應變梯度塑性的案例
一類非局部GTN模型------考慮應變梯度效應GTN模型
應變梯度模型（Strain Gradient Model）是一種材料模型，由 Gurtin 和 Sternberg 在 1962 年引入的，用于研究非局部效應對連續介質行為的影響。然而，這個模型直到近年來才開始在納米材料領域得到廣泛的應用和研究。材料被視為連續、均質的介質，其行為由宏觀應力和應變張量描述。然而，當材料的尺寸減小到與其微結構大小相同的數量級時，傳統模型就不再適用，因為微觀結構的影響變得更加顯著。
應變梯度模型引入了一個額外的應變梯度項來描述材料的非局部行為。這個梯度項捕捉了在微觀尺度上材料應變的變化率。
相對于傳統塑性模型，應變梯度塑性模型的主要優勢體現在
更準確地描述納米尺度下的材料行為。在納米尺度下，材料的微觀結構對其力學行為有著重要的影響。傳統的連續介質力學模型無法很好地描述這種非局部行為，而應變梯度模型通過引入應變梯度項，可以更準確地描述納米材料的力學行為。
提高了預測材料性質的能力。應變梯度模型可以更好地捕捉材料的微觀尺度下的非局部效應，從而提高了模型預測材料力學性質的能力。
可以揭示材料行為的新特性。應變梯度模型可以更好地描述納米材料的強度、韌性、斷裂行為等特性，從而有助于揭示材料行為的新特性和機制。
為納米加工和納米器件設計提供了指導。應變梯度模型可以幫助人們更好地理解納米材料的力學行為，從而為納米加工和納米器件設計提供指導。例如，在設計納米器件時，需要考慮材料的強度、韌性等特性，應變梯度模型可以幫助人們更準確地預測這些特性，從而指導器件的設計和優化。
在過去的幾十年中，應變梯度模型得到了不斷的發展和完善。其中一個重要的進展是基于變分原理的應變梯度模型，這種方法可以更好地處理材料的宏觀和微觀結構之間的相互作用。
展開 梯度晶體塑性模型對應的umat子程序 ￥1200
文獻一：《Gradient plasticity in gradient nano-grained metals》
文獻二：《Grain rotations during uniaxial deformation of gradient nano-grained metals using crystal plasticity finite element simulations》
推薦理由：兩篇文章使用了類似的研究方法，通過構建具有梯度分布的晶粒模型，基于原始的唯象晶體塑性模型進行修改，將初始屈服，硬化模量，飽和強度，以及率相關系數構造為晶粒尺寸的函數，實現建立具有尺寸效應的多晶本構模型，這對目前金屬梯度結構介觀尺度下力學性能的表征具有一定的啟發性
文獻一的研究使用Voronoi鑲嵌方法構建梯度納米晶結構，使用的本構模型如下：
流動方程：
硬化方程為：
通過假設：單晶水平上的所有抗滑移參數與局部晶粒尺寸D的平方根成反比
修正對應的參數為：
其中彈性參數對應Cu的參數
有限元模型為：
研究了平面應變條件下簡單拉伸不同區域的應力應變分布特征
CPFE結果揭示了GNG-Cu橫截面中的梯度應力和梯度塑性應變。這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達到屈服點以及相應的梯度滑動阻力而產生的。
CPFE結果還揭示了梯度應力和梯度塑性應變的非均勻空間分布，這是隨機晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結果。
展開 每日文章推薦（二十二）
文章doi：10.1016/j.ijsolstr.2015.02.010
推薦理由：
作者利用泰勒位錯模型建立的應變梯度塑性理論，分析了塑性尺寸效應對金屬材料斷裂過程的影響。所選SGP理論的數值框架是為允許大應變和旋轉而開發的。材料模型通過用戶子程序在商業有限元（FE）代碼中實現，作者有限元結果顯示，當考慮有限應變時，SGP和傳統塑性理論的應力場之間的差異幅度和程度顯著增加。由于在考慮大應變時，與應變梯度顯著改變應力場的裂紋尖端的距離可能高出一個數量級。
作者數值模型的理論源于huang在2004年提出的低階應變梯度塑性框架，但不涉及高階應力。因此，塑性應變梯度僅出現在本構模型中，平衡方程和邊界條件與傳統的連續體理論相同。
基本框架如下：
硬化模型（Taylor（1938）的位錯模型）：
其中μ是剪切模量，b是burger矢量，α是唯象的擬合系數區間（0.3，0.5），位錯密度由兩部分組成，即統計儲存位錯密度SSD和幾何必須位錯密度GND:
