坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與參數(shù)計(jì)算介紹

繪夢(mèng)流光

2022年9月27日 14:12

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大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換一直是導(dǎo)航領(lǐng)域十分關(guān)注的課題，在GPS的應(yīng)用中有著必不可少的作用。隨著GPS越來(lái)越廣泛的使用，其精度要求也越來(lái)越高，大地坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換的重要性日趨明顯，甚至許多項(xiàng)目的成敗完全取決于坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)換精度。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)及移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，數(shù)據(jù)的處理和信息的傳遞突破了時(shí)間和地域的限制，作為信息時(shí)代的產(chǎn)物和寵兒，全球定位系統(tǒng)得到了空前的發(fā)展和應(yīng)用，為空間定位提供了準(zhǔn)確、可靠的數(shù)據(jù)，而這些準(zhǔn)確、可靠的數(shù)據(jù)更需要算法的支持。在手機(jī)軟件測(cè)量大師的開(kāi)發(fā)過(guò)程中，我有幸涉獵到該領(lǐng)域的算法知識(shí)。在這里我將分別從坐標(biāo)系統(tǒng)基本理論、不同坐標(biāo)系及不同橢球間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、測(cè)量大師中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法及參數(shù)計(jì)算過(guò)程這幾個(gè)方面來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

一

坐標(biāo)系統(tǒng)基本理論

1、地球橢球的基本概念

在測(cè)量學(xué)中，把用來(lái)表示地球的橢球稱為地球橢球，它是地球的數(shù)學(xué)表示，是經(jīng)過(guò)一定選擇的旋轉(zhuǎn)橢球。參考橢球是具有一定的幾何參數(shù)、定位以及定向的用來(lái)表示某一大地面的地球橢球。各個(gè)國(guó)家根據(jù)局部的天文、大地和重力的測(cè)量資料，研究當(dāng)?shù)卮蟮厮疁?zhǔn)面的情況，確定一個(gè)與地球橢球接近的橢球，用來(lái)表示地球的參考形狀及大小，以此作為處理大地測(cè)量成果的依據(jù)，一般稱這個(gè)橢球的外表面為參考橢球面。參考橢球只能較好的接近大地水準(zhǔn)面，并不能反映大地體的一切情況。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與參數(shù)計(jì)算介紹的圖1

圖1 參考橢球

旋轉(zhuǎn)橢球是某橢圓繞其自身短軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何形體。子午橢圓的五個(gè)基本元素分別為:長(zhǎng)半軸a、短半軸b、扁率f、橢圓第一偏心率e、橢圓第二偏心率e'。這其中，a, b為長(zhǎng)度元素，f體現(xiàn)了橢球的扁平程度。e和e'為橢圓的焦點(diǎn)偏離中心的距離與其半徑的比值。要確定旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小，只要知道這五個(gè)基本參數(shù)中的一個(gè)長(zhǎng)度元素和其他任意一個(gè)參數(shù)便足夠了。如圖1所示，O為橢球中心，NS是旋轉(zhuǎn)軸，a是長(zhǎng)半軸，b是短半軸。子午面是通過(guò)橢球旋轉(zhuǎn)軸的平面，其與橢球面的交線叫做子午圈；平行圈是橢球面與垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面截得的圓，這其中經(jīng)過(guò)橢球中心O的平行圈叫做赤道。

2、常用坐標(biāo)表現(xiàn)形式

為了表示橢球面上點(diǎn)的位置，必須建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，選用不同的坐標(biāo)系，其坐標(biāo)表現(xiàn)形式也不同。橢球點(diǎn)上的位置，在大地測(cè)量學(xué)中通常采用的坐標(biāo)系有大地坐標(biāo)系，空間直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系等。在同一參考橢球基準(zhǔn)下，大地坐標(biāo)系，空間直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系是等價(jià)的，是一一對(duì)應(yīng)的，只是不同的坐標(biāo)表現(xiàn)形式。

