在結(jié)構(gòu)有限元分析中，常會遇到如橡膠、生物組織等非金屬材料。由于這些材料的力學性能和金屬材料的力學性能有著巨大區(qū)別，如大彈性變形，不可壓縮性，粘彈性等等。力學家和工程師們將這些材料統(tǒng)稱為超彈（Hyperelastic）材料，并將描述這類材料的力學模型稱之為超彈模型。

這些超彈材料（模型）都有顯著的特征：

• 能承受很大的彈性（可恢復）變形，有時應變最高可達10倍。

• 超彈材料幾乎是不可壓縮的。因為變形是通過材料分子鏈的拉直引起, 所以在外加應力作用下的體積變化很小。

• 應力-應變關(guān)系呈現(xiàn)出高度的非線性。通常, 拉伸狀態(tài)下, 材料先軟化再硬化，而壓縮時材料急劇硬化。

為了預測和分析這些超彈材料的力學性能，力學家們提出了很多模型。常見的超彈模型有：Neo-Hookean, Mooney-Rivlin, Odgen, Arruda-Boyce, Gent, Yeoh, Blatz-Ko等等。目前無論是各種橡膠制品（如密封圈），生物材料（如肌肉），到電影虛擬渲染（CG）都大量用到了這些模型。WELSIM也已經(jīng)基本支持了這些模型。今天我們就來詳細介紹一下neo-Hookean。

Neo-Hookean模型

Ronald Rivlin（1915-2005）在1948年提出，此Rivlin同時也是提出著名Mooney-Rivlin超彈模型的Rivlin。可以看出neo-Hookean并不是以人名命名的模型。這位出生于英國的力學家早年本科畢業(yè)于英國劍橋著名的圣約翰學院（St. John’s Colleage），畢業(yè)后沒多久就經(jīng)歷了第二次世界大戰(zhàn)，先后在通用電氣，英國飛機制造局，大不列顛橡膠制造研究所工作過，并對橡膠的研究展現(xiàn)出極大的興趣和成就。37歲獲得博士學位。后移居美國并先后在布朗大學（Brown University）和里海大學（Lehigh University）任教。

Neo-Hookean模型是所有常用超彈模型中具有最簡單形式的一個。其彈性應變能勢能表達式為

其中，u是初始剪切模量。D1是材料不可壓縮參數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)，模型是以應變張量不變量I_1為基礎(chǔ)的應變能函數(shù)。如果材料假設(shè)為不可壓縮材料，則J=1，第二項為0。

Neo-Hookean模型是基于經(jīng)典的統(tǒng)計熱動力學結(jié)果推導而出。這點和我們之前介紹的Arruda-Boyce模型是類似的。當Arruda-Boyce模型中的有限網(wǎng)格拉伸參數(shù)為無限大時，就等同于neo-Hookean。同時，此模型可以看作是多項式（Polynomial）模型的一種特殊形式。對于多項式模型參數(shù)N=1，C01=0時，多項式模型等同于neo-Hookean。

Neo-Hookean模型是一個定常剪切模型，一般它只適用于近似預測30 %～40 % 的單軸拉伸和80 %～90 %的純剪的橡膠力學行為。而對大載荷下的大應變的超彈變型并不是很準確。盡管此模型不如其他模型適用范圍廣，特別對于在大應變或拉伸的工況。但是Neo-Hookean模型也有幾個優(yōu)越之處：

（1）簡單。只有2個輸入?yún)?shù)。如果材料為不可壓縮假設(shè)，則只需要1個參數(shù)：初始剪切模量。由于只需從試驗數(shù)據(jù)中得到一個常數(shù)，因而所需的試驗量少。

（2）通用性強。通過一種變形方式下得到的應力應變曲線所擬合的材料常數(shù)，可以能用來預測其他變形方式的應力應變曲線。尤其是小、中應變工況。

值得注意的是neo-Hookean由于其模型簡單，計算量小，不僅應用于科學計算。現(xiàn)代電影工業(yè)的電腦制作中也有不少超彈體的應用，neo-Hookean超彈模型已經(jīng)大量應用于電影制作中。如圖，手部運動過程，用neo-Hookean模型計算得出的肌肉與皮膚變化過程顯得極為自然。

如使用neo-Hookean算法所生成的動畫對比，右圖為含有neo-Hookean模型的彈性糖果變形電腦渲染，看起來其彈性變化真實一些。

Neo-Hookean有限元分析實例

下面我們使用有限元軟件WELSIM中的neo-Hookean材料來模擬柔性管材受拉伸作用時的變形狀況，取全模型進行建模，在一側(cè)位置施加位移，計算得到位移與應力狀態(tài)。

分析步驟：

（1）設(shè)置單位制為公制kg-mm，并創(chuàng)建結(jié)構(gòu)靜力學分析工程。

（2）設(shè)置材料屬性。

新建一個材料。雙擊此材料節(jié)點，進入編輯模式，從超彈材料屬性中，加入Neo-Hookean屬性。并分別賦值：Mu=1.5 MPa, D1=10 MPa^-1。定義完成后可以在曲線窗口看到對應模型的應力應變曲線。修改材料節(jié)點名稱為neoHookeanMat。

（3）建立模型。

圓管被視為圓柱形，內(nèi)徑為3mm，外徑為4.4mm，長度為15mm。

（4）劃分網(wǎng)格：

設(shè)置最大單元尺寸為0.3mm，并使用高階的單元。網(wǎng)格劃分后得到28898個節(jié)點，14570個Tet10單元。

（5）施加約束及載荷

固定軟管的一端，使其U1，U2，U3等于0。在軟管的另一端端面施加Z方向 的水平拉力，大小為1N。

（6）求解設(shè)置，計算，及結(jié)果后處理。

為了便于收斂，設(shè)置3個子步。然后點擊求解按鈕進行計算。軟管的Z方向的位移和等效應力如圖所示。

在軟管的固定端部位是最大應力的發(fā)生部位，最大應力為0.63MPa。

在有限元軟件出現(xiàn)之前，材料非線性的計算與預測都比較復雜，手工計算超彈材料的變形與應力要花費很多的時間和工作。現(xiàn)在有了有限元軟件，非線性材料的分析工作變得更快捷、準確、有趣了。

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