幾何必須位錯密度與有效應變梯度直接相關聯：
其中r是nye因子，對于FCC結構通常為1.90
統計儲存位錯密度計算方程為：
其中σref是參考應力。
展開 適用于ansys的應變梯度塑性本構（CMSG）子程序（開源資源）
主程序：
subroutine usermat(
& matId, elemId,kDomIntPt, kLayer, kSectPt,
& ldstep,isubst,keycut,
& nDirect,nShear,ncomp,nStatev,nProp,
& Time,dTime,Temp,dTemp,
& stress,ustatev,dsdePl,sedEl,sedPl,epseq,
& Strain,dStrain, epsPl, prop, coords,
& var0, defGrad_t, defGrad,
& tsstif, epsZZ,
& cutFactor, pVolDer, hrmflg, var3, var4,
& var5, var6, var7)
c
!DEC$ ATTRIBUTES DLLEXPORT, ALIAS:"USERMAT"::usermat
c
c*************************************************************************
c *** primary function ***
c
c The conventional theory of mechanism-based strain gradient plasticity model
c If you use this code for research or industrial
展開 
康國政老師的書《非線性本構關系在ABAQUS中的實現》第7章的幾處疑似印刷錯誤
圖片來源（實體書拍照）
該書第一章描述了全量和增量兩種形式的本構關系，本構關系的張量表示，非線性方程組的求解策略和本構關系的有限元實現過程及abaqus的用戶材料子程序接口，后續幾章內容分別描述了非線性彈性，彈塑性，黏塑性，超彈性，循環彈塑性和循環黏塑性，耦合損傷循環塑性，大變形彈塑性循環本構，晶體塑性循環和應變梯度塑性等內容。涉及的本構關系種類多樣，推導詳細，對筆者在開發彈塑性材料本構方面有十分大的啟發。
本文主要針對該書第7章“循環彈塑性本構關系”中的幾處疑似印刷錯誤進行討論。本文作者在彈塑性本構方面尚未達到入門水平，無論是在本構關系的知識廣度還是深度上，都與本書作者三位老師相距甚遠，本文指出的幾處疑似印刷錯誤僅僅從書中內容印刷出發，不涉及本構關系的具體理論糾正，指出的也僅僅是本人的個人看法，非常可能本人理解有誤，歡迎三位作者和其他讀者批評指正。
第一處：
第101頁式（7-26）為：
第102頁式（7-27）為：
從式（7-26）推導至式（7-27），式（7-27）中的分母有誤，實際上式7-27應當是：
第二處：
書中（7-29）式：
實際應為：
第三處：
書中第（7-30）式：
上式應為：
第4處：
上式應為：
第5處：
上式應為：
以上，即是《非線性本構關系在ABAQUS中的實現》第7章循環彈塑性本構關系的部分疑似印刷錯誤。當然，有部分疑似印刷錯誤依然掩蓋不了本書依然是編寫abaqus用戶材料子程序的一本經典教程，本文作者也頗受該書啟發，在此感謝闞前華、康國政、徐祥三位老師的辛勤勞動，為我們貢獻了這樣一本經典的中文教程。
展開 來自劍橋Martínez-Pa?eda 多尺度 斷裂 應變梯度的文章和源代碼（UEL， CMSG等） ￥10
Martínez-Pa?eda 公布了微觀多尺度斷裂力學的許多源代碼，包括應變梯度理論 相場斷裂力學 面向msg的XFEM等理論的源代碼。幫其在國內推廣下，用其代碼注意引用他的文章！ 花了時間做這個帖子，辛苦費還是要收的
（一）PHASE FIELD FRACTURE IMPLEMENTATION IN FENICS
FEniCS Python script with a staggered implementation of the phase field fracture method, suitable for 2D and 3D case studies. Includes a document with detailed instructions.
