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各向同性硬化von Mises率無關(guān)彈塑性本構(gòu)理論以及umat源代碼1 本構(gòu)理論1.1 率形式對于各向同性線彈性材料，其本構(gòu)方程為：式中假設(shè)了應(yīng)變張量可以分解為彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變兩部分：因此塑性本構(gòu)的關(guān)鍵在于計(jì)算塑性應(yīng)變的演化。

下面是JC本構(gòu)的一般表達(dá)式，該模型中主要確定A、B、n、C和m等參數(shù)。可以看到J-C本構(gòu)的主體由三部分構(gòu)成，分別表征了材料的應(yīng)變硬化、應(yīng)變速率硬化（強(qiáng)化）以及溫度軟化，可以概括為“兩硬一軟”。

下面是JC本構(gòu)的一般表達(dá)式，該模型中主要確定A、B、n、C和m等參數(shù)。可以看到J-C本構(gòu)的主體由三部分構(gòu)成，分別表征了材料的應(yīng)變硬化、應(yīng)變速率硬化（強(qiáng)化）以及溫度軟化，可以概括為“兩硬一軟”。A-參考應(yīng)變率和參考溫度下的初始屈服應(yīng)力，B和n-材料應(yīng)變硬化模量和硬化指數(shù)，C-材料應(yīng)變率強(qiáng)化參數(shù)，m-材料熱軟化指數(shù)。

例如，基于Abaqus的三種鋼筋混凝土梁數(shù)值模擬對比研究表明，將鋼筋通過實(shí)體單元建模，并在實(shí)體鋼筋和混凝土梁連接界面設(shè)置相應(yīng)粘結(jié)本構(gòu)，可以更真實(shí)地模擬鋼筋混凝土梁內(nèi)部的實(shí)際受力狀態(tài)。2.2 損傷塑性模型Abaqus中的混凝土損傷塑性（CDP）模型能夠描述材料在循環(huán)加載和動態(tài)加載條件下的力學(xué)響應(yīng)。

從圖4可以看出，花崗巖殘積土在應(yīng)力軟化前的應(yīng)變-應(yīng)力關(guān)系類似于雙曲線，與HS模型彈性階段變化趨勢相吻合[12]。在不同圍壓尤其是125 kPa和225 kPa下，數(shù)值模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)均一致，充分表明了文章開發(fā)的HS模型子程序的可靠性和準(zhǔn)確性[13]。

ABAQUS中的實(shí)現(xiàn)》第7章循環(huán)彈塑性本構(gòu)關(guān)系的部分疑似印刷錯(cuò)誤。

因此，總變形梯度被分解為彈性/剛體轉(zhuǎn)動部分、熱變形部分和塑性變形部分。在本構(gòu)層面，作者保留了 FCC 晶體的 12 個(gè) {111}<110> 滑移系，并采用冪律型滑移率方程描述率相關(guān)塑性流動。

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比分析。

首先將第一個(gè)關(guān)于應(yīng)變的方程代入本構(gòu)方程中，可得偏應(yīng)力的表達(dá)式為：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202402/a8887652df8ddebc670fc7a9e25d7224.png"></p><p>減去方程組中的第二式可以得到相對應(yīng)力的表達(dá)式為：</p><p><img src="https://img.jishulink.com

因此，膨脹角的取值應(yīng)當(dāng)適中，本案例中混凝土本構(gòu)參數(shù)中的膨脹角取值一般在30~35之間，取30。2.Eccentricity（塑性勢偏移量）決定了塑性勢函數(shù)趨近其漸近線的速率。該參數(shù)的引入主要是為了保證塑性勢函數(shù)的連續(xù)、光滑及塑性勢函數(shù)在頂點(diǎn)處的可導(dǎo)性。本案例取值0.1。3.Viscosity Parameter（黏度系數(shù)）是為了使材料模型在軟化階段更容易收斂，仍然保持0.1。

DP本構(gòu)多用來模擬巖土材料（粒狀土壤和巖石），擴(kuò)展DP本構(gòu)給出的應(yīng)力與壓力的關(guān)系也與JH本構(gòu)中未損傷時(shí)應(yīng)力與壓力的關(guān)系類似，其損傷段定義采用等效塑性應(yīng)變與應(yīng)力三軸度的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行定義，狀態(tài)方程采用Mie-Grüneisen形式（詳見Abaqus相應(yīng)部分幫助）。Abaqus官方幫助中給出的JHB本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示。其中標(biāo)紅部分與Abaqus幫助（2021版本）不同，應(yīng)為幫助原文疏漏。

