ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法

2023年8月31日 10:14
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沖擊載荷隨時間迅速變化。當物體的局部位置受到沖擊時，所產生的擾動會逐漸傳到未擾動的區域去，這種現象稱為應力波的傳播。當載荷作用時間短、變化快，且受力物體在加載方向的尺寸又足夠大時，這種應力波的傳播就顯得特別重要。
研究動力學問題最終將簡化為求解動力學平衡方程式：節點質量矩陣M乘以節點加速度 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖1 等于節點的合力（所施加的外力P與單元內力I之間的差值）：
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖2              (2-1)
   由于考慮了慣性力的影響，動力學平衡方程中出現了質量矩陣，最后得到的求解方程不是代數方程組，而是常微分方程組。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖3

1. 沖擊動力學求解方法


如果加載時間過短或者是動態載荷，需要采用動態分析（dynamic analysis）。復合材料的低速沖擊就屬于動態分析問題。
動態分析又分為隱式分析和顯式分析。在隱式分析中，結構的剛度矩陣需要進行多次生成和求逆，這使得分析求解成本大大增加，而且剛度退化和材料失效常常引起計算收斂問題。在顯示分析中，能夠避免計算收斂，較好地求解這一問題。

1.1 顯式與隱式分析的區別

顯式與隱式分析的區別在于：
顯式分析需要很小的時間增量步，它僅依賴于模型的最高固有頻率，而與載荷的類型和持續的時間無關。通常的模擬需要10000~1000000個增量步，每個增量步的計算成本相對較低。它的求解方法是在時間域中以很小的時間增量步向前推出結果，而無需在每一個增量步求解耦合的方程系統，或者生成總體剛度矩陣。
隱式分析對時間增量步的大小沒有內在的限制，增量的大小通常取決于精度和收斂情況。典型的隱式模擬所采用的增量步數目要比顯式模擬小幾個數量級。然而，由于在每個增量步中必須求解一套全域的方程組，所以對于每一增量步的成本，隱式方法遠高于顯式方法。

1.2 計算方法選擇

復合材料層合板低速沖擊損傷涉及到復雜的接觸問題、材料剛度隨著載荷發生變化的問題、材料的退化（degradation）和失效（failure）導致的嚴重的收斂問題，這些問題在隱式分析中都無法實現或者求解成本比較昂貴。綜上所述，本文選取顯式分析方法。

1.3 軟件介紹

本文的數值模擬采用商業有限元軟件ABAQUS，下面對軟件進行簡單介紹：
ABAQUS是一套功能強大基于有限元方法的工程模擬軟件，可以解決從相對簡單的線性分析到復雜的非線性模擬等各種問題。ABAQUS具備十分豐富的單元庫，可以模擬任意實際形狀，也具有很豐富的材料模型庫，可以模擬大多數典型工程材料的性能，包括金屬、復合材料、橡膠、鋼筋混凝土以及地質材料等。作為一種通用的模擬工具，ABAQUS不僅能解決結構分析（應力/位移）問題，而且能夠模擬和研究熱傳導、電子元器件的熱控制（熱-電耦合）、聲學、土壤力學（滲流-應力耦合分析）和壓電分析等領域的問題。
ABAQUS為用戶提供了廣泛的功能，使用起來十分方便，在許多模擬中（包括高度非線性問題），用戶只需提供結構的幾何形狀、材料性質、邊界條件和載荷工況等工程數據。在非線性分析中，ABAQUS能自動選擇合適載荷增量和收斂準則。并在分析中不斷地調整這些參數值，確保獲得精確的解答，用戶幾乎不必去定義任何參數就能控制問題的數值求解過程。ABAQUS由多個模塊構成，包括前后處理模塊ABAQUS/CAE、主求解器模塊ABAQUS/ Standard和ABAQUS / Explicit等。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖4

ABAQUS/CAE（前后處理）

ABAQUS/CAE是ABAQUS有限元分析的前后處理模塊，也是建模，分析和仿真的人機交互平臺。該模塊根據結構的幾何圖形生成網格，將材料和截面的屬性分配到網格上，并施加載荷和邊界條件。該模塊可以進一步將生成的模型提交到后處理分析模塊中運行，對運行情況進行監測，并對計算結果進行后處理。ABAQUS/CAE的后處理支持ABAQUS分析模塊的所有功能，并且對計算結果的描述和解釋提供了范圍很廣的選擇，除了云圖，等值線和動畫顯示之外，還可以用列表，曲線等其他常用工具的來完成工程顯示。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖5

