振動與波動力學
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-05
振動與波動力學的視頻教程
波動力學論文講解—lamb波在介質中的傳播
二、蘭姆波的傳播機制 蘭姆波的傳播機制基于彈性動力學的拉梅解，波動方程用位移勢函數表示為：假設波動位移和無關，即與波的圓頻率、P波波速、S波波速、波長等參數有關。待定常數可以由上下表面的面力為零的邊界條件確定。 在薄板中，當激勵波波長與波導厚度處于同一數量級時，橫波和縱波會耦合成一種特殊形式的應力波，即蘭姆波。蘭姆波在板中的傳播是沿著板的平面進行的，其振幅在板的上下表面為零。
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基于OptiStruct的振動力學/結構動力學分析
第4章 隨機振動分析：采用與實驗方法一致的輸入條件，針對實際案例，檢查結構設計是否合理。 第5章 瞬態動力學：從完全法和模態疊加法出發，分別進行瞬態動力學分析。 第6章 正弦掃頻疲勞分析：講解掃頻法和定頻法兩種分析方法，結合實驗（定頻法）進行具體案例分析。 第7章 隨機振動疲勞分析：結合具體實驗要求進行案例的隨機振動疲勞分析。 第8章 瞬態疲勞分析：在瞬態動力學基礎上，進行疲勞分析。
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振動與波動力學的實例教程
按照這種方法，可以把每一個運動都分解成若干個簡諧振動的疊加來理解。經過分解，舊理論中表示位移、動量的物理量被分解為由一系列表示振動的函數構成的多項式，每個函數對應于一個可能出現的躍遷狀態，振動的頻率就是躍遷時放出或吸收的光子的頻率，振幅代表這個躍遷狀態可能出現的幾率，與相應頻率的光線在光譜中的亮度相對應，這樣，新理論中出現的全部變量就都變成了可以直接通過實驗觀測的。由于在這套體系中，所有傳統物理量都被寫成了多項式形式，因此涉及大量多項式相乘的運算。海森堡的同事波恩和約當注意到，把這套體系用高等數學中處理多項式相乘的工具矩陣來表示再合適不過了。1925年，他們和海森堡一起完成了將新量子論改寫為矩陣的工作，即今天我們所說的量子力學的第一套數學形式：矩陣力學。
從矩陣力學的建立過程可以看到，事實經驗在其中起到了最關鍵的作用。普朗克的能量量子和愛因斯坦的光量子都是為了解釋實驗中出現的反常現象而被迫創造出的新概念；玻爾理論的成功更直接得益于氫原子光譜的經驗證據的支持；而海森堡則干脆聲稱其理論只針對實驗中的可觀測量。相反，在這條路徑中，物理理論圖景的發展卻一直遠遠滯后，甚至可以說從始至終就是模糊不清的。普朗克的能量量子概念就連他自己也覺得難以理解；玻爾自始至終也無法說清原子核外電子按固定軌道分布的原因及其躍遷機制；至于海森堡，甚至以“摒棄形而上學假設”為旗幟，要求把討論嚴格限制在可觀測量上。
波動力學：尋求理論上的統一
與矩陣力學相對的另一條研究路線是波動力學。波動力學的最初線索來自于物理學家們試圖為奇異而紛亂的量子現象找到一個統一而可理解的理論解釋的努力。
前文提到，玻爾的量子化原子模型因為可以完美地解釋氫原子光譜的成因，因而被認為是成功的。但是更進一步地追問：核外電子為什么只能待在那幾條特定的軌道上？這些特定軌道的半徑又為什么會取這樣的一些特定值？
展開 其實沒法定義到底是哪一類量會按照聲速傳播，比如說按照熱力學中的廣延量和強度量來劃分吧，那強度量中壓強擾動會按聲速傳播，溫度這種強度量發生擾動就不會按照聲速傳播，它有自己的熱傳導方程；按照力學參量/幾何參量等來劃分吧，那力學參量中的部分量也不會這樣。當然這是題外話了，也可能我還沒學到。