Paper: Hirshikesh, S. Natarajan, R. K. Annabattula, E. Martínez-Pa?eda. Phase field modelling of crack propagation in functionally graded materials.
展開 JMPS：多主元合金塑性和應變硬化的分層多尺度晶體塑性框架
在細觀尺度上，晶體塑性有限元(CPFE)方法可以考慮相變、位錯滑移和變形孿生等多種細觀變形機制，在描述基于微觀結構演化的材料塑性行為方面具有明顯的優勢。而晶體塑性本構模型的參數通常是通過擬合宏觀實驗結果得到的，但是其缺乏亞微米變形機理，所以擬合參數可能不是唯一的，從而降低了CPFE模擬的預測精度。由于MPEAs的微觀結構是多尺度的，如原子空位和晶格畸變、微尺度位錯和中尺度晶粒等，所以需要考慮微尺度的變形機理來獲得精確的晶體塑性本構模型參數，然后開發一種從納米-微-中尺度微觀結構集成的新的模擬方法。湖南大學的Qihong Fang等人將原子模擬、離散位錯動力學和晶體塑性有限元方法結合起來，建立了一個新的框架，研究MPEAs的應變硬化行為，實現了包括納米尺度晶格畸變和微尺度位錯硬化在內的復雜跨尺度因素對塑性變形的影響，作者結合MD、DDD、CPFE模擬方法和隨機場理論(圖1)，提出了一種可捕捉MPEAs中嚴重晶格畸變的分層多尺度方法來建模MPEAs，該方法連接了三個長度尺度(納米尺度、微觀尺度和中尺度)，為深入理解納米-微米-中尺度結構相關的微尺度變形機制提供了新的思路，并為研究先進MPEAs的多尺度微結構調控相關的優越力學性能提供了可能和途徑。
圖1：用分層多尺度建模方法估計晶體塑性本構模型中的硬化參數。用MD、DDD和CPFE耦合模型預測了多晶材料在不同長度尺度下的力學響應。
圖2是通過MD模擬得到的Al0.1FeCoCrNi MPEA中邊緣位錯速度隨不同剪切應力/溫度比的變化規律。在作者測試的外加應力范圍內，位錯速度幾乎隨σ/T線性增加，這符合聲子阻尼理論。采用DDD模擬研究了邊緣和螺桿段遷移率對Al0.1FeCoCrNi單晶[001]取向應力應變曲線的影響。從圖3中可以看出，不同位錯遷移率下的應力應變曲線與相同遷移率下的應力應變曲線變化不大。
展開 EE LE PE NE PEEQ(等效塑性應變) PEMAG(塑性應變量)
一）名詞解釋：
EE 彈性應變
NE 名義應變
LE 對數應變【即真應變，對于單軸拉伸LE=ln（1+NE）】
PE 塑性應變
PEEQ （equivalent plastic strain）等效塑性應變
PEMAG （Plastic strain magnitude） 塑性應變量
PEEQ與PEMAG的區別是
PEMAG描述的是變形過程中某一時刻的塑性應變，與加載歷史無關，而PEEQ是整個變形過程中塑性應變的累積結果。
如果一個圓桿受單向拉伸至屈服，再通過單向壓縮使其恢復初始長度，則最終的PEMAG為0，而PEEQ是拉伸和壓縮過程中塑性應變的絕對值之和。
二）CAE模型
下圖示同樣尺寸的鋁板，2種拉伸工況
板的拉伸及其1/4模型
工況（1） 單調拉伸
依據property材料參數，理論計算算的板拉伸板0.06m時屈服。Load單調拉伸到位移為0.09m，輸出EE， LE ，PE， PEEQ ，PEMAG ，NE
工況（2） 拉伸到屈服再壓縮到屈服，再拉伸到屈服（反復加載），最大位移和工況（1）一樣是0.09m。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十九）