ABAQUS/Standard（隱式求解器）

ABAQUS/Standard是一個通用分析模塊，它能夠求解廣泛領域的線性和非線性問題，包括靜態分析、動態分析，以及復雜的非線性耦合物理場分析等。在每一個求解增量步（increment）中，ABAQUS/Standard隱式地求解方程組。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖6

ABAQUS/Explicit（顯式求解器）

使用ABAQUS/Explicit可以進行顯式動態分析，它適于求解復雜非線性動力學問題和準靜態問題，特別是用于模擬短暫、瞬時的動態事件，如沖擊和爆炸問題。此外，它對處理接觸條件變化的高度非線性問題也非常有效，例如模擬成型問題，它的求解方法是在時間域中以很小的時間增量步向前推出結果，而無需在每一個增量步求解耦合的方程系統，或者生成總體剛度矩陣。
ABAQUS/Explicit不但支持應力/位移分析，而且還支持完全耦合的瞬態溫度/位移分析、聲固耦合分析。任意的拉格朗日—歐拉自適應網格功能可以有效地模擬大變形非線性問題。將ABAQUS/Standard和ABAQUS/Explicit結合使用，結合二者的隱式和顯式求解技術，可以求解更廣泛的實際問題。
綜上所述，本文應用顯示求解器ABAQUS/Explicit進行數值模擬分析。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖7

2. 動力學顯式有限元方法


ABAQUS/Explicit是基于顯式算法的有限元程序。顯式有限元程序可以分析材料由于力學性能退化而引起材料切線剛度矩陣出現非正定的問題。因此ABAQUS/Explicit程序可以分析纖維增強樹脂基復合材料結構受沖擊這一高度非線性問題。
使用顯式有限元分析時，根據材料的本構模型來確定單元的應力、應變和應變率等。一般情況下，ABAQUS/Explicit求解引擎將每個積分點的應變增量和應變率傳遞給材料本構，然后再根據相應的材料積分點的信息確定當前狀態的應力。對于線彈性材料的計算很簡單，當前的總應變與材料剛度矩陣的乘積就是當前狀態的應力；而對于非線性材料本構（如塑性材料）的計算就很復雜，本構模型模塊將計算得到的應力再傳遞給求解引擎，由其計算出節點的加速度。然后，根據系統的運動方程求解出節點速度和位移，接著確定下一時間步的應變和應變率。

2.1 顯式時間積分

ABAQUS/Explicit應用中心差分方法對運動方程進行顯式的時間積分，應用一個增量步的動力學條件計算下一個增量步的動力學條件。在增量步開始時，程序求解動力學平衡方程式：節點質量矩陣M乘以節點加速度ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖8等于節點的合力（所施加的外力P與單元內力I之間的差值），即式(2-1)：

 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖9                                   在當前增量步開始時（t時刻），計算加速度：

 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖10               (2-2)        

由于顯式算法總是采用一個對角的或者集中的質量矩陣，所以求解加速度并不復雜，不必同時求解聯立方程。采用節點的加速度完全取決于節點質量和作用在節點上的合力，使得節點計算的成本非常低。

對加速度在時間上進行積分采用中心差分法，在計算速度的變化時假定加速度為常數。應用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度來確定當前增量步中點的速度：

ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖11               (2-3)

速度對時間的積分加上在增量步開始時的位移可以確定增量步結束時的位移：

ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖12                       (2-4)

這樣，在增量步開始時提供了滿足動力學平衡條件的加速度。得到了加速度，在時間上“顯式地”前推速度和位移。所謂“顯式”是指在增量步結束時的狀態僅依賴于該增量步開始時的位移、速度和加速度。這種方法精確地積分常值的加速度。為了使該方法得到精確的結果，時間增量必須相非常小，這樣在增量步中加速度幾乎為常數。由于時間增量步必須很小，所以一個典型的分析需要成千上萬個增量步。因為不必同時求解聯立方程組，所以每一個增量步的計算成本很低。大部分計算成本消耗在單元計算上，以此確定作用在節點上的單元內力。單元的計算包括確定單元應變和應用材料本構關系（單元剛度）確定單元應力，從而進一步計算內力。

下面給出顯式動力學方法的總結：

(1) 節點計算

1) 動力學平衡方程

             ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖13               (2-5)   

2) 對時間顯式積分

 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖14          (2-6)  

ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖15                  (2-7)

(2) 單元計算

1) 根據應變速率ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖16，計算單元應變增量ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖17

2) 根據本構關系計算應力ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖18

 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖19            (2-8)

