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在有限元分析中，我們經(jīng)常會和非線性打交道，如材料非線性、幾何非線性、邊界非線性。非線性有限元一直是有限元中較為困難的一部分，在非線性有限元中我們經(jīng)常碰到諸如Newton-Raphson迭代法，切線剛度陣等概念，今天我們就單的介紹一下非線性吧。

來源：有限元在線ABAQUS的非線性主要在有三種：幾何非線性，材料非線性以及接觸非線性。接觸非線性在ABAQUS的有限元計算分析中應用非常廣泛，特別是動態(tài)顯式的求解，只要模型中包含兩個以上相互接觸的部件，就要用到接觸非線性。ABAQUS接觸非線性的設置主要在Interation模塊中完成，設置接觸的屬性時，可以設置摩擦系數(shù)，阻尼系數(shù)，損壞，失效準則等非線性參數(shù)，如圖1所示。

結論 本文基于ABAQUS有限元軟件，考慮材料非線性、幾何非線性、邊界條件非線性等因素，建立了橡膠減振器的精確的非線性有限元模型，通過非線性分析得到了該系統(tǒng)的共振頻率為87.89Hz。并通過振動試驗驗證有限元模型，發(fā)現(xiàn)有限元計算與試驗結果誤差在1.15%左右。

本文以1986年的文檔《ADIINA_ADINAT使用手冊-自動動態(tài)增量非線性分析有限元程序》和ADINA81，ADINA84兩個版本的源代碼為基礎，回顧一下當時先進的非線性有限元程序。文檔和源代碼均從網(wǎng)絡獲得。手冊描述了adina支持的單元類型，材料本構及分析類型。

再例如：在多體問題中，如果有構件發(fā)生很大的剛體位移或轉動，就需要將 Nlgeom 設為 ON，但如果這時材料仍處于線彈性狀態(tài)，就不是材料非線性問題。用戶在建模過程中，明確三種非線性的基本概念和定義方法之后，應該正確定義相關的非線性參數(shù)。 下載地址：Abaqus 非線性有限元分析實例

寫在前面的話 非線性有限元編程終于有了個開端了，有關這一塊要求的功底相對于線彈性編程，著實有點高，不僅要掌握有限元分析的流程，還要熟悉各種數(shù)值算法（研一時的數(shù)值分析）。不過也不要慌，遇到什么算法就去了解什么算法，千萬不要為了掌握有限元中的非線性，而去系統(tǒng)學習數(shù)值分析，時間成本太高，除非你有很多的時間(個人理解)。

今天開始，將要更新接觸方面的非線性有限元編程知識，本篇推文會給大家?guī)硪韵聝热荩? 接觸相關概念 結合單點接觸問題，使用理論解析方法求出接觸力 分別使用拉格朗日乘子法和罰函數(shù)法求解接觸力 接觸相關概念 接觸是將多個部件連接在一起的主要工具，包括螺釘、螺栓、焊縫等，接觸非線性可以被歸類為邊界非線性

?? CAE黑話科普：線性與非線性的“分水嶺” 在有限元分析（FEA）中，區(qū)分線性與非線性是方案制定的首要任務。簡單來說，線性是“理想化”，非線性才是“真實世界”。 1?? 線性 vs 非線性 (Linear vs. Nonlinear) 線性分析假設位移與載荷成正比，剛度矩陣 $$$$ 固定不變，計算一次即可。

圖1 耳片結構算例4.有限元模型的生成4.1 幾何模型建立本模型由一個耳片結構和兩根軸結構組成，具體的幾何尺寸如下圖所示：圖 2 耳片結構尺寸參數(shù)圖 3 軸結構尺寸參數(shù)4.2 網(wǎng)格生成及材料定義材料采用彈塑性非線性材料，具體材料參數(shù)如下圖所示：圖 4 線彈性材料參數(shù) 圖 5 塑性材料參數(shù)

全面的非線性分析能力MARC提供業(yè)內領先的非線性求解技術，涵蓋：幾何非線性：支持大變形、大應變、大旋轉分析材料非線性：包含500+種材料模型，涵蓋金屬、聚合物、復合材料、超彈性體等接觸非線性：處理復雜多體接觸、自接觸與摩擦問題邊界條件非線性：模擬隨動載荷、跟隨力等復雜工況2.

本文主要推導ABAQUS在幾何非線性（大變形）有限元分析中，用于計算單元切線剛度矩陣的算法。幾何非線性意味著需要考慮變形梯度、應力的客觀性以及應變與位移關系的高階項?？偳芯€剛度矩陣通常由材料剛度矩陣和幾何剛度矩陣構成。附件是算法的研究報告及子程序測試情況。

該算法也是Kim教授書中第二章最后的非線性算法介紹了，至于弧長法和別的非線性算法可能后期會加以補充，后續(xù)將會介紹力控制加載與位移加載的區(qū)別與聯(lián)系，再后來將會帶來各種非線性有限元案例，敬請期待~ 【聲明】：本次案例分享來自Kim教授的《Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis》，想要深入了解非線性有限元理論的小伙伴

在有限元軟件出現(xiàn)之前，材料非線性的計算與預測都比較復雜，手工計算超彈材料的變形與應力要花費很多的時間和工作?，F(xiàn)在有了有限元軟件，非線性材料的分析工作變得更快捷、準確、有趣了。

板殼單元是有限元中應用廣泛而又具有難度的單元類型，其在相當一段時間內是計算力學研究者廣泛研究的對象。常見的有K J bathe的MITC殼單元，龍馭球院士的廣義協(xié)調殼單元，Belytschko的belytschko-tsay殼單元等。殼單元在幾何非線性下的響應評估準確度和計算效率，是有限元軟件幾何非線性計算能力的重要體現(xiàn)。

本次分享的是基于Modified Newton–Raphson的非線性有限元編程小案例，將會介紹牛頓法的優(yōu)缺點，以及如何一步步修正，最后結合彈簧單元的例子進行Modified Newton–Raphson數(shù)值實現(xiàn)，望大家喜歡。

共旋非線性單元的好處就是線性單元通過扣除剛體轉動的映射可以直接變成非線性單元，特別適用于處理大轉動小變形的幾何非線性問題。參考文獻：1、Felippa C A, Haugen B. A unified formulation of small-strain corotational finite elements: I. Theory[J].

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與非線性共旋殼類似，處理大轉動小應變問題時，采用共旋格式描述梁單元比較方便，個人感覺共旋梁和幾何精確梁各有千秋吧。根據(jù)Crisfield的最初一篇文獻，可以編寫對應的matlab程序，實現(xiàn)共旋梁單元，根據(jù)Battini的文獻，可以考慮梁的翹曲效應。參考文獻：1、Crisfield M A.