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罰函數(shù)法:缺點： 近似解，要求極大罰函數(shù)值， 使方程組條件數(shù)變差。優(yōu)點： 計算量不大，實現(xiàn)最簡單。Lagrangian乘數(shù)法:缺點： 增加了計算變量（計算量增加），方程性能變差（參見式（2.3）,可以看出其導入了零對角項，該方程變?yōu)榉钦ǚ匠蹋?yōu)點： 精確解。

在優(yōu)化過程中，罰函數(shù)的合理引入為平衡成像精度與掩模制造可行性提供了關鍵支撐，二次罰函數(shù)、小波罰函數(shù)（WP）及廣義小波罰函數(shù)（GWP）等不同形式的罰函數(shù)，通過梯度約束實現(xiàn)了對掩模復雜度、邊緣平滑性等指標的精準調(diào)控，有效規(guī)避了過度修正導致的掩模制造難題。

由于實際曝光圖形的計算依賴FFT技術、無法任意采樣，我們通過“采樣率下采樣”簡化目標圖形（既降低計算復雜度，又保留核心匹配信息），對應的目標函數(shù)也同步調(diào)整為“下采樣后圖形的差異平方加權(quán)和”。03/總目標函數(shù)為抑制量化誤差、降低掩模圖形復雜度（提升制造可行性），我們在基礎目標函數(shù)中引入兩類罰函數(shù)：離散化罰函數(shù)、廣義小波罰函數(shù)。

為了驗證WP罰函數(shù)在降低掩模復雜度方面的作用，在OPC的優(yōu)化損失函數(shù)中分別加入傳統(tǒng)WP和GWP兩種罰函數(shù)項，并對比PSM的OPC優(yōu)化結(jié)果，分析WP和GWP在降低掩模復雜度和提高成像質(zhì)量方面的性能。仿真通過調(diào)整WP和GWP的加權(quán)系數(shù)權(quán)衡成像誤差和掩模復雜度這兩個相互制約的因素。

在以上求解過程中，附加的未知(接觸力)稱為拉格朗日乘子，并利用一致性條件來確定接觸狀態(tài)和接觸力，該方法被稱為拉格朗日乘子法。 罰函數(shù)法 在處理接觸問題中，還有一種常見的方法，就是罰函數(shù)法。什么是罰函數(shù)法呢？ 剛剛講的拉格朗日乘子法中，不允許從面侵入主面，那換個角度想，如果侵入了，該怎么處理呢？

3） 設置相互作用 對接觸性質(zhì)進行編輯（見圖12），選擇罰函數(shù)定義切向行為，其中Friction Coeff為罰剛度系數(shù)，僅取決于材料特性。在通用接觸中定義相互作用，賦予接觸性質(zhì)，關鍵是定義相互接觸面（見圖13）。對于固體結(jié)構(gòu)，接觸面為整流罩半罩蒙皮外表面，類型為幾何；對于流體材料，接觸面為整體，類型為網(wǎng)格（見圖14）。

Normal Lagrange ， 該算法增加了“接觸壓力”作為額外的自由度，這樣可以提高接觸的適應性，另外該算法直接求解接觸壓力（作為自由度）而不再像罰函數(shù)法那些再去求解接觸剛度和穿透量。這樣該算法就只呈現(xiàn)兩種結(jié)果：即要么接觸要么分離，存在的問題是在求解過程中極易出現(xiàn)震蕩降低收斂性，但是一旦收斂它的精度比較高，因為穿透是零。

因此，膨脹角的取值應當適中，本案例中混凝土本構(gòu)參數(shù)中的膨脹角取值一般在30~35之間，取30。2.Eccentricity（塑性勢偏移量）決定了塑性勢函數(shù)趨近其漸近線的速率。該參數(shù)的引入主要是為了保證塑性勢函數(shù)的連續(xù)、光滑及塑性勢函數(shù)在頂點處的可導性。本案例取值0.1。3.Viscosity Parameter（黏度系數(shù)）是為了使材料模型在軟化階段更容易收斂，仍然保持0.1。

在MAPDL中，該設置相對隱藏在KEYOPT(2)之下，但在Mechanical的“Details”菜單中的“Formulation” 下拉菜單中很容易找到。 在我們深入探討使用多點約束接觸的優(yōu)勢之前，讓我們先回顧一下默認（純罰函數(shù)）粘結(jié)的含義。粘結(jié)接觸是一種基于接觸連接的線性形式。