(1)大地坐標(biāo)系

大地坐標(biāo)系是大地測(cè)量的基本坐標(biāo)系，是全世界公用的最方便的坐標(biāo)系統(tǒng)，對(duì)于研究地球形狀、編制地圖和大地測(cè)量的計(jì)算等方面都有很大作用。如圖2所示在大地坐標(biāo)系中，空間中任意點(diǎn)的位置采用大地緯度B、大地經(jīng)度L和大地高 H來(lái)表示。大地緯度是指空間中某一點(diǎn)P的法線與赤道面的夾角，赤道以北叫做北緯；赤道以南叫做南緯。大地經(jīng)度是指P點(diǎn)所在的子午面與參考橢球的起始子午面所構(gòu)成的夾角，起始子午面以東叫做東經(jīng)，起始子午面以西叫做西經(jīng)。大地高 H即空間的點(diǎn)沿著參考橢球的法線方向到橢球面的距離，由橢球面起算，向外為正，向內(nèi)為負(fù)。它與正高 H正和正常高 H正常，存在以下關(guān)系:H=H正+N(大地水準(zhǔn)面差距)

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與參數(shù)計(jì)算介紹的圖2

圖2 大地坐標(biāo)系示意圖

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換與參數(shù)計(jì)算介紹的圖3

圖3 大地高程示意圖

(2)空間直角坐標(biāo)

空間直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為橢球的中心，X軸為赤道面和起始子午面的交線;將在赤道面上并與X軸垂直的方向定為Y軸;坐標(biāo)系的Z軸為橢球的旋轉(zhuǎn)軸，由此構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系0-XYZ。

圖4 空間直角坐標(biāo)系示意圖

(3)平面直角坐標(biāo)

在小范圍內(nèi)進(jìn)行測(cè)量工作時(shí)如果用大地坐標(biāo)來(lái)描繪點(diǎn)的空間位置是不適宜的，因此經(jīng)常采用平面直角坐標(biāo)。測(cè)量學(xué)中的平面直角坐標(biāo)系是利用某種投影變換例如高斯投影如圖所示，將空間坐標(biāo)經(jīng)數(shù)學(xué)變換映射至平面上，投影變換的方法很多，我國(guó)通常采用高斯投影，因此在我國(guó)平面直角坐標(biāo)系通常也稱為高斯平面直角坐標(biāo)系。一般選擇高斯投影平面作為坐標(biāo)平面，與數(shù)學(xué)中的平面直角坐標(biāo)系不同的是，其x軸為縱軸，上(北)為正，Y軸為橫軸，右(東)為正，方位角是從北方向?yàn)闇?zhǔn)按順時(shí)針?lè)较蛴?jì)算出的夾角。

圖5 高斯投影平面直角坐標(biāo)系

二

不同坐標(biāo)系及不同橢球間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

測(cè)量坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一般包括兩方面的內(nèi)容:坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。同一坐標(biāo)基準(zhǔn)下，空間點(diǎn)不同表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換叫做坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換。如在WGS-84坐標(biāo)系下，某點(diǎn)的大地坐標(biāo)(B, L, H)與空間直角坐標(biāo)(X,Y, Z)之間的轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換則為在不同坐標(biāo)基準(zhǔn)下的同一坐標(biāo)表現(xiàn)形式的轉(zhuǎn)換，必須求定兩個(gè)不同坐標(biāo)基準(zhǔn)的轉(zhuǎn)換參數(shù)才能進(jìn)行轉(zhuǎn)換。如1954北京坐標(biāo)系標(biāo)系與2000國(guó)家大地坐標(biāo)系下空間直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。因此，從理論上講，結(jié)合坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換和坐標(biāo)基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換，便能在數(shù)據(jù)量足夠多并精確的條件下，實(shí)現(xiàn)任意兩個(gè)坐標(biāo)基準(zhǔn)之間不同坐標(biāo)形式的轉(zhuǎn)換。具體流程如圖6所示：

圖6 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換及基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換關(guān)系

我們都知道，在工程上使用的坐標(biāo)主要是小區(qū)域范圍的平面投影坐標(biāo)，因此在接收機(jī)獲取到WGS84的經(jīng)緯度坐標(biāo)時(shí)需要做進(jìn)一步的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，我們測(cè)量大師已經(jīng)滿足需求。這里介紹一下測(cè)量大師中涉及的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，其包括以下三種：四參數(shù)+高程擬合法（一步法）、七參數(shù)+四參數(shù)+高程擬合法（兩步法）、七參數(shù)法。