關于絕熱等熵，就是說擾動前后熵不變，比如聲音傳播經過空中某個點前后，該點的熵不變。激波的傳播就會造成壓強、速度等間斷面，也不會是等熵的了。固體中絕熱等熵過程典型的就是彈性小變形，彈性動力學就是研究聲波在固體中的傳播；聲波在流體中的傳播的研究是建立在無黏可壓流模型基礎上的，必須要考慮流體的可壓縮性，因為如果將流體當成不可壓縮物質，波速將無限大。另外，吳望一P527也說明了高速空氣邊界層外中的小擾動仍然可以采用無黏等熵假設。
聲音的傳播遵循波動方程，但是固體力學的波動方程和流體力學的波動方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當然這也分別是固體力學和流體力學慣用的描述方式。
二、 固體波動方程
固體波動方程的推導可以見吳家龍P233，我們在這里對關鍵推導 如果彈性介質的位移場是無旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個拉梅常數都有關，而畸變波的波速只和拉梅常數中的剪切模量G有關。
三、流體的波動方程
流體的波動方程在好幾個著作中都有提到。比如汪志誠的《熱力學與統計物理》（高教社第五版）P26，但只是推導了牛頓聲速公式，并未將擾動過程看成等熵的。關于牛頓對聲速的測量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
展開 地震波動力學理論與方法
牛頓擺之力學淺析-不連續介質中的“波動”問題 ￥49.99
牛頓擺的Abaqus仿真模擬
理想中的牛頓擺不考慮能量損失，是完全的彈性碰撞，現實中的牛頓擺有摩擦（球與球之間、球與空氣，繩索連接處等），系統存在阻尼，非彈性碰撞與阻尼會耗散掉初始動能，繩索與球自身變形引起的振動也會吸收一部分能量。
牛頓擺碰撞仿真模型
這個問題的核心不在于球怎么振動，而在于沖擊的傳遞過程，所以我們通過剛體接觸建模來建立牛頓擺的碰撞仿真模型。
球與球之間的接觸屬性設置里面需要定義適當的法向接觸算法、摩擦系數與接觸尼阻。
牛頓擺碰撞仿真
還記得我們有一期文章提到的Abaqus虛擬高速攝影嗎？在這里可以派上用場，我們想知道極短的碰撞時間內沖擊的傳遞過程，可以在碰撞過程中（0.1071s到0.1075s內）設置較為密集的場變量輸出，其余時間段稀疏一點，這樣的話，會有一個慢鏡頭向我們展示力的傳遞過程。
小球加速度云圖
球心速度矢量圖
從5個球水平方向速度V3的變化曲線來看，動能主要在兩端的2個球之間交換，每次碰撞都有一小部分動能轉移到中間的3個球上面；從5個球垂直方向速度V2的變化曲線也可以看出，系統能量一直在耗散，兩端的球擺動升高幅度逐漸降低。
5個球的水平速度V3與垂直速度V2變化曲線
2懟3（左）與3懟2（右）的情況
這個問題本質上并沒有這里討論的那么的簡單，我們可以將其稱之為不連續介質中的波動問題（由于波動理論發展于連續介質力學，而不連續介質中的沖擊往往是單向傳遞，所以這種波動的叫法聽起來可能有點別扭），類似于連續介質中的材料剛度與密度會影響彈性波的速度，不連續介質interface的接觸傳力特性會直接影響剛體（或彈性體）之間的沖擊傳遞速度與沖擊能量傳遞效率。
展開 沒錯，正是因為它的收縮和舒張，我們才感覺到了心臟的跳動，而這種跳動也會通過與它接觸的部位而傳至全身，只不過振動響應有大有小，大多數部位小到可以忽略了，因為身體上的肉、脂肪等成分，很快便將傳來的振動耗散掉了，而血管和血液這條路徑的振動信號則比較明顯。我們可以嘗試用手摸一下胳膊，很容易能感受到動脈處振動的存在。
因此，中醫選取了手腕附近的橈動脈進行診斷。那么為什么手腕處動脈的振動能夠反映身體其他部位的狀況呢？用振動力學的理論可以給予一定的解釋。
