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%%%%%% Matlab程序--BFGS擬牛頓算法 % clc % clear % syms x1 x2 % f=@(x1,x2)x1.^2+x2.^2-x1*x2-10*x1-4*x2+60 % X=BFGS(f,[0,0],1e-8,100) function x=BFGS(f,x0,eps,k) %f為函數(shù)表達(dá)式，x0初始值向量，eps誤差,k迭代次數(shù) x0=x0'; TiDu=matlabFunction

，牛頓型和牛頓型，一階公式，可用的內(nèi)置力數(shù)量略多于牛頓型，忽略慣性項(xiàng)公式。

牛頓迭代計(jì)算流程：圖 4：牛頓迭代法計(jì)算流程N(yùn)ewton-Raphson迭代算法：function varargout=newton(fun,x0,ep,maxiter)% NEWTON 牛頓法求方程的根if nargin<4 maxiter=500; % 默認(rèn)最大迭代次數(shù)endif nargin<3 ep=1e-8; % 默認(rèn)允許誤差

完整描述（過(guò)于枯燥建議跳過(guò)）：“SilverBullet 是基于人工智能技術(shù)的單目標(biāo)智能優(yōu)化算法、集成強(qiáng)化學(xué)習(xí)技術(shù)的 SilverWing 單目標(biāo)智能代理優(yōu)化算法、單純形算法、方向加速算法、共軛梯度算法、擬牛頓法、截?cái)?em>牛頓法、線性近似約束優(yōu)化方法、序貫最小二乘規(guī)劃算法、信賴域算法、粒子群及其多種改進(jìn)算法、第三代非支配排序遺傳算法。

收斂速度：在非線性分析中，CSS8單元的牛頓迭代收斂步數(shù)比未采用 EAS 的單元少 20%-30%，尤其在近不可壓縮材料分析中優(yōu)勢(shì)明顯。

基于此，團(tuán)隊(duì)創(chuàng)新開(kāi)發(fā)氣-液-固三相湍流模擬方法（VOF - RSM - DEM），其中自主研發(fā)的 DEMms 軟件，憑借獨(dú)特的算法架構(gòu)與模擬能力，成為攻克該難題的核心技術(shù)支撐。創(chuàng)新算法架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)顆粒運(yùn)動(dòng)精準(zhǔn)建模DEMms 軟件基于離散元法構(gòu)建核心算法體系，深度融合牛頓第二定律與歐拉第二運(yùn)動(dòng)定律，為顆粒的平移與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)提供精確的動(dòng)力學(xué)描述。

今日推文主要分享一個(gè)非線性方程的牛頓-拉弗森迭代解法，借助Fortran語(yǔ)言，講述Fortran編程時(shí)需要注意的地方。理論及在Abaqus中的實(shí)現(xiàn)過(guò)程已在上幾期推文基于Abaqus的Newton-Raphson算法中說(shuō)明，本次主要說(shuō)明Fortran編程時(shí)需要注意的地方，本文代碼主要參考：《Fortran程序設(shè)計(jì)權(quán)威指南》。

當(dāng)發(fā)生塑性屈服時(shí)，根據(jù)應(yīng)力更新的公式：可以計(jì)算：式中：式中：為硬化曲線的梯度，各向同性硬化曲線使用數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合為分段線性函數(shù)：因此最終可得到一致性切線剛度矩陣的表達(dá)式為：2 算法描述整個(gè) return-mapping 算法框圖如下：牛頓迭代法算法框圖如下：3 UMAT代碼umat使用

在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長(zhǎng)法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和步長(zhǎng)有關(guān)。弧長(zhǎng)法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應(yīng)峰值和下降響應(yīng)曲線。但也發(fā)現(xiàn)：在峰值點(diǎn)，弧長(zhǎng)法仍可能失效，甚至在非線性計(jì)算的線性階段，它也可能會(huì)無(wú)法收斂。 為此，盡量不要從開(kāi)始即激活弧長(zhǎng)法，還是讓程序自己激活為好（否則出現(xiàn)莫名其妙的問(wèn)題）。

并根據(jù)結(jié)構(gòu)面段信息自動(dòng)調(diào)整粒子的分布，大大減少了了達(dá)到理想精度所需的節(jié)點(diǎn)數(shù)，提高了計(jì)算效率 開(kāi)發(fā)了流體熔合算法，并利用該算法對(duì)焊料橋接進(jìn)行了仿真。此外，還包含非牛頓流體模型，能夠模擬非牛頓粘性流動(dòng)問(wèn)題私信回復(fù)“ISPG”可獲取相關(guān)模型及學(xué)習(xí)資料更多內(nèi)容分享，歡迎關(guān)注我們！