圖7 四參數(shù)+高程擬合

這里以WGS-84橢球下的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到北京54橢球坐標(biāo)系的過(guò)程為例來(lái)介紹這三種轉(zhuǎn)換過(guò)程。如圖7所示，由接收機(jī)獲取到的WGS-84的大地坐標(biāo)（BLH）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換成WGS-84空間直角坐標(biāo)系，然后直接賦值給北京54空間直角坐標(biāo)系，在北京54橢球參數(shù)下進(jìn)行空間直角坐標(biāo)向大地坐標(biāo)（BLH）轉(zhuǎn)換，然后在進(jìn)行高斯投影，從而獲得平面直角坐標(biāo)。這里獲取的投影坐標(biāo)是有誤差的，因此要通過(guò)提供四參數(shù)以及高程擬合參數(shù)分別對(duì)平面坐標(biāo)及高程異常進(jìn)行水平垂直矯正。

圖8 七參數(shù)+四參數(shù)+高程擬合

如圖8所示，在WGS-84空間直角坐標(biāo)向北京54空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中需要已知的橢球間的轉(zhuǎn)換七參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后在最后進(jìn)行平面及高程矯正。圖9中，提供橢球間轉(zhuǎn)換七參數(shù)即可，轉(zhuǎn)換結(jié)果不進(jìn)行矯正。

圖9 七參數(shù)法

三

參數(shù)計(jì)算過(guò)程

由前面可知，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程中需要提供四參數(shù)、七參數(shù)以及高程擬合參數(shù)，那么這些參數(shù)是怎么得到的呢？這節(jié)就開(kāi)始解密參數(shù)的計(jì)算過(guò)程。

在使用測(cè)量大師做參數(shù)計(jì)算時(shí)，當(dāng)選擇四參數(shù)+高程擬合參數(shù)的方法時(shí)，四參數(shù)及高程擬合參數(shù)計(jì)算如圖10所示。首先要有至少兩組GNSS坐標(biāo)和已知控制點(diǎn)坐標(biāo)；①先按照紅色箭頭的流程進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，當(dāng)轉(zhuǎn)換到北京54平面投影坐標(biāo)時(shí)，開(kāi)始根據(jù)轉(zhuǎn)換得到的坐標(biāo)和已知的控制點(diǎn)平面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算四參數(shù)。②再按照綠色箭頭流程進(jìn)行高程傳遞，根據(jù)轉(zhuǎn)換得到的高和已知高計(jì)算出高程異常值，最后根據(jù)高程擬合算法進(jìn)行計(jì)算擬合參數(shù)。其中這里的高程擬合方法包括：加權(quán)平均值法、平面擬合法、曲面擬合法、帶狀擬合法。

圖10 四參數(shù)+高程擬合計(jì)算圖解

當(dāng)選擇七參數(shù)+四參數(shù)+高程擬合參數(shù)法時(shí)，算法流程如圖11所示：首先要確保至少三組GNSS坐標(biāo)和已知控制點(diǎn)坐標(biāo)；①先按照紅色箭頭流程，左側(cè)WGS-84大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成WGS-84空間直角坐標(biāo)，右側(cè)由地方控制點(diǎn)坐標(biāo)直接通過(guò)逆投影轉(zhuǎn)換成北京54大地坐標(biāo)，然后再轉(zhuǎn)成北京54空間直角坐標(biāo)，最后通過(guò)至少三組WGS-84空間直角坐標(biāo)和北京54空間直角坐標(biāo)計(jì)算出七參數(shù)；②再按照綠色箭頭流程，將已知GNSS坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成WGS-84空間直角坐標(biāo)，再使用①流程計(jì)算出的七參數(shù)進(jìn)行基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換成北京54空間直角坐標(biāo)，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成北京54平面坐標(biāo)，從而與地方平面坐標(biāo)進(jìn)行對(duì)比計(jì)算出四參數(shù)；③最后按照藍(lán)色箭頭流程通過(guò)七參數(shù)和四參數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，計(jì)算出高程異常值，進(jìn)行高程擬合從而得到高程擬合參數(shù)。

圖11 七參數(shù)+四參數(shù)+高程擬合計(jì)算圖解

四

成果展示

測(cè)量大師參數(shù)計(jì)算升級(jí)版本已經(jīng)發(fā)布，這里展示一下我們的成果。參數(shù)計(jì)算方法已實(shí)現(xiàn)四參數(shù)+高程擬合法、七參數(shù)+四參數(shù)+高程擬合法、七參數(shù)法如圖12所示，高程擬合方法已實(shí)現(xiàn)加權(quán)平均法、平面擬合法、曲面擬合法、帶狀擬合法以及保留上一版本的垂直平差法如圖13所示。由圖14、15、16可以看出我們的軟件計(jì)算精度比肩同行軟件，已經(jīng)滿足工程需求及市場(chǎng)需求。