我們可以把體內的血管及內臟等部位看作一個的系統，它們之間是相互耦合的，即相互影響的，所謂“牽一發而動全身”。心臟的跳動可以看作一個周期性的激勵，假定系統是線性系統，那么由振動力學的知識可知，系統的響應也會是周期性的（只不過胳膊處的振動和心臟處的振動不會是完全同步的，因為血液血管等的阻尼作用使響應發生了滯后）。而任一部位發生了病變，相當于機械系統的某處發生了故障，在振動微分方程中表現為局部剛度的改變，那么整個系統的響應便會隨之改變，從而橈動脈處振動信號便發生了變化，即脈象發生了改變。
而實際上中醫最常用的三指診脈方法就相當于一個多點拾振的過程。這類似于故障診斷的思路，根據手指感受到的振動信號的規律，來根據經驗判斷出不同的病癥，而往往不同部位的不同病變，所引起的響應信號是不同的。當然也有例外，比如兩種病癥可能有類似的響應，又如有多個病癥的疊加，產生各種新奇的響應。這便不是一個平常中醫所能診斷的了，而能夠找到或創造方法做出診斷的，我們便可稱之為神醫了。類似的，在機械系統中這樣信號的診斷正是故障診斷領域所努力的方向之一。
當然，中醫脈學的診斷方法發展至今，仍只是一種定性的分析。聯想到機械系統，我們是否可以按照脈學的經驗，通過建立動力學正問題的方式，把每一種病癥的振動響應定量化，并利用現代科學的手段進行定量檢測呢？
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一、聲速
基于目前看過的有限書籍，我個人的理解是，聲速是定義在介質上的部分場量發生絕熱等熵擾動時，擾動在該場中的傳播速度。由于聲音剛好是這樣一種擾動，并且在工程應用中也多用發聲來產生擾動，所以就統一地定義為聲速。
在固體中，就是定義在物質點上位移場、應力應變場
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Part 2
地震波動力學理論與方法
理想牛頓擺的模擬效果
牛頓擺（Newton's cradle）并非牛頓發明，這種裝置中小球的碰撞特點最早是由法國物理學家埃德姆·馬略特（高中物理的理想氣體定律三大基石之一，波義耳-馬略特定律么還記得嗎？）于1676年發現并提出。
論輩分，馬略特要大牛頓二十幾歲，可能他是要致敬這位橫空出世的天才，這個擺球裝置被命名為牛頓擺。
我們可以看到，理想牛頓擺中間的3個球在碰撞過程中
1926年10月，哥本哈根的天氣已開始轉涼。在哥本哈根大學理論物理研究所東配樓的一間客房里，一位中年人虛弱地躺在床上，另一位中年人正坐在床頭，盯著他的眼睛認真地說：“但是你肯定必須理解……”
坐在床頭的中年人就是這個研究所的主人——量子力學哥本哈根學派的領袖、丹麥物理學家玻爾。躺在床上的則是奧地利物理學家薛定諤。他應玻爾之邀前來哥本哈根，介紹他剛剛建立的量子力學波動方程，沒想到等待他的是整個哥本哈根學派對其新理論的批判與質疑
脈學作為我國的傳統文化，自扁鵲總結創立以來一直流傳至今。脈學是利用切脈的方法診治疾病，是中醫診斷學中的一項獨特方法。切脈又稱為把脈、號脈，是醫師用手按病人的動脈，根據動脈搏動的顯現部位（深、淺）、速率（快、慢）、強度（有力、無力）、節律（整齊與否、有無歇止）和形態等方面的表現以了解疾病內在變化的診斷方法。
我們知道，心臟相當于人體的發動機，它無時無刻不在進行著規律性的收縮和舒張，從而驅動我們的血液循環
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振動理論及應用（第5版）——國際著名力學圖書影印版系列
作者：湯姆遜（Thomson,W.T.），達利（Dahleh,M.D.） 著
出版社：清華大學出版社
ISBN：7302121370
印次：1
紙張：膠版紙
出版日期：2005-12-