文章doi：10.1016/j.mechmat.2021.103830
推薦理由：文章采用晶體塑性有限元模擬，揭示了NiTi形狀記憶合金（SMA）在400℃罐裝壓縮下的塑性變形機制，將統計存儲位錯（SSD）和幾何必要位錯（GND）密度納入應變梯度的晶體塑性本構模型。在CPFE模擬的基礎上，獲得了織構演化、應力應變場、SSD和GND密度。
其中應力集中主要出現在晶界附近，大應變出現在NiTi多晶體圓柱的核心位置。SSD密度和GND密度以相似的方式表現出不均勻分布。
SSD和GND都聚集在晶界附近。SSD密度隨著塑性應變的增加而增加，而GND密度則隨著塑性應力的增加而降低。
此外，總位錯密度隨著塑性應變的增加而增加。
同時通常計算幾何必須位錯密度應用最為廣泛的便是c3d8單元和cpe4等單元類型，然而對于復雜的晶體模型，使用這類單元往往無法很好的保留晶界特征，或無法完成多晶區域的有限元離散，
而使用三角形和四面體單元可以對任意復雜的模型進行有限元的離散，同時可以保留完整的晶界信息，因此使用這類單元對于晶界相關的力學問題可以減輕奇異性問題，同時也可以更好的捕捉截面處的應力集中
作者的理論模型基于經典的亞彈性本構框架。
為了拓展梯度效應引入了GND導致的應變硬化，滑移阻力的演化表示為
為了更好的描述晶界，并對多晶進行離散，作者使用的的單元類型為C3D4，對應的雅可比和梯度矩陣分別為：
作者模擬NiTi合金使用的材料參數為：
作者的案例模型
對應的數值結果
根據作者的思路可以編寫對應的二維三角形單元和三維的四面體單元對應的應變梯度晶體塑性模型。
展開 考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型：CMSG-GTN
第三，從建模角度看，將剪切損傷模型與應變梯度塑性耦合，是理解微尺度金屬斷裂行為的一條很有前景的路線。對于后續開展超薄板塑性成形、切邊質量控制以及微尺度損傷本構建模，這篇文章都提供了很有價值的思路.
不過值得指出的是文中引入 cohesive 單元主要用于裂紋路徑的可視化表達，而其插入區域和參數設置并未像 GTN 參數那樣得到充分展開，因此這一部分更適合作為輔助性的裂紋表征手段，而非全文最核心的機理貢獻。
使用作者提出的完整積分框架，并基于顯式vumat實現，同時使用基于損傷變量的單元刪除方案同時引入ALE自適應網格方案可以更好的預測梯度效應。模擬的案例如下：
初始沖壓模型如下：
使用軸對稱單元可以減小模型的網格數量，顯著提高計算效率，因此模擬案例使用CAX4R單元，模型初始尺寸為R=0.015mm，H=0.0048mm，初始網格模型如下圖所示：
采用位移邊界條件加載，初始加載第一步ALE網格如下（網格會根據變形自動調整不同區域密度）：
第一步計算接觸時SSD分布：
第一步計算接觸時GND分布：
在當前幾何模型下GND的量級接近甚至超過SSD，因此會顯著影響應力的演化。
第一步計算接觸時等效應力分布：
應力三軸度分布：
lode角參數分布：
展開 GTN模型文章推薦（二十）
稱Ds為剪切損傷因子，認為塑性應變的累計造成的剪切性能退化。表達式為：
分母表示基體的等效塑性應變，分子則表示為純剪切造成的材料失效應變，剪切損傷演化的速率與應力狀態強相關，具體表現為其演化速率與洛德角和應力三軸度有關，演化的表達式為:
φ表示影響因子（主要受洛德角控制)：
其中 k 是 T? （應力三軸度）為負時的權重，g(θ)表示權重與洛德角相關，表達式為：
θ表示洛德角，表達式為：
