質心點到平行軸的距離^2，
對M剛體: Jx'=Jx+M*d^2 . 其中d為M質心處x軸到合成質心的x軸的距離，d=(Y-yc)^2+（Z-zc）^2
對m剛體: J2x'=J2x+m*d2^2 . 其中d為m質心處x軸到合成質心的x軸的距離，d=(y-yc)^2+（z-zc）^2。
合成為： JX=Jx'+J2x'=Jx+M*d^2 +J2x+m*d2^2. （對X軸的距離，(Y-yc)^2+（Z-zc）^2）,..
JY=Jy'+J2y'=Jy+M*d^2 +J2x+m*d2^2. (對Y軸的距離，(X-xc)^2+(Z-Zc)^2),..
JZ=Jy'+J2y'=Jy+M*d^2 +J2x+m*d2^2.
展開 機械設計常用計算公式錦集
齒輪轉動慣量計算公式為：
齒輪傳動系統（本例中，電機與齒輪直聯），反映到電機轉軸的總轉動慣量為：
J 總=J 電機轉動慣量+J 電機側齒輪轉動慣量+J 折合到電機軸的負載側齒輪轉動慣量+J 折合到電機軸的負載轉動慣量
（1）J 折合到電機軸的負載側齒輪轉動慣量
（2）J 折合到電機軸的負載轉動慣量
（3）i 傳動比
式中：
e 一機械的效率；
i 一傳動比；
DGL 一負載側齒輪的直徑；
DGM 一電機側齒輪的直徑；
NTL 一負載側齒輪的齒數；
NTM 一電機側齒輪的齒數；
19）變速箱（減速機）的轉動慣量
變速箱在使用過程中，我們往往只關注其轉動慣量、傳輸速率、效率和負載轉動慣量、 變速箱和減速機的轉動慣量計算方法和齒輪的計算方法一樣：
J 總=J 電機轉動慣量+J 變速箱轉動慣量+J 折合到電機的負載轉動慣量
（1）J 折合到電機的負載轉動慣量
（2）傳動比 i；
式中：
e 一機械效率；
i 一傳動比；
20）絲杠轉動慣量計算：
螺桿可以看作是一個圓盤，因此螺桿的轉動慣量就是圓盤的轉動慣量。絲杠的傳動比稱為節距或導程。
絲桿轉動慣量的計算：
電機轉軸總的轉動慣量計算，它包括反映電機轉軸和絲杠轉動慣量的負載轉動慣量。
展開 機械設計常用計算公式錦集
齒輪轉動慣量計算公式為：
齒輪傳動系統（本例中，電機與齒輪直聯），反映到電機轉軸的總轉動慣量為：
J 總=J 電機轉動慣量+J 電機側齒輪轉動慣量+J 折合到電機軸的負載側齒輪轉動慣量+J 折合到電機軸的負載轉動慣量
（1）J 折合到電機軸的負載側齒輪轉動慣量
（2）J 折合到電機軸的負載轉動慣量
（3）i 傳動比
式中：
e 一機械的效率；
i 一傳動比；
DGL 一負載側齒輪的直徑；
DGM 一電機側齒輪的直徑；
NTL 一負載側齒輪的齒數；
NTM 一電機側齒輪的齒數；
19）變速箱（減速機）的轉動慣量
變速箱在使用過程中，我們往往只關注其轉動慣量、傳輸速率、效率和負載轉動慣量、 變速箱和減速機的轉動慣量計算方法和齒輪的計算方法一樣：
J 總=J 電機轉動慣量+J 變速箱轉動慣量+J 折合到電機的負載轉動慣量
（1）J 折合到電機的負載轉動慣量
（2）傳動比 i；
式中：
e 一機械效率；
i 一傳動比；
20）絲杠轉動慣量計算：
螺桿可以看作是一個圓盤，因此螺桿的轉動慣量就是圓盤的轉動慣量。絲杠的傳動比稱為節距或導程。
絲桿轉動慣量的計算：
電機轉軸總的轉動慣量計算，它包括反映電機轉軸和絲杠轉動慣量的負載轉動慣量。
展開 
