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【公式推導篇】 https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ 本次分享的是：有限元計算過程中，單元積分點應力如何外推至節點？有關積分點與節點的概念可點擊跳轉閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節點和積分點】，現科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數和高斯積分方案。

總結inp中添加關鍵字輸出單元的積分點坐標：*EL FILE COORD輸出節點坐標：*NODE FILE COORD原貼出處：https://www.researchgate.net/post/How-to-find-integration-point-coordinates-in-Abaqus-CAE

從上述剛度矩陣的表達式可以看出，自然坐標和物理坐標間要完成坐標映射、偏導映射、面積隱射三個部分，具體映射公式已在上一節的等參單元講解中詳細給出。 (21)4、高斯積分公式（20）中的單元剛度矩陣通過數值積分求得，本案例中的四節點和八節點四邊形等參單元均采用2*2個積分點的高斯積分即可求得精確結果。

有關高斯點的更多詳細信息，請查看之前的文章“如何在有限元模擬中使用數值積分和高斯點”。大多數非線性材料模型，如塑性和蠕變，都是這樣工作的。在這種情況下，單元中任意位置的應力評估會變得更加復雜。如果要求一個應力分量，例如 solid.sx，它實際上是在單元中的每個位置“動態”計算的。非線性材料定律就是在該位置利用最近點 高斯點的存儲值被評估的。

</p><p>關于（1），實踐表明，當f（x）的表達式為多項式時，高斯積分是合適的，并且，n點高斯積分可以準確積分2n-1次多項式。</p><p>關于（2），xi和wi的取值一般較多的有限元教科書中會給出數值，如果沒有給出數值，也可以用多項式手動算出具體值，另外，scipy庫，PETSc庫也直接給出了高斯積分的值和權重。

在船舶CSR規范直接計算章節規定了非船艏艙段有限元建模時兩個端面的邊界條件如下：對船舶規范不是很了解，只是按規范文檔簡單說明一下：由于艙段前后端面類似，我們以前端面為例，中和軸與縱中剖面相交處建一個獨立點（MPC的主節點），該獨立點僅是三維空間內的一個參考點，這個點按規范約束U2、U3和UR1。

假設有一組數據點需要根據它們的相似性分為幾個部分或集群。在機器學習中，這稱為聚類。有幾種方法可用于聚類：? K 表示聚類? 分層聚類? 高斯混合模型在本文中，將討論高斯混合模型。2 正態分布或高斯分布在現實生活中，許多數據集可以通過高斯分布（單變量或多變量）進行建模。因此，假設這些集群來自不同的高斯分布是非常自然和直觀的。

要點 為防止軸力過大出現“過度的剛性行為”，常常在梁單元內部增加一個節點，發揮“緩和”作用，增加的這個節點只有切線自由度，即切線位移，單元剛度矩陣的求解需要用到高斯數值積分。 三節點梁單元示意圖 如上圖所示，三節點梁單元共有 7 個自由度，需要兩個高斯積分點保證數值結果精度，節點順序按照上圖表示的來，中間節點為第三個節點。

</strong></p><h2>2.5 高斯積分</h2><p>上述積分的計算需要使用數值積分，一維高斯積分點的坐標以及權系數如下：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202403/e2b09e5be1a98ebfad3d72b9372ef67f.png"></p><p>采用2x2x2的高斯積分點。

現在在光瞳點（0，0.5）處追跡真實光線，該點位于 1 / e ** 2點。在命令窗口中輸入 RAY P 0 0 .5 SURF該真實光線的路徑非常接近 BEAM 追跡。我們現在有一個工具，只要光束在系統的早期擴展，就可以讓您使用真實光線分析和優化這樣的系統。（因此衍射在此后幾乎沒有影響），這種實際光線應用粗略估計是有用的并且易于設置。復雜但有時會非常復雜。

分析步創建：隱式/顯式分析步，增量采用固定增量步 接口設定： 網格劃分，無限單元部分定義網格節點方向排布 建立模型輸出inp文件，將無限單元部分的單元類型改為CIN3D8 如果沖擊光斑為圓形光斑，網格細化至50微米，如果為方向光斑，網格100微米 圓形光斑在空間表現為高斯分布，表現為從中心區域到邊緣沖擊載荷逐漸變小。

(2) 6節點的三角形單元T6六節點的三角形單元(6 Noded Trangles)是有限元分析中經常使用的實體單元，6節點的三角形對位移進行了二階插值，數值積分涉及三個高斯點。如果劃分足夠多的單元，那么T6在標準的平面應變分析中可以得出非常精確的結果，不過在軸對稱應用或在使用強度折減法(phi-c )時應小心使用，它很可能高估其破壞載荷和安全系數。因此最好使用下面的T15單元。

U(ElementNodeDOF);%12*1 節點位移列陣 ElementNodeDisplacement=reshape(ElementNodeDisplacement,Dof,4);%3*4 % 計算單元應變 Strain3_3 3*3的應變矩陣 Strain3_3=ElementNodeDisplacement*NDxyz';%高斯積分點處應變 3*4 4*3

對于10節點的四面體，有4個高斯點用于計算應變和應力, 不需要計算剛度矩陣，通過數值積分從高斯點的應力得到節點力，每個高斯點在每個時步都應用該單元所采用的本構模型，以獲得新的應力。高階四面體單元可以在較粗的網格中計算更近似的應力，為塊體的塑性問題提供了更精確的解答。因此，高階元特別適用于求解塊體內部的應力分布以及塊體出現顯著屈服的情況，例如地基的承載力計算。

從上圖可見，熱源要加載的面是板的上表面，焊接方向是沿著y方向，板厚方向為z向，熱源加載的初始點的坐標為（0.05,0,0.004），那么根據高斯熱源的熱流密度表達公式可知，在初始加載位置的熱流密度分布可以用下式表達：剛才說明過R為距熱源中心的距離，那么上式中R^2=(x-0.05)^2+(y-0)^2，為中學學過的兩點之間的距離公式，為何里面不涉及到z坐標呢？

高斯積分的原理簡單來說是：對于f(x)在a-b區間的積分，我們可以取a到b之間的n個點，總的積分值等于這些點處的函數值的加權和。圖中的積分點坐標是等參坐標。等參變換可以理解為一種歸一化，等參變換不影響本文的討論，為理解上的直觀起見，本文仍采取自然坐標xy描述。以一個平面應力問題的四節點矩形單元為例。單元的坐標系建立在中心。