多自由度系統仿真的案例
振動理論-單自由度、二自由度及多自由度
系統辨識 3
3. 載荷辨識 4
1.4. 單自由度系統 4
1.4.1. 單自由度系統的測試/辨識 6
1.4.2. 單自由系統的頻響特性 7
1.4.3. 隔振原理 8
1.5. 多自由度模型建立 11
1.5.1. 狀態空間方程 11
1.5.2. 二自由度算例 12
1.5.3. 六自由度模型 16
理論模態分析之多自由度系統（三）
作者介紹 力學碩士，有七年的結構有限元分析經驗和四年NVH經驗。微信 leslie_wj
1 比例阻尼
進行傅立葉變換，獲得頻響函數矩陣。
引入模態矩陣和模態坐標。
用模態振型對物理參數進行處理，得出模態參數。
歸一化處理。
模態參數表達式。
2 對于結構阻尼和非比例阻尼，同樣存在頻響函數的概念，但此時的模態矩陣稱為復模態矩陣。
【JY】基于Matlab的(單)多自由度動力學代碼分享
寫在前文
多自由度分析是現代工程和科學研究中不可或缺的一部分。它涉及到對復雜系統的動力學行為進行精確描述和預測。分享下多自由度的源代碼，僅供學習。該程序適用于單自由度或多自由度計算分析~
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【JY】動力學利器 —— JYdyn函數包分享與體驗
代碼詳解
步驟一：
構建質量矩陣以及剛度矩陣
步驟二：
構建 阻尼矩陣
如果為單自由度計算，則采用常規計算得到阻尼，若為多自由度計算則采用瑞利阻尼進行計算。
步驟三：
構建 荷載矩陣
步驟四：
采用Newmark-β法進行計算
步驟五：
進行數據整理
步驟六：
結果展示
運行代碼可得到相關結果：包括選取樓層的 絕對加速度、速度、位移，以及振型。
代碼驗證
采用SAP2000進行建模對比，對比結果如下（將代碼結果做1~10個單位的偏移，否則數據重疊看不出）：
小結
1、該代碼可根據科研需求進行改造相關的 M、C、K、F矩陣，進行求解。已適用于結構風工程、地震工程、沖擊動力學等。
2、改代碼可從迭代方式進行實時對相關矩陣重新組裝，實現非線性分析，如對K做實時更新，可得到位移型滯回的非線性分析結果，對M做實時更新可得到結構的動態質量隨時間或者上一步響應的變化。
3、由于該代碼架構比較簡單，適合于小體量的結構矩陣，若需要更大體量的結構計算，仍需要引入Jydyn函數庫。
【JY】動力學利器 —— JYdyn函數包分享與體驗
完
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展開 Adams模擬單自由度系統強迫振動
在Adams_view里面建立小球并修改其質量為20kg，然后在小球與地面之間建立彈簧，同時在小球的質心處建立單向力，最后在小球和地面之間建立移動副（確保單向運動），具體如下：
彈簧剛度、阻尼，單向力設置如下：
首先通過理論計算得到系統特性：
系統的固有特性：
通過Adams計算，計算結果與理論計算結果一致：
根據單自由度強迫振動公式，其穩態時的響應函數為：
其瞬態時的響應函數為：
總響應為：
通過matlab將總響應做關于x和t的圖形如下：
以相同的步長進行Adams仿真，得到結果如下所示（質心沿x方向的運動）：
經過對比理論計算與Adams仿真一致，驗證了單自由度系統的強迫振動。從圖中可以看出在有阻尼的條件下瞬態振動快速衰減，最終趨近于穩態響應。
如果沒有阻尼，系統將由將變為下式：
公式由三部分組成：1是系統由初始條件產生的振動，2是激勵產生的強迫振動，3是伴隨強迫振動產生的自由振動。
展開 
Cadence 推出 Fidelity CFD 軟件平臺，為多物理場系統仿真的性能和準確度開創新時代
內容提要
統一的工作流程高度集成了 NUMECA 和 Pointwise 的突破性新技術，能夠顯著提高設計師的生產力
新一代高階流體求解器的求解精度高達標準流體求解器的 10 倍
新的大規模并行架構將復雜的航空航天、汽車、國防、船舶海洋和葉輪機械的 CFD 分析周期從數周縮短到一天或更短
對于航空航天應用中使用的行業領先的 Pointwise 解決方案，Fidelity CFD 還提供了高達 3 倍的網格劃分速度
中國上海，2022年4月21日——楷登電子（美國 Cadence 公司，NASDAQ：CDNS）今日宣布推出 Cadence? Fidelity? CFD 軟件平臺，為多物理場仿真的性能和準確度開創新時代。這是一套全面的計算流體力學 (CFD) 解決方案，適用于多種工業領域，包括汽車、葉輪機械、船舶、航空航天等。Fidelity CFD 引入了新一代流體求解器。該求解器可提供高階數值格式、尺度解析仿真和大規模硬件加速功能，可助力提高仿真性能，在確保準確度的同時縮短研發周期。
