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如果數(shù)值模型性能良好，便可以根據(jù)比較結(jié)果估計精度階數(shù)。如果精度階數(shù)為正數(shù)，則所研究的兩個最精細(xì)網(wǎng)格之間的物理量的差值，可以作為該物理量的截斷誤差估計值。有時，我們很難創(chuàng)建出滿足所有需求的多個網(wǎng)格；在這種情況下，需要使用兩個截然不同的網(wǎng)格的比較結(jié)果作為替代方法。如果差值較小，表明該數(shù)值模型表現(xiàn)良好，且這個物理量的截斷誤差也較小。但是，如果差值較大，則很難得出任何結(jié)論。

<p>高斯勒讓德積分是有限元中最常見的數(shù)值積分方法之一，在有限元中有著廣泛的應(yīng)用。實際上，關(guān)于該積分方法的書籍和公眾號文章也已經(jīng)較多，本文主要是基于現(xiàn)有的教程，基本上把該方法的具體理論和使用重復(fù)了一遍，另外基于常用的數(shù)值計算庫PETSc描述下在PETSc中如何使用高斯勒讓德積分（本文后續(xù)都將高斯勒讓德積分簡稱為高斯積分）。

以往廣泛應(yīng)用的數(shù)值方案通常是：先把 積分點的數(shù)據(jù)外推到節(jié)點，再用線性形函數(shù)求梯度，然而這類方案只能用特定單元（如 C3D8），對自適應(yīng)網(wǎng)格、復(fù)雜接觸不友好。

摘要 眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。它是基于理想模型，因此不需要待求鏡頭精確規(guī)格的知識。該用例將解釋如何在VirtualLab Fusion中使用Debye-Wolf積分計算器。

摘要眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析的方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。 基于理想化模型，因此不需要精確的鏡頭規(guī)格即可進(jìn)行計算。 該案例將說明如何在VirtualLab中使用Debye-Wolf積分計算器。

對于這樣一種單元，完全積分（表示所選取的數(shù)值積分方案及系數(shù)精確等于解析積分值，我是這么理解的哈）就是取積分表中第二行系數(shù)；在可接受的數(shù)值精度下，減縮積分就是取第一行系數(shù)。當(dāng)然也可以取第三四行系數(shù)，但是這樣數(shù)值計算成本急劇增大的同時結(jié)果和第二行一樣都是完全的，所以沒必要。

摘要眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析的方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。 基于理想化模型，因此不需要精確的鏡頭規(guī)格即可進(jìn)行計算。 該案例將說明如何在VirtualLab中使用Debye-Wolf積分計算器。

添加了一個額外的方程來指定區(qū)間上限和下限之間的差值。 求解如上所示的模型，將得到 u_a = 1.932 和 u_b = 2.932 的值。實際上也可以用單個全局方程來求解這個問題，方法是將 6-integrate(u^2, u, u_b-1, u_b) 寫成求解 u_b 的方程，但有趣的是，我們可以同時求解多個方程。

摘要眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析的方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。 基于理想化模型，因此不需要精確的鏡頭規(guī)格即可進(jìn)行計算。 該案例將說明如何在VirtualLab中使用Debye-Wolf積分計算器。

摘要眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析的方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。 基于理想化模型，因此不需要精確的鏡頭規(guī)格即可進(jìn)行計算。 該案例將說明如何在VirtualLab中使用Debye-Wolf積分計算器。

并在分析中不斷地調(diào)整這些參數(shù)值，確保獲得精確的解答，用戶幾乎不必去定義任何參數(shù)就能控制問題的數(shù)值求解過程。

如圖9（c）所示，相鄰工作腔之間的質(zhì)量交換也會使得工作腔內(nèi)以及沿著齒高方向流速的分布存在差異；在相鄰工作腔之間流速的最大差值為119. 3 m/s，沿著齒高方向流速的最大差值為59. 7 m/s。 4 試驗 為了驗證所構(gòu)建的熱力學(xué)模型和數(shù)值模擬的準(zhǔn)確性，以及測試在額定工況下無油渦旋壓縮機(jī)的實際工作性能，搭建了以空氣為工質(zhì)的壓縮機(jī)試驗測試平臺。

試驗和數(shù)值模擬的力-位移曲線對比圖如圖7所示。分別取曲線的峰值谷底為關(guān)鍵點進(jìn)行分析。第一個曲線上升段試驗和模擬的峰值分別為：4966405N、4815311N，差值為3.0%。第一個曲線下降段試驗和模擬的谷底分別為：2557452N、2438766N，差值為4.6%。第二個曲線上升段試驗和模擬的峰值分別為：3769536N、4459408N，差值為15.5%。

探測器設(shè)置為了實現(xiàn)對高數(shù)值孔徑物鏡的精確場追跡，需要使用廣義德拜積分。在VirtualLab Fusion中提供了三種傅里葉算法：快速傅里葉變換（FFT）、半解析傅里葉變換（SFT）和逐點傅里葉變換（PFT）。利用逐點傅里葉變換、逆向快速傅里葉變換和逆向半解析傅里葉變換便可以實現(xiàn)從高數(shù)值孔徑物鏡到探測器的廣義德拜積分，如圖4所示。圖4.

摘要眾所周知，Debye-Wolf積分可用于以半解析的方式計算焦平面附近的矢量場。Debye-Wolf積分通常用作分析高數(shù)值孔徑顯微鏡成像情況的基本工具。 基于理想化模型，因此不需要精確的鏡頭規(guī)格即可進(jìn)行計算。 該案例將說明如何在VirtualLab中使用Debye-Wolf積分計算器。