參考文獻(xiàn)：NURBS自由曲面在光機(jī)設(shè)計(jì)和分析中的應(yīng)用The NURBS Book 2nd迭代算法1：距離矢量算法：首先，建立已知的空間坐標(biāo)(x，y)和待求的參數(shù)空間坐標(biāo)S(u，v)之間的距離矢量公式如下：當(dāng)距離矢量 r 取得最小值時(shí)，r 和 NURBS 曲面在參數(shù)坐標(biāo)所決定的空間點(diǎn)處的切向量的點(diǎn)積應(yīng)為零采用牛頓迭代算法求解方程組，對(duì)上式兩端進(jìn)行偏微分

并根據(jù)結(jié)構(gòu)面段信息自動(dòng)調(diào)整粒子的分布，大大減少了了達(dá)到理想精度所需的節(jié)點(diǎn)數(shù)，提高了計(jì)算效率 開(kāi)發(fā)了流體熔合算法，并利用該算法對(duì)焊料橋接進(jìn)行了仿真。此外，還包含非牛頓流體模型，能夠模擬非牛頓粘性流動(dòng)問(wèn)題 文章來(lái)源：Ansys 2023R1網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)，作者：許敬曉博士，ANSYS高級(jí)研發(fā)工程師

軌道動(dòng)力學(xué)-涉及算法: 核心算法: 常微分方程（ODE）組的數(shù)值積分。原因：航天器的軌道和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)可以用牛頓運(yùn)動(dòng)定律或拉格朗日方程描述為一組ODE，然后使用數(shù)值積分器（如Runge-Kutta, Adams-Bashforth）進(jìn)行求解。-計(jì)算特點(diǎn): 單軌道計(jì)算順序性強(qiáng): 數(shù)值積分是逐步推進(jìn)的，難以在單次積分過(guò)程中進(jìn)行并行化。

前幾期給大家介紹了兩期有關(guān)有限元非線性求解的基本數(shù)值算法：牛頓法和修正牛頓法，本期繼續(xù)帶著大家學(xué)習(xí)新的非線性算法——Incremental Secant Method，也就是常說(shuō)的割線法。

十七世紀(jì)，牛頓和惠更斯對(duì)幾何光學(xué)研究做出巨大貢獻(xiàn)，但是對(duì)“光是什么”的問(wèn)題仍沒(méi)有一致的答案。直到1864年，麥克斯韋在法拉第等學(xué)者對(duì)電和磁的研究基礎(chǔ)上，總結(jié)并構(gòu)造了麥克斯韋方程，同時(shí)提出光是一種電磁波。之后，1888年，經(jīng)過(guò)赫茲實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，光就是一種電磁波。從此開(kāi)啟了光學(xué)電磁理論的新紀(jì)元，帶動(dòng)了波動(dòng)光學(xué)、量子光學(xué)、傅里葉光學(xué)等學(xué)科的新興與發(fā)展。

培訓(xùn)過(guò)程中，參培工程師們與擬創(chuàng)團(tuán)隊(duì)積極探討模型構(gòu)建過(guò)程。

以下是一些常見(jiàn)的求解器和算法：結(jié)構(gòu)強(qiáng)度分析算法：用于計(jì)算裝甲車輛結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變和變形，常用的算法包括有限元方法、邊界元方法等。車輛動(dòng)力學(xué)仿真算法：用于模擬裝甲車輛的運(yùn)動(dòng)特性、操控性能和行駛穩(wěn)定性，常用的算法包括牛頓-歐拉方法、迭代方法等。防護(hù)性能評(píng)估算法：用于計(jì)算裝甲車輛的防護(hù)能力和抗彈性能，包括彈道計(jì)算、材料特性模型等。

局部?jī)?yōu)化算法目前，提供了三種用于最小化多元函數(shù)的非線性局部算法：Nelder&amp;Mead的下坡單純形法，它的收斂速度不是很快，但它是一種簡(jiǎn)單而魯棒的方法。通常適用于少于6個(gè)自由參數(shù)。鮑威爾（方向集）法它可能更適合于大量的自由參數(shù)(>10).Levenberg-Marquardt算法它“在高斯-牛頓算法和梯度下降法之間進(jìn)行插值。

牛頓-迭代硬閾值（Newton-IHTs）算法：是IHTs的性能升級(jí)版本，在IHTs的迭代邏輯基礎(chǔ)上，額外引入Hessian矩陣的逆矩陣參與中間結(jié)果計(jì)算——這一改進(jìn)能顯著加快迭代收斂速度，進(jìn)一步縮短非線性光刻優(yōu)化的運(yùn)算周期。

②再按照綠色箭頭流程進(jìn)行高程傳遞，根據(jù)轉(zhuǎn)換得到的高和已知高計(jì)算出高程異常值，最后根據(jù)高程擬合算法進(jìn)行計(jì)算擬合參數(shù)。其中這里的高程擬合方法包括：加權(quán)平均值法、平面擬合法、曲面擬合法、帶狀擬合法。