基于從收購 NUMECA 和 Pointwise 中獲得的專業知識和技術以及積累的計算軟件專業知識，Fidelity CFD 將所有先進技術結合在一起，助力 CFD 工程師通過簡化的工作流程更好地仿真多物理場的系統性能。
Fidelity CFD 中包含幾個專門用于船舶和葉輪機械應用的流體求解器，以及用于多種流體類型的通用流體求解器。
展開 單自由度系統的幾個振動頻率
對于一個單自由度系統（質量為m，彈性系數為k，阻尼比為ξ），我們常常會談到幾個關于振動的頻率：固有頻率、自由振蕩頻率和共振頻率。很多人認為這幾個頻率是一回事，其實這種認識是錯誤的。
固有頻率為ωn=√k/m，它只與系統的質量和彈性系數有關，與系統承受何種外部激勵無關，也與系統的阻尼無關。阻尼可以是內阻尼，也可以是外部造成的，因而不是系統的固有特性，所以固有頻率不考慮阻尼比。但這也引出了另一個概念就是臨界阻尼系數Cc=2√mk=2mωn。
自由振蕩頻率ωd 指的是當單自由度系統受到外部作用偏離平衡位置，當外部作用消失時，系統從初始位置向平衡位置運動的一種特性。注意這里“自由”就意味著系統所受到的外部激勵為零。此時，系統的運行形式可以根據阻尼比ξ=c/Cc分為三種情況：
對于無阻尼系統，即ξ=0，系統進行等幅振蕩，自由振蕩頻率ωd 等于其固有頻率ωn。
對于欠阻尼系統，即0<ξ<1，系統進行衰減振蕩，自由振蕩頻率ωd 近似但不等于其固有頻率ωn。當阻尼比很小時：
對于臨界阻尼ξ=1或過阻尼ξ>1，系統一般不會產生振蕩（取決于初始速度），因而談論自由振動頻率沒有意義。
當單自由度系統受到頻率為ω 的簡諧運動激勵時，系統的響應也是頻率為ω 的簡諧運動。
共振的定義是系統的響應與激勵之比在某個頻率上得到最大值，該頻率也就是所謂的共振頻率，所以共振頻率指的是系統進行受迫振動時外部激勵的頻率。實際上系統的響應一般又有三種表達方式，即位移、速度和加速度。這三個量的共振頻率并不相同。見表1。
表1 不同響應量的共振頻率
可以看出位移共振頻率比固有頻率略低，速度共振頻率等于固有頻率，加速度共振頻率比固有頻率稍高。
展開 三自由度系統固有頻率及振型的求解
求解三自由度系統固有頻率；
求解三自由度系統固有頻率對應的振型；
理解歸一化是如何實現的。
ANSYS求解單自由度系統的振動響應分析
問題： 圖示系統質量塊質量為m=30kg，彈簧剛度為k=30kN/m并且彈簧質量可以忽略，質量塊被向左方向推離位置10mm后放手，求此系統的固有頻率、周期和響應，以及彈簧所受的力。
理論解：
！1求解系統的固有頻率
finish
/clear
/prep7
et,1,mass21
et,2,combin14
keyopt,1,3,4 !mass21二維無轉動慣量的質量點
keyopt,2,3,2 !2d軸向彈簧
r,1,30
r,2,3e4
n,1
n,2,1,0
type,1
real,1
e,2
type,2
real,2
e,1,2
d,1,all
d,2,uy
/solu
antype,modal
modopt,lanb,1
mxpand,1
solve
/post1
set,list
！2求系統的響應曲線
finish
/clear
/prep7
et,1,mass21
et,2,combin14
keyopt,1,3,4
keyopt,2,3,2
r,1,30
r,2,3e4
n,1
n,2,1,0
type,1
real,1
e,2
type,2
real,2
e,1,2
/solu
antype,trans
Trnopt,full
outres,all,all
timint,off
d,1,all
d,2,uy
d,2,ux,0.01
time,1
solve
time,2
kbc,0
ddele,2,ux
timint,on
autots,on
deltim,0.01,,0.1
solve
/post26
nsol,2,2,u,x
plvar,2
prvar,2
最后得到結果質量點的位移響應曲線
展開 理論模態分析之單自由度系統（二）
2 結合振動微分方程來看，齊次方程對應的是自由振動，非齊次方程對應的則是受迫振動。求解有初始條件的自由振動其實就是求解齊次方程的初值問題。求解有初值條件的受迫振動其實就是求解非齊次方程的初值問題。尤其對于受迫振動來說，初值條件決定的是該振動系統自由振動（齊次項）的特解系數的選擇。
3 實際的振動系統（結構）都是有阻尼的，所以無論初始條件是什么，對于受迫振動來說，齊次項總是衰減的，一段時間后，結構的響應只剩下非齊次項。所以我們完全可以假設初始條件為零，之所以這樣假設，是因為這會給積分變換法求解微分方程帶來很大的方便。
復習積分變換，再看一個例子。
