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牛頓迭代法的思想是將非線性方程線性化，以線性方程的解逼近非線性方程的解，具體操作如下： 牛頓迭代法圖形解釋 對于非線性方程f(x)=的迭代解法有如下格式 3.非線性有限元迭代法雖然上文只是簡單的一維問題，但是我們可以把它當做位移法有限元的原型，對于一般有限元，離散平衡方程一般具有如下形式： 對于試探解、一般有 該方程的求解有如下形式

12、如果滿足限制要求，則迭代結束，該增量步計算收斂并結束。如果不滿足要求，則迭代繼續。同時，迭代步不是無限制地增加，當超過16次迭代時，迭代將停止，增量步將不收斂。下載地址：ABAQUS非線性有限元分析與實例

非線性靜力分析需要求解非線性平衡方程，程序采用全牛頓-拉弗森或修正全牛頓-拉弗森迭代法。許多問題涉及歷程相關的響應，因此通常通過一系列的增量步得到求解結果，在每個增量中通過迭代得到平衡。有時必須保持增量較小(意味著轉動和應變增量必須小),以確保對歷程相關影響的正確模擬，但最常見的是，增量步大小的選擇是計算效率的問題，如果增量步太大則需要更多迭代。

對于穩態分析，控制非線性解的缺省設置對于大多數問題都是足夠的。對于那些需要額外控制的問題，可以覆蓋溫度、載荷和功的收斂容差。 在SOL400中可以采用純全牛頓法進行迭代求解，對非線性程度高的問題比較有效。穩態分析的初始條件：由于非線性方程是用迭代策略求解的，要考慮初始條件對問題收斂的速度有多大的影響，或者它是否會收斂。初始條件提供了迭代求解方法的起始點溫度。

本次分享的是基于Modified Newton–Raphson的非線性有限元編程小案例，將會介紹牛頓法的優缺點，以及如何一步步修正，最后結合彈簧單元的例子進行Modified Newton–Raphson數值實現，望大家喜歡。

牛頓-迭代硬閾值（Newton-IHTs）算法：是IHTs的性能升級版本，在IHTs的迭代邏輯基礎上，額外引入Hessian矩陣的逆矩陣參與中間結果計算——這一改進能顯著加快迭代收斂速度，進一步縮短非線性光刻優化的運算周期。

前幾期給大家介紹了兩期有關有限元非線性求解的基本數值算法：牛頓法和修正牛頓法，本期繼續帶著大家學習新的非線性算法——Incremental Secant Method，也就是常說的割線法。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統可以以下公式表示：為了進行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數學問題的最著名的方法。此分析會持續收斂，直到殘余力小于收斂標準時即完成解答。幾何擾動(Imperfection)模型應用有時在數值分析過程中，結構分析中不容易出現非線性情況。

上述為非線性等式，我們須將其正切剛性線性化，并迭代求解。線性化后的平衡系統可以以下公式表示： 為了進行迭代計算，我們采用牛頓-拉弗森方法──解決非線性數學問題的最著名的方法。此分析會持續收斂，直到殘余力小于收斂標準時即完成解答。 幾何擾動(Imperfection)模型應用 有時在數值分析過程中，結構分析中不容易出現非線性情況。

今日推文主要分享一個非線性方程的牛頓-拉弗森迭代解法，借助Fortran語言，講述Fortran編程時需要注意的地方。理論及在Abaqus中的實現過程已在上幾期推文基于Abaqus的Newton-Raphson算法中說明，本次主要說明Fortran編程時需要注意的地方，本文代碼主要參考：《Fortran程序設計權威指南》。

3非線性逼近技術。 在ANSYS里還是牛頓－拉普森法和弧長法。牛頓－拉普森法是常用的方法，收斂速度較快，但也和結構特點和步長有關。弧長法常被某些人推崇備至，它能算出力加載和位移加載下的響應峰值和下降響應曲線。但也發現：在峰值點，弧長法仍可能失效，甚至在非線性計算的線性階段，它也可能會無法收斂。

而非線性分析中，剛度矩陣隨計算過程變化，需要通過牛頓-拉夫遜法等算法進行多次迭代，計算量呈幾何倍數增長。 2?? 幾何非線性 (Geometric Nonlinearity) 當結構發生“大位移”、“大轉動”或“大應變”時，初始構型發生顯著改變（如釣魚竿受力）。此時，必須開啟大變形開關，以修正剛度矩陣對構型變化的響應。

可以看出，即使在1981年，adina的單元類型和材料支持也已經比較豐富，超彈性，彈塑性，粘塑性都已經支持，分析類型包括振型疊加，隱式或者顯式直接積分，非線性求解采用修正的牛頓迭代或者BFGS，技術似乎并沒有落后太多。ADINA81的文件夾下一共有11個程序，文件命名居然是A10,A20這種，完全看不出含義。

這兩種迭代方法各有優劣，常剛度迭代法由于切線剛度矩陣只需要計算一次，因此每一次迭代的速度比較快，但所需的迭代步數比較多，適合一些非線性程度比較低，比較容易收斂的結構；NR迭代由于每迭代一次就要生成一次切線剛度矩陣，在此會花費較多時間，但是收斂所需的步數較少，當結構可能出現強非線性，或者需要考慮大位移等效應時，建議采用NR迭代。

Abaqus/Standard應用Newton-Raphson算法解決非線性問題，木木本期就為同學們“盡可能”全面講解該算法，從Abaqus內部算法到數學問題中的非線性方程Newton-Raphson算法理論，最后結合具體非線性方程給出相應的代碼，如此一來，更加生動地演繹Newton-Raphson迭代過程。

其實該方法已經埋下了一個收斂隱患：解的精度依賴每次迭代求出的雅可比矩陣，而且每次迭代都需要求切線剛度，然后求解線性方程組，使得計算成本較大，為解決該問題，大佬們又在牛頓迭代的基礎上進行一些修正，使得計算成本更低，收斂更快、更穩定。

：代入到最后一個一致性方程中可得：即可利用牛頓迭代法對上述非線性方程進行求解，得到塑性乘子增量。

大多數的結構分析計算，為了快速獲得該結構因受外力或溫度變化而產生的變形，不使用迭代法而進行線性結構分析。然而，與線性結構分析相比，透過迭代方法獲得的非線性結構分析結果，更可以考慮位移對于結構或外力的影響。Moldex3D支持非線性翹曲分析求解器，為用戶提供有限變形和幾何非線性分析(材料非線性需要利用其他整合性功能來考慮)。

Simdroid“非線性屈曲”分析界面 “柱面弧長法”是牛頓迭代法的一種擴展，當結構臨近失穩極限時，其剛度矩陣一般是奇異或者接近奇異的狀態，此時無法采用牛頓迭代法求解，采用弧長法引入了荷載乘子作為求解自變量，可以避免剛度矩陣奇異的情況。采用弧長法時要求荷載必須是正比例加載，荷載乘子也被稱為荷載正比例系數（LPF），求解出的荷載乘子有可能隨著位移的增加增大或者減小。