還有一種思路是使用罰函數(shù)方法，將壓力用如下形式表達，只要λ足夠大即可。這樣就在原控制方程中消除了壓力。 得到下式，這種方程的求解和結(jié)構(gòu)有限元就完全一樣了，基本等效成了每個節(jié)點兩自由度的結(jié)構(gòu)有限元。

其基本思路是，在傳統(tǒng)接觸算法基礎上，針對可能穿透的節(jié)點施加額外的罰函數(shù)，通過罰函數(shù)來消除穿透。針對體網(wǎng)格，在接觸探測方法上進行了提升，尤其是對于邊緣上的節(jié)點，優(yōu)化了該節(jié)點關聯(lián)面的探測向量，減少不良接觸探測。針對殼網(wǎng)格，采用擴展單元技術，使得殼網(wǎng)格可以分別在殼體的頂面、底面、側(cè)面進行接觸，大大提高了接觸的精確性、穩(wěn)健性和魯棒性。

需要注意的是，由于混合接觸采用了額外的罰函數(shù)來控制穿透，可能會出現(xiàn)微弱的穿透現(xiàn)象。另外，由于混合接觸算法引入了新的約束方程，可能會導致在非線性計算中總時長和迭代次數(shù)會增加。 在Marc軟件中，混合接觸的定義界面如下圖所示。

LS-DYNA 程序中， 罰函數(shù)法 用于 接觸力 的計算。

在顯示動力學接觸設置中，abaqus軟件默認的是動態(tài)接觸算法（Kinematic contact algorithm）,當開啟多線程時就會由于求解速度過高而產(chǎn)生計算的不穩(wěn)定性，而該算法的接觸約束嚴格性很高，因此當遇到求解不穩(wěn)定時就會產(chǎn)生報錯從而導致計算終止。由于罰函數(shù)法的接觸約束嚴格性要低于動態(tài)接觸算法，因此改為罰函數(shù)法（penalty contact method）即可。

? 像質(zhì)評價函數(shù)梯度：考慮光刻過程中的離焦場景，梯度為“理想焦面像質(zhì)梯度”與“離焦面像質(zhì)梯度”的加權(quán)組合（通過加權(quán)因子調(diào)節(jié)兩者占比），兼顧理想與實際工藝下的成像效果? 光源罰函數(shù)梯度：通過特定函數(shù)約束光源參數(shù)，可有效提升光源的可制造性，避免優(yōu)化后光源圖形過于復雜。03/優(yōu)化策略與流程同步型(SISMO):光源與掩模參數(shù)矩陣同步更新。

圖 SLSFAC=0.1、TSSFAC=0.9、ELEMENT SIZE=0.05方法1：修改*CONTROL_CONTACT滑移界面罰函數(shù)數(shù)值 保持TSSFAC=0.9、網(wǎng)格尺寸為0.05cm不變，滑移界面罰函數(shù)SLSFAC的值分別取1、2、3、5，侵徹過程中網(wǎng)格穿透情況如下。

對于罰函數(shù)約束而言，其原理是耦合系數(shù)追蹤 Lagrange節(jié)點（結(jié)構(gòu)，即從物質(zhì)）和 Euler 流體物質(zhì)（主物質(zhì)）位置間的相對位移，顧名思義罰函數(shù)為懲罰函數(shù)，先給一個位移，一般是從物質(zhì)穿透于主物質(zhì)，然后在一個或若干個分析步中拉回，以此完成整個流固耦合分析。 3.

罰值類似于碰撞函數(shù)接觸算法中的剛度，但是該值與接觸的幾何材料沒有任何關聯(lián)。該參數(shù)的默認值為1.0e5，單位為阻尼單位N/(mm/sec)。

其基本思路是，在傳統(tǒng)接觸算法基礎上，針對可能穿透的節(jié)點施加額外的罰函數(shù)，通過罰函數(shù)來消除穿透。 針對體網(wǎng)格，在接觸探測方法上進行了提升，尤其是對于邊緣上的節(jié)點，優(yōu)化了該節(jié)點關聯(lián)面的探測向量，減少不良接觸探測。