AQWA中慣性矩的計算
源自AQWA轉動慣量的求法
AQWA中每個part都需要輸入基于重心的轉動慣量或回轉半徑，轉動慣量與回轉半徑的關系
式中I為轉動慣量；m為質量；K為回轉半徑
對于規則船舶
Beam為船寬；Length為船長；通過回轉半徑，可根據上式計算轉動慣量。
對于其他浮體
建立全模型，包括內部加筋、甲板、上層建筑等，考慮板厚和材料密度。常用的三維建模軟件（比如Catia、UG、Pro/E、SolidWorks）均能直接輸出轉動慣量Ixx、Iyy和Izz。ANSYSMechanical也能計算結構的轉動慣量。
源自《船舶耐波性》
橫向慣性半徑：
縱向慣性半徑：
源自《船舶原理》下
杜埃爾公式：
Zg為以基線算起的重心高度。
在模型試驗中，為保證慣性力相似，對實船慣性矩的估算多采用慣性半徑法，把船體縱搖慣性矩寫成：
通常取
文章來源：CFD流場分析
展開 直升機旋翼的動力學奧妙
若是雙軸兩旋翼情況（如V-22魚鷹直升機），要求兩個旋翼的轉動方向相反且動量矩相等。對于四軸四旋翼情況，很容易推斷，它們要兩兩成對，分別朝反向轉動，動量矩大小要相等，以保證總動量矩為零。
圖7 共軸式雙旋翼直升機
剛體的轉動慣量
上節提到Jz為剛體對轉軸的轉動慣量，它和物體平動的慣性量（即質量）類似。當轉動慣量越大時，轉動它越困難，或者使它轉動角速度增大越困難。具有相同質量的物體，形狀不同，其轉動慣量大小不同。以圖8所示實心長方體為例。這是一個三維尺寸為aⅹbⅹc的長方體，為簡單起見，令b=2a=4c；根據理論力學教科書，有如下公式：
其中：Jz，Jy，Jx分別是繞z，y，x三個軸、對物體重心點0的轉動慣量。可見，Jz最大，Jx次之，Jy最小。
圖8 正長方體
剛體的轉動慣量問題，和我們身邊的許多活動息息相關，這里以競技運動為例。體操和跳水運動員在做空翻或翻騰動作時，其身體的姿勢（形態）決定了其動作的難度，裁判打分時給不同的難度系數。例如圖9a 所示的跳水女運動員所做的團身空翻（或向后翻騰），她的身體曲折成三段，各部分身體重量最靠近于重心。于是，其轉動慣量最小，可以使翻騰速度最快。所以，在10米臺跳水做翻騰三周半的動作時都多采用團身翻騰。圖9b所示的則是曲體空翻（或向后翻騰），她的身體呈曲兩段折疊，其轉動慣量比團身情況稍大。難度系也較大。最難做的是圖9c所示的體操運動員所做的直體空翻。由于直體的轉動慣量最大，空翻最費力；難度系數最大。同時由于姿態優美，打分較高。
圖9a 團身空翻
圖9b(左) 曲體空翻 圖9c(右) 直體空翻
另外，與轉動慣量有關的例子還有高空走鋼絲。圖10是阿迪力在新疆喀納斯高空走鋼絲的照片。你看他兩手緊握一根很長的平衡桿。這根平衡桿與他的身體緊緊結合為一體，總的轉動慣量大大增加。
展開 動力總成慣性參數轉換方法
輸入質量及轉動慣量，在Inertia Reference Marker處選REF的坐標為轉動慣量的坐標系。見圖4。
圖4 動力總成慣性參數的輸入
4、 然后啟用View菜單中Tools>Aggregate Mass進行各項設定，即可完成轉動慣量從質心坐標系向整車坐標系的轉換。轉換過程及結果見圖5。
圖5 慣性參數坐標系轉換過程及結果
二、EXCEL編程法
根據上述論文中的公式用EXCEL編程，得到程序界面見圖6.
