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今天開始，將要更新接觸方面的非線性有限元編程知識，本篇推文會給大家帶來以下內容：

1. 接觸相關概念
2. 結合單點接觸問題，使用理論解析方法求出接觸力
3. 分別使用拉格朗日乘子法和罰函數法求解接觸力

接觸相關概念

接觸是將多個部件連接在一起的主要工具，包括螺釘、螺栓、焊縫等，接觸非線性可以被歸類為邊界非線性。

接觸分析的目的是回答以下問題:

1. 是否有兩個或多個物體在接觸；
2. 如果有接觸，接觸的位置或區域在哪里
3. 接觸界面中有多少接觸力或壓力
4. 接觸后界面中是否存在相對運動

接觸的兩個特點：

1. 若兩個單獨的物體接觸，當兩個物體分開時，接觸力保持在零；物體接觸后，接觸力瞬間增加
2. 在 位移邊界上，若 位移已知，則可以計算出 反力；在 牽引邊界上，若已知 作用力，則可以計算出相應的 位移。然而，在接觸的情況下，_位移和接觸力都是未知的_，除了非常有限的情況。

在求解接觸問題時，可以將接觸視為優化公式的約束，使勢能在滿足接觸約束的情況下最小化，即一個物體不能穿透另一個物體。通常使用罰函數法（penalty regularization）和拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier methods），將約束優化問題轉化為無約束優化問題。

在有限元分析中，主從面（the master/slave surface）的概念常常用來描述接觸問題，通過施加特定的接觸約束，使得從屬邊界上的節點不能穿透主邊界上的表面單元。

Kim 教授的書中主要從以下幾個方面討論接觸非線性：

1. 單點接觸
2. 基于變分法提出接觸通用公式（柔性接觸-剛性接觸、柔性接觸-剛性接觸、線-線接觸、面-面接觸、摩擦等）
3. 接觸變分形式的有限元離散和數值積分
4. 三維接觸公式

單點接觸問題

考慮受均布荷載作用的懸臂梁，梁的自由端受剛性塊的限制，如下圖所示，梁的末端與剛性塊之間存在一個小間隙。均布荷載 =1 kN/m，梁長 =1 m，抗彎剛度 EI= N ，初始間隙 =1 mm。

直接法

我們先忽略剛塊的存在，懸臂梁（Euler beam model）在均布荷載作用下，自由端的位移為：

得出的撓度值大于間隙 ，即可判定兩者發生了接觸，假定接觸只發生在梁的尖端，即單點接觸。由于剛塊阻止了梁的彎曲，其效果可以通過施加一個力來模擬，即一個接觸力（ ），使梁不能穿透剛性塊。

由于梁的撓度較小，因此對兩種荷載的影響采用疊加規則，梁在末端力（負號表示接觸力與均布荷載方向相反）作用下的撓度曲線和末端撓度可表示為：

根據疊加原則，

計算得出接觸力 為 75N。

拉格朗日乘子法

直接發為了確定接觸狀態，必須首先計算出解(梁的撓度)。當接觸問題變得復雜（如多點接觸問題）時，往往不能求得解析解。這時可以將梁與剛體之間的間隙作為未知量，加上一個附加約束，可以得到一個更系統的接觸公式。

未知的接觸力用 表示，它作用于梁和剛體的相反方向。為了分配一致的方向，兩個接觸點中的一個被認為是主接觸點，另一個被認為是從接觸點。

將接觸力視為外加荷載，利用兩個獨立荷載的疊加規律，可得到梁的撓度曲線：

接觸的物理要求是無穿透，接觸力為正，當間隙大于零時，接觸力為零，反之亦然。這些要求要求解決方案滿足以下三個條件：

可以得出方程：

求得接觸力 =0 或者 75N，當 =0 時， =0.00025，物理意義是，不存在接觸力時，間隙為 0.00025，也就是懸臂梁在承受均布荷載時的自由端豎向位移；當 =75N 時， =0，物理意義是當接觸力為 75N 時，梁端剛好與剛體接觸。所得結果與直接法一致。

在以上求解過程中，附加的未知(接觸力)稱為拉格朗日乘子，并利用一致性條件來確定接觸狀態和接觸力，該方法被稱為拉格朗日乘子法。

罰函數法

在處理接觸問題中，還有一種常見的方法，就是罰函數法。什么是罰函數法呢？

剛剛講的拉格朗日乘子法中，不允許從面侵入主面，那換個角度想，如果侵入了，該怎么處理呢？

此時，來了一個罰函數法，允許接觸過程中有少量侵入，且接觸力與侵入量成正比，即 可為正也可為負，定義滲透函數 ：

接觸力可由滲透函數定義：

其中， 被稱為罰系數，有時也被稱為罰剛度。可以想象一下，接觸過程中有了少量的滲透，然后通過施加一個大的力來“懲罰”它。將接觸力帶入 ，得到：

通過賦予 不同的值，可得到不同的滲透量，及接觸力，匯總如下表：

從上表可以看出，隨著罰系數量級的增大，滲透量逐漸減小，接觸力逐漸收斂于解析解 75N。

木木最近也在找有限元開發性質的工作，面試的時候發現企業類的大多喜歡有接觸經驗、彈塑性經驗或者動力分析經驗的應聘者，而且所使用的語言也多為C++，正好最近也在學習非線性相關的理論，那就順道一起更新一下接觸方面的知識~

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