3) 集成節點內力IABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖20

(3) 設置時間t為ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖21，返回到步驟(1)。


2.2 比較隱式和顯式時間積分程序

對于隱式和顯式積分程序，都是以所施加的外力P、單元內力I和節點加速度形式定義平衡：
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖22                        (2-9)
其中，M是質量矩陣。兩個程序求解節點加速度，并應用同樣的單元計算以獲得單元內力。兩個程序最大的區別在于求解節點加速度上。在隱式程序中，通過直接求解的方法求解一組線性方程組，與顯式方法節點計算的成本比較，求解這組方程組的計算成本要高得多。
在完全Newton迭代求解方法的基礎上，ABAQUS/Standard使用自動增量步。在時刻 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖23 增量步結束時，Newton方法尋求滿足動力學平衡方程，并計算出同一時刻的位移。由于隱式算法是無條件穩定的，所以時間增量 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖24 比應用顯式方法的時間增量相對大些。對于非線性問題，每一個典型的增量步需要經過幾次迭代才能獲得滿足給定容許誤差的解答。每次Newton迭代都會得到對于位移增量 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖25 的修正值 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖26 。每次迭代需要求解的一組瞬時方程為
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖27                       (2-10)
對于較大的模型，這是一個非常大的計算過程。有效剛度矩陣 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖28 是關于本次迭代的切向剛度矩陣和質量矩陣的線性組合。直到一些變量滿足了給定的容許誤差才結束迭代，如位移修正值等。
在隱式分析中，每一次迭代都需要求解大型的線性方程組，這一過程需要相當數量的計算資源、內存和磁盤空間。

2.3 顯式時間積分方法的優越性

顯式方法特別適用于求解高速動力學問題，它需要許多很小的時間增量來獲得高精度的解答。如果事件持續的時間非常短，則可能得到高效率的解答。
在顯式方法中可以很容易的模擬接觸條件和其他一些極度不連續的情況，并且能夠一個節點、一個節點地求解而不必迭代。為了平衡接觸時的內力和外力，可以調整節點加速度。
顯式方法最顯著的特點是沒有在隱式方法中所需要的整體切向剛度矩陣。由于是顯式地前推模型的狀態，所以不需要迭代和收斂準則。

2.4 顯式方法的條件穩定性

穩定性限制了ABAQUS/Explicit求解器所能采用的最大時間步長，這是ABAQUS/Explicit 進行計算的一個重要因素。應用顯式方法，基于在增量步開始時刻 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖29 的模型狀態，通過時間增量 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖30 前推到當前時刻的模型狀態。使得狀態能夠前推并仍能保持對問題的精確描述的時間非常短。如果時間增量大于這個最大的時間步長，則時間增量已經超出了穩定性限制（stability limit）。超過穩定性限制的后果是數值不穩定，可能導致計算不收斂。由于一般不可能精確地確定穩定性限制，因而采用保守的估計值。為了提高計算效率，ABAQUS/Explicit選擇時間增量，使其盡可能地接近而且又不超過穩定性限制。
在系統中，以最高頻率（ ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖31 ）的形式定義穩定性限制。無阻尼的穩定極限由下式定義：
        ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖32                            (2-11)有阻尼的穩定極限由下面的表達式定義：
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖33  (4-14)                  (2-12)式中， ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖34 是最高頻率模態的臨界阻尼部分。由此可以看出，阻尼通常是減小穩定性限制的。
在系統中的實際最高頻率基于一組復雜的相互作用因素，而且不可能計算出確切的值。代替的方法是應用一個有效的、保守的簡單估算。不是考慮模型整體，而是估算在模型中每個個體單元的最高頻率，它總是與膨脹波的波速有關?？梢宰C明，以逐個單元為基礎確定的最高單元頻率總是高于有限元組合模型的最高頻率。
基于逐個單元的估算，穩定極限可以通過單元長度 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖35 和材料的波速 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖36 重新定義：
  ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖37                            (2-13)
因為沒有明確如何確定單元長度，所以對于大多數單元類型，例如一個扭曲的四邊形單元，上述方程只是關于實際的逐個單元穩定極限的估算。作為近似值，可以采用最小單元的尺寸，但是估算的結果并不一定是保守的。單元長度越短，穩定極限越小。波速是材料的一個特性，一般定義為：
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖38                            (2-14)
其中， ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖39 是楊氏模型； ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖40 是材料密度。由上式可以看出，材料的剛度越大，波速越大，導致越小的穩定極限；密度越大，波速越小，導致較大的穩定極限。
穩定極限是當膨脹波通過由單元特征長度定義的距離時需要的時間。如果知道最小的單元尺寸和材料的波速，就能夠估算穩定極限。例如，如果最小單元尺寸是5mm，膨脹波速是5000m/s，那么穩定的時間增量就在 ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖41 的數量級上。