圖6 EXCEL計算程序
三、MATLAB編程法
使用MATLAB 語言，編制了動力總成慣性參數變換的計算工具見7 ，基于該工具能快速得到慣性參數的變換結果。
圖7 轉動慣量計算程序
四 應用實例
將表1中所示的慣性參數分別使用上述三種方法從質心坐標系向整車坐標系進行轉換，質心坐標系與整車坐標系的夾角如表2所示。
展開 hypermesh-ansys聯合仿真之質量單元
質量單元屬于0維單元，ANSYS提供了質量單元mass21，該單元有6個自由度，3個平動自由度和3個繞軸的轉動自由度，可以分別設置不同方向上的不同質量和轉動慣量，但是一般3個平動方向上的質量是相同的，而3個轉動方向上的轉動慣量可能分別不同。轉動慣量可能對某些非轉動模態影響較小甚至可以忽略，但是對某些模態影響比較明顯，所以在較容易獲得部件轉動慣量的情況下盡量將部件簡化為質量單元時輸入每個方向上的轉動慣量參數。
質量單元的另一個功能是作為輔助單元使用，在利用hypermesh為ANSYS求解器建模前處理時，涉及到不同零部件單元之間的連接裝配，此時在一些連接單元的節點上需要安放一個單元才能在導入ANSYS計算時正常進行，下面舉實例說明。
上圖是一個板通過4個紫色的柱焊接在板的4個孔上，建模是通過CERIG單元將板與柱在焊接位置剛性連接，然后在4個柱的頂端安裝在其他部件上，這里將柱的頂端連接到同一個節點上（節點號為4417），然后在該節點上施加固定約束邊界條件。建好模型后導出CBD文件并讀入ANSYS進行模態求解，開始求解時報出如下圖錯誤。
報錯信息顯示為，約束方程1有未使用的節點4417。主要原因是hypermesh中的CERIG單元轉化到ANSYS是約束方程。在建立節點耦合時，比如將若干單元的節點自由度耦合到一個新建的節點時，這個新建節點比如依附于某個單元，否則求解時就會報出上述錯誤信息，這里的解決方案就是在節點4417處建立一個mass21單元，為了消除mass21單元對求解結果的影響需將mass21的質量屬性設置到非常低，特別是在模態求解時，質量會嚴重影響模態求解結果，效果如下圖。
展開 噴氣客機渦輪風扇發動機的振動診斷與改進
理論上，轉子各階正、逆回旋頻率曲線的分離程度將顯著影響臨界轉速的分布，而這種分離程序是由陀螺效應即轉盤的極轉動慣量來控制。作者猜測風扇或渦輪葉輪的極轉動慣量擬適當減小。首先，試將風扇的極轉動慣量分別減少1/4和1/2，仿真計算結果顯示系統的臨界轉速變化很小。然后，恢復風扇極轉動慣量原值，試將渦輪葉輪的極轉動慣量Ip分別減少1/4和1/2。
計算表明，后者使第三階臨界轉速有顯著變化，由12097r/min降為7747r/min，接近巡航轉速，見圖3（注意，因制造商要求，渦輪軸承剛度降為5.254e6N/m，故圖3中正、逆回旋頻率曲線整體下移）。于是，問題有了突破，經過修正后的發動機轉子力學模型的動態持性就較接近現場實測數據。
3. 改進方案
為使轉子臨界轉速遠離巡航轉速，改變轉軸或風扇或渦輪的設計不可行，因為若這樣做就要修改發動機的總體結構設計，制造商需要的再投資太昂貴。
仿真計算表明，主軸承剛度的大幅下降能使第三階臨界轉速顯著降低，遠離巡航轉速，同時第四階臨界轉速繼續保持遠離巡航轉速。例如，當主軸承剛度降為8.756e6 N/m且渦輪葉輪的極轉動慣量取原值的50% ，第三階臨界轉速減為6297r/min，第四階臨界轉速經計算為11197r/min。計算進一步表明，主軸承的擠壓油膜尼器所提供的阻尼若從0增為8756Ns/m，可使發動機兩端支架傳給機身的力下降一半。
展開 金屬環形軋制的Abaqus分析
利用Abaqus做金屬環形軋制的有限元分析，涉及的幾個點如下：
（1）利用顯示動力學分析
（2）軋輥當做解析剛體，需建立參考點表示，同時需要給定質量和轉動慣量；
（3）金屬材料屬性需要定義塑性部分；
（4）定義質量縮放因子以幫助計算；
（5）最好采用自適應網格；
（6）定義接觸時剛體為主面；