拉普拉斯變換與微分的關系：
在振動理論中，由于存在阻尼，假設初始條件為零，并不影響振動問題的求解。
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1 粘性阻尼，振動微分方程（物理參數）
進行傅立葉變換（特殊的拉普拉斯變換），獲得頻率響應函數（函數參數）
2 結構阻尼，振動微分方程（物理參數）
進行傅立葉變換，獲得頻率響應函數（函數參數）
3 加速度頻響函數，速度頻響函數，位移頻響函數之間的轉換
展開 Zemax案例 | 基于Zemax相機多自由度主動對準技術研究
光學系統在制造與裝配過程中產生的累積誤差，是制約成像品質提升的關鍵瓶頸。傳統被動對準工藝效率低下、精度有限，而現有主動對準技術高度依賴波前傳感器等專用設備，難以兼顧精度、速度與工程實用性。浙江大學新發表于Optics Express的研究成果，提出一種基于調制傳遞函數（MTF）的順序式多自由度主動對準方法[1]，依托Zemax OpticStudio完成全流程仿真驗證，實現相機模組高精度、高效率、低成本的工程化對準，為高端光學模組量產提供新的技術路徑。
相機模塊對準技術現狀與行業痛點
光學系統的裝配誤差主要體現為透鏡偏心、傾斜、軸向偏移及傳感器位姿偏差，這些誤差會引發場曲、像散、彗差等高階像差，顯著降低MTF、分辨率等核心指標。當前行業對準技術主要分為兩類，均存在難以突破的瓶頸。
（1）傳統被動對準：效率與精度雙重受限
被動對準依賴公差分配與機械夾具定位，裝配后通過篩選合格品控制良率。該方法流程繁瑣、耗時較長，無法實時補償裝配誤差，面對高像素、大視場、復雜結構的現代相機模組，誤差累積效應被急劇放大，難以滿足高端成像需求。
（2）現有主動對準：設備依賴與復雜度居高不下
主動對準（AA）通過實時監測光學特性、動態調整組件位姿實現精度補償，是行業主流升級方向?，F有技術可分為三類：
像差分析法：基于節點像差理論，建立誤差與波前像差的解析關系，需高精度波前測量，設備成本高昂[2]；
數據驅動法：通過深度學習、靈敏度矩陣建立數值映射[3]，依賴大量樣本與復雜訓練，工程落地門檻高；
搜索優化法：構建評價函數引導優化，無需復雜建模，但遍歷搜索耗時極長，多自由度場景下效率暴跌。
行業痛點高度集中：高精度對準與高效率量產難以兼得，專用設備依賴度高，復雜光學系統適配性差。
展開 Femap_NX Nastran_單自由度系統的響應譜分析
Femap_NX Nastran_單自由度系統的響應譜分析.part1.rar
Femap_NX Nastran_單自由度系統的響應譜分析.part2.rar
『分享』二自由度碰撞振動系統的隨機響應
用擬不可積哈密頓系統隨機平均法研究了二自由度碰撞振動系統的隨機響應。先將二自由度隨機激勵的
碰撞振動系統表示成隨機激勵的耗散的哈密頓系統形式, 然后用擬不可積哈密頓系統的隨機平均法得到了以系統
哈密頓函數為基本變量的一維Ito
d
隨機微分方程, 最后用數值方法求解與該方程相應的穩態FPK 方程, 得到系統
響應的平穩概率密度。兩個算例的結果與數字模擬結果的比較表明了隨機平均法在二自由度碰撞振動系統的隨機
響應分析中的有效性。
二自由度碰撞振動系統的隨機響應.pdf
展開 大自由度的轉子－滑動軸承系統非線性動力學分析
大自由度的轉子－滑動軸承系統非線性動力學分析
大自由度的轉子－滑動軸承系統非線性動力學分析.PDF
大自由度的轉子－滑動軸承系統非線性動力學分析（Ⅱ）.PDF
三自由度無阻尼系統的固有頻率和振型的求解
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率；
求解三自由度無阻尼系統的固有頻率分別對應的振型；
理解什么是歸一化。
石化控制室抗爆設計——多自由度動力彈塑性分析(簡支梁)
在上一篇文章《石化控制室抗爆設計——動力分析方法概況》中，我們介紹了三種動力分析的方法，分別是：等效靜力法、單自由度體系動力分析、有限元方法。
目前較常用的是方法二：基于單自由度體系的圖解法。該方法的局限性也比較強，只能用于那些能簡化為單自由度的構件或結構、不能考慮構件之間的耦合效應、不能得到構件反力時程、質量/剛度傳遞系數為近似值、不能考慮二階效應、抗力函數必須是理想彈塑性等。
在《Design of Blast Resistant Buildings in Petrochemical Facilities 》這本書中，作者將有限元方法看作是一種高級方法，可以避免以上單自由度方法的缺點。
接下來，我們看下在RFEM5中如何實現多自由度體系的動力彈塑性分析。為了與單自由度體系圖解法的結果形成對比，本篇文章先進行一個簡支梁的動力彈塑性分析，下一篇文章再對一個框架進行分析。
展開 