我們目前重工業(yè)上大部分的結(jié)構(gòu)材料還是金屬，盡管ABAQUS中有自帶的JC模型，但是如果要模擬更復(fù)雜的情況，學(xué)會寫彈塑性本構(gòu)就十分必要。本期就給一個(gè)彈塑性VUMAT拉伸失效的案例，結(jié)合單元刪除技術(shù)，模擬結(jié)構(gòu)破壞過程。

Homogenization部分用于選擇所采用的均勻化法則；Crystallite部分用于輸出與所選本構(gòu)關(guān)系無關(guān)的晶體學(xué)量；Phase部分用于選擇材料的本構(gòu)關(guān)系，包括材料參數(shù)的輸入和與所選本構(gòu)關(guān)系相關(guān)的晶體學(xué)量的輸出；Texture部分用于指定晶粒的取向；Microstructure部分表示材料所采用的微觀組織，主要包括每個(gè)晶粒的crystallite，phase和texture。

在FCC晶體中，有12種滑移系統(tǒng)可能在塑性變形過程中被激活 通常，樣品的晶體學(xué)和應(yīng)力狀態(tài)是決定滑移系統(tǒng)是否活躍的主要因素。試驗(yàn)過程中試樣所經(jīng)歷的塑性來自于激活滑移系統(tǒng)的貢獻(xiàn)。臨界分辨剪切應(yīng)力是確定晶體滑移開始的標(biāo)準(zhǔn)，而FCC金屬材料塑性變形主要由位錯(cuò)滑移貢獻(xiàn)。以位錯(cuò)為內(nèi)變量的本構(gòu)方程可以對多晶材料的塑性變形做出更加物理的描述和預(yù)測，并與微尺度的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對比分析。

DP本構(gòu)多用來模擬巖土材料（粒狀土壤和巖石），擴(kuò)展DP本構(gòu)給出的應(yīng)力與壓力的關(guān)系也與JH本構(gòu)中未損傷時(shí)應(yīng)力與壓力的關(guān)系類似，其損傷段定義采用等效塑性應(yīng)變與應(yīng)力三軸度的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行定義，狀態(tài)方程采用Mie-Gr&uuml;neisen形式（詳見Abaqus相應(yīng)部分幫助）。 Abaqus官方幫助中給出的JHB本構(gòu)模型參數(shù)如表1所示。

1 本構(gòu)理論本文講解如何將三維的率無關(guān)彈塑性理論應(yīng)用到平面應(yīng)力問題中。對于平面應(yīng)變和軸對稱問題，由于是相應(yīng)的應(yīng)變分量為0，因?yàn)?em>可以直接使用三維的本構(gòu)，只需將相應(yīng)的應(yīng)變分量設(shè)為0作為本構(gòu)的輸入即可。

JC漸進(jìn)損傷本構(gòu)是研究切削中的重要本構(gòu)模型，主要包括材料硬化和損傷兩部分：其中，原始JC的硬化部分本構(gòu)為； 材料屈服應(yīng)力的硬化解耦為三部分獨(dú)立的效應(yīng)：應(yīng)變硬化、應(yīng)變率硬化以及熱軟化。

本文基于泥巖的三軸壓縮試驗(yàn)曲線，建立考慮應(yīng)變軟化特性的泥巖彈塑性本構(gòu)模型，使用Abaqus及其子程序?qū)δ鄮r的三軸壓縮試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值模擬。泥巖在受壓過程中主要經(jīng)過了5個(gè)階段，即壓密階段、彈性變 形、應(yīng)變硬化、應(yīng)變軟化、殘余階段。泥巖應(yīng)變軟化模型如下所示。式中，ξ為強(qiáng)度參數(shù)，ξp為峰值強(qiáng)度參數(shù)，ξr為殘余階段強(qiáng)度參數(shù)，η為應(yīng)變軟化參數(shù)，η*為殘余階段的應(yīng)變軟化參數(shù)初始值。