（7）金屬環形軋制時通過位移約束給定邊界條件；
（8）導向輥的邊界條件需要合理定義。
首先分別建立幾何模型，驅動輥的模型如下所示：
變形體的模型如下：
芯輥和導向輥同樣。
接著定義材料模型，變形體定義密度、彈性模量、泊松比和塑性參數，該次模型塑性參數如下：
三個解析剛體分別定義質量和轉動慣量，通過主菜單Special-Inertial定義，其中驅動輥的參數設置如下：
轉動慣量可自己計算，常見模型轉動慣量計算如下：
之后進行模型裝配，裝配好的模型如下所示：
之后定義分析步，Dynamic，Explicit，同時設置質量縮放因子，通過主菜單Other-ALE Adaptive Mesh Domain進行自適應網格的設置。
之后定義接觸，驅動輥與變形體、芯輥與變形體之間為摩擦接觸，摩擦因子為0.15，接觸屬性包括切向和法向（法向硬接觸），芯輥和變形體之間采用無摩擦接觸。
之后定義邊界條件，芯輥給定一個徑向的速度值，如下所示。
驅動輥繞軸轉動，給定轉動角速度值，如下：
導向輥的邊界不好定義，為了準確定義其實可以采用Vuamp子程序來定義，如果不采用的話，則通過幅值的形式，給定不同時刻導向輥的位移值，其中給定的導向輥x方向位移幅值為：
同樣的方式定義y向的位移幅值。
劃分網格后即可求解，求解的某時刻等效塑性應變如下：
展開 形形色色機翼中的動力學奧秘
若是雙軸兩旋翼情況（如V-22魚鷹直升機），要求兩個旋翼的轉動方向相反且動量矩相等。對于四軸四旋翼情況，很容易推斷，它們要兩兩成對，分別朝反向轉動，動量矩大小要相等，以保證總動量矩為零。
圖7 共軸式雙旋翼直升機
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剛體的轉動慣量
上節提到Jz為剛體對轉軸的轉動慣量，它和物體平動的慣性量（即質量）類似。當轉動慣量越大時，轉動它越困難，或者使它轉動角速度增大越困難。具有相同質量的物體，形狀不同，其轉動慣量大小不同。以圖8所示實心長方體為例。這是一個三維尺寸為aⅹbⅹc的長方體，為簡單起見，令b=2a=4c；根據理論力學教科書，有如下公式：
其中：Jz，Jy，Jx分別是繞z，y，x三個軸、對物體重心點0的轉動慣量。可見，Jz最大，Jx次之，Jy最小。
圖8 正長方體
展開 
FLUENT中被動型動網格問題求解方案：6DOF（1）
下面是一個簡單的SDOF實例：
#include “udf.h”
DEFINE_SDOF_PROPERTIES(stage,prop,time,dtime)
{
prop[SDOF_MASS] = 800.0;
prop[SDOF_IXX] = 200;
Prop[SDOF_IYY] = 100;
Prop[SDOF_IZZ] = 100;
}
上面的UDF定義了一個名為stage的SDOF宏，且質量800kg，X方向轉動慣量為200，Y方向轉動慣量100，Z方向轉動慣量100
2、剛體參數的獲取
應用6DOF無可避免的會碰到剛體屬性值的獲取問題。對于簡單的幾何體，應用力學公式可以很方便的計算出諸如質量、轉動慣量等。但是對于復雜的幾何模型，要想通過數學公式計算出這些物理量幾乎是不可能的。
其實，幾乎所有的CAD建模軟件中均具有這些物理量的計算能力，不過要注意區分計算的是全局坐標系還是局部坐標系。
下次將以實例來描述如何應用6DOF模型求解被動型動網格問題。
展開 梁構件，你不得不知道的事
04 什么是轉動慣量？
注意積分變量是質量。
05 容易造成混亂的稱呼有哪些？
慣性矩也叫做，面積慣性矩、面積轉動慣量。轉動慣量也叫做，質量轉動慣量，質量慣性矩。寫到此，筆者心中一萬只草泥馬奔騰。
以下為八卦話題
但筆者覺得八卦也能揭示真理。
01 本文討論的梁，局限于材料力學，材料力學有啥用？
可以說一般機械工程師掌握好材料力學，將一生夠用。不過這不是因為材料力學牛，而是因為你只是一枚名不見經傳的工程師。
02 劉鴻文簡介