2.5 自動時間增量

  在分析過程中，ABAQUS/Explicit應用上述方程調整時間增量值，使得基于模型的當前狀態的穩定極限永不越界。時間增量是自動的，并不需要用戶干涉，甚至不需要建議初始的時間增量。因為有限元程序包含了所有的相關細節，所以能夠確定出一個有效的、保守的穩定極限。
在顯式分析中所采用的時間增量必須小于中心差分算子的穩定極限。如果不能使用足夠小的時間增量，則會導致計算不穩定。這時，求解變量（如位移）的時間歷史響應一般會出現振幅不斷增加的振蕩?？傮w的能量平衡也將發生顯著的變化。如果模型只包含一種材料，則初始時間增量與網格中的最小單元的尺寸成正比。如果網格單元尺寸均勻卻包含了多種材料，則具有最大波速的單元將決定初始時間增量。
在具有大變形或非線性材料響應的問題中，模型的最高頻率將連續變化，并導致穩定極限的變化。對于時間增量的控制，ABAQUS/Explicit有兩種方案：完全的自動時間增量（程序中考慮了穩定極限的變化）和固定的時間增量。應用兩種估算方法確定穩定極限，分為逐個單元法和整體法。在分析開始時總是使用逐個單元估算法，并在一定條件下轉為整體估算法。
逐個單元估算法是保守的，與基于整體模型最高頻率的穩定極限相比較，它將給出一個更小的穩定時間增量。而整體估算法應用當前的膨脹波速確定整個模型的最高頻率。這種算法得到最高頻率將持續地更新估算值[4]。
ABAQUS中沖擊動力學問題的求解方法的圖42

3. 接觸


接觸問題在工程中處處可見，復合材料的沖擊問題也存在沖擊頭與層合板之間的接觸。當兩個物體彼此接觸時，垂直于接觸面的力作用在兩個物體上。如果在接觸面之間存在摩擦，可能產生剪力以阻止物體的切向運動。接觸模擬的目的是確定表面上發生接觸的面積和計算所產生的接觸力。
在有限元分析中，接觸問題屬于非線性問題，但又區別于材料非線性和幾何非線性，屬于邊界條件非線性問題。接觸條件是特殊的不連續約束，允許力從模型的一部分傳遞到另一部分。只有兩個表面發生接觸時才會產生約束，當分開時，就不存在約束了。分析時，需要判斷什么時候表面發生接觸并采用響應的約束，什么時候表面分開并解除約束。
復合材料沖擊接觸分為靜態接觸和動態接觸。前者不考慮接觸過程隨時間的變化，忽略了慣性效應。實際上，復合材料沖擊響應一般由瞬態動力響應或者應力波控制的。本文在計算過程中，采用動態接觸。

3.1 ABAQUS接觸功能描述

ABAQUS/Explicit提供了兩種模擬接觸相互作用的算法[29]。通用自動接觸（general contact）算法和接觸對（contact pair）算法。通用自動接觸可以非常簡單地定義接觸，對于接觸表面的類型限制很少；接觸對算法對于接觸表面的類型有比較嚴格的限制。通常定義一個接觸只需簡單地指定所采用的接觸算法和將會發生接觸作用的表面。在特殊情況下，當默認的接觸設置不滿足需求時，可以指定接觸模擬的其它內容，如考慮摩擦的相互作用力學模型。本文采用通用自動接觸算法。

3.2 接觸屬性

接觸分析過程中，兩個接觸面之間的相對位置關系在整個分析過程中隨著接觸邊界條件以及載荷的變化時刻發生變化。確定了接觸面在某一接觸段發生接觸后，需要考慮兩個接觸面之間的接觸屬性。
接觸屬性包括兩部分：接觸表面之間的切向作用和法向作用。在切向作用中，兩個接觸面之間的相對滑動關系、摩擦類型是影響接觸的主要因素；在法向作用中兩個表面之間的間隙是重點考慮的對象。
兩個接觸面之間相對滑動時，兩表面的相對滑動位移大小不同。主要采用的是有限滑移，指的是兩個接觸面之間可以有任意的相對滑動。在分析過程中，ABAQUS需要不斷地判斷從面節點和主面節點的哪一部分發生了接觸。

計算過程中還需要考慮接觸面之間的約束關系。兩個表面之間的距離成為間隙，ABAQUS判斷兩個表面是否接觸到的依據就是判斷兩個表面之間的間隙是否為零，當兩個表面之間的間隙為零時，認為兩個表面之間發生了接觸。這時，接觸面之間就會產生接觸力。


文章來源： 正脈CAE技術平臺

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