浙大教授，長期從事固體力學教學工作，從政履歷較為豐富，但僅限于人代和政協的職位，你懂的。其著作主要是圍繞材料力學，編的很好，堪稱一代名師。
學而優則仕在中國有悠久的傳統，劉教師從政沒有任何問題。筆者聽過施一公說，自己想為弱勢群體做點事，所以從政決心很大。施一公的善良用意筆者暫不贊美，而他的方法絕對是正確的。但凡在中國想做點事，不打入共產黨內部，是根本不行的。當聽聞有人在外大呼中國黑暗和不幸，并從未表明接近中國共產黨時，筆者知道他是不會成功的，他還沒有建功立業的心，是靠不住的。當然有人會說，加入中國共產黨會被同流合污，筆者覺得實在荒謬，因為筆者覺得，如果你不關心大多數人的福祉，我們又怎么會關心你的高潔呢。筆者想起，當年李登輝帶頭鬧事的時候，有人勸他加入國民黨。所以李登輝成功在內部分裂了國民黨，這才是手段。
展開 關于彈性體和非彈性體的轉動總結
最近有個做課題要用到轉動方面的知識。苦于沒有實例，自己摸索一陣子，以及論壇好友的幫助終于得到自己想要的結果了。現在把自己的心得與大家分享，不對的地方請大家指正。
1，關于彈性體轉動：【我做的恒定速度的轉動】
我從論壇上例子搜了幾次沒有得到自己想要的彈性體的例子，因為在轉動的過程中純彈性體會由于離心力的作用，不斷膨脹，變形，最后失真，沒有任何的作用。
后來朋友建議用 剛性體帶動彈性體的轉動。我是用ansys建模
現在分享下基本步驟：（1）為了便于后續操作，選擇過濾圖形界面。
（2）在ansys里面定義單元類型，以及確認對單元算法的選擇。
（3）定義材料的模型 剛體和彈性體的材料
（4）根據你的模型 自行建模。為了簡單期間。我就定義了2個正方體。
（5）關鍵一步驟。把2個體用glue命令粘貼在一塊。不能用add。
（6）把2個體分別用劃分網格，并且指定相應材料的屬性。
（7）現在開始創建part。如part1是剛體part2為彈性體。
（8）關鍵的一步。要想讓整個物體轉動必須先讓剛體轉動吧。現在就把重點指向剛體。
剛體轉動要定義轉動慣量。這就要定義一個inertia。把剛體的轉動慣量等等定義在這個里面。
這里如何提取轉動慣量呢，我們可以從下圖提取各種參數。
（9）至于速度等設定詳見K文件
zhuand.rar
展開 轉子命運，因你而變——陀螺力矩二三事
陀螺力矩 (gyroscopic moment) 又叫回轉力矩，是轉子動力學的基本概念之一，是指轉子繞其軸轉動時維持轉軸方向不變的慣性力矩。
當圓盤不裝在兩支承的中點，而是偏向于一邊時，如上圖所示，圓盤偏向于支承A處。當轉軸在運動過程中變形后，圖中轉軸呈弓形，此時圓盤的軸線與支承A和B的連線產生一個夾角Ψ。此時圓盤有兩個運動，一個運動是圓盤繞著自己的中心自轉，設圓盤的自轉角速度為Ω，圓盤的極轉動慣量為Jp (polar moment of inertia)，那么圓盤對質心O’的動量矩H 為：
講到這里，解釋一下，極轉動慣量就是圓盤相對于圓盤自身中心線的轉動慣量，是個標量。而動量矩H 是轉動慣量乘以自轉角速度Ω，而自轉角速度Ω 是有方向的，方向由右手定則確定，因此，動量矩H 是個矢量；從上圖中可以看出，動量矩H 的方向與自轉角速度Ω 方向相同，垂直于圓盤面斜向上，與水平線呈角度為Ψ------你說小編太啰嗦，講的太細？小編為了讓所有感興趣的同志們能看懂，我也是拼了！！！
圓盤還有一個運動，那就是圓盤中心O’與兩個支承A和B形成的平面繞著兩個支承連線AB做圓周運動，稱為進動（或公轉），進動角速度為ωn（ωn為矢量）。由于進動，圓盤的動量矩H 將不斷改變方向，因此有慣性力矩Mg：
講到這里，再解釋一下，由于自轉角速度Ω與進動角速度為ωn 均為矢量，且公式中兩者作叉乘（或叫叉積），因此慣性力矩Mg 也是有方向的，通過右手定則確定。上圖中慣性力矩Mg 的方向為垂直于O’ AB平面指向里，而大小為
注意！注意！注意！這個慣性力矩Mg 就稱為陀螺力矩或者回轉力矩！它是偏置的圓盤作用于轉軸的力矩。
展開 