作者為了考慮尺寸效應的影響，在材料屈服面演化的過程中引入了MSG理論，其實現可以參考作者的另外的一篇文章《Failure and forming quality study of metallic foil blanking with different punch-die clearances》其實現方法，利用經典的taylor理論，與swift冪律硬化模型相關聯，使得材料的塑性應變硬化與材料微觀層面的位錯密度關聯。通過位錯密度的演化來表現材料的硬化，即：
對于大多數（FCC）金屬，材料的剪切流動應力與拉伸流動應力比值為1：3.06。
總位錯密度分為兩類（幾何必須位錯密度和統計位錯密度）：
應變梯度與幾何必須位錯密度之間存在線性關系，其斜率為burger矢量的大小。
因此作者以應變梯度為橋梁，搭建了材料微觀位錯密度演化與材料屈服面演化的關系，建立了考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型。作者將該理論編寫了umat子程序。其數值實現流程為：
其模型的基本參數共11個，作者還系統討論了GTN模型參數的獲取方法，及參數影響，讀者可以參考原始文獻。
展開 
晶體塑性每日文章推薦（十四）
晶粒尺寸對純金屬和合金的屈服強度和流動應力都有影響，如廣泛接受的的Hall-Patch現象（流動應力和晶粒尺寸的平方根成反比）
關于該現象一個普遍接受的解釋是晶界處位錯的堆積效應，這種效應于晶界類型，位錯類型，晶粒之間取向差密切相關，同時晶界處的應力集中程度也近似的被認為與晶界距離的平方根相關，基于應變梯度塑性理論發展的晶體塑性模型可以較好的展現這種特征，但一些分析認為應變梯度理論模型仍然存在唯象的成分，即長度尺度相關參數的校準存在歧義。
作者關于尺寸相關的晶體塑性模型的主要改進思路為：
本構模型基于經典的亞彈性本構框架：
其中流動方程為：
硬化方程為：
晶粒尺寸形態相關參數的引入：
概念的引入：
晶粒A滑移會導致相鄰晶粒晶界附近的應力上升，其上升程度與晶內區域距離晶界距離有關，由于晶粒之間的取向差，晶界處的應力分布受到影響。這些應力對引發局部塑性的影響可以通過改變臨界分解剪切應力（CRSS）來調整。基于位錯堆積尺寸的局部屈服水平的變化是通過基于晶粒A中的滑移長度和晶粒B中位置處的CRSS之間的關系來改變CRSS來識別的。因此，根據與相鄰晶粒中的晶界相交的進入滑移帶的尺寸，在晶粒內的每個位置處修改CRSS。因此，如果晶粒A的尺寸加倍，盡管預測的不相容應力保持不變，但晶粒B中的CRSS會發生變化，從而使應力梯度的影響更加突出，促進晶粒更早開始屈服。晶粒A和B邊界處較高的不相容應力導致滑移活動增加。
展開 LS-DYNA——等效塑性應變
等效塑性應變
等效塑性應變是一個單調增加的標量值，它是作為變形率張量的塑性分量(Dp)ij的函數遞增計算的。在張量表示法中，表示為：
epspl=integral over time of (depspl)=integral[sqrt(2/3(Dp)ij*(Dp)ij)]*dt
只要材料屈服，即只要應力狀態在屈服面上，等效塑性應變就會增長。
應變張量?
相反，當在*DATABASE_EXTENT_BINARY中設置STRFLG為 1 時，由LS-DYNA寫出的張量應變值不一定是單調增加的，因為它們反映的是當前的 總變形 狀態（彈性+塑性）。在LS-PrePost中顯示繪制 應變張量 ，請單擊Fcomp> Strain。
以張量表示的等效應變為sqrt(2/3(eps)ij*(eps)ij)；（見2006年LS-DYNA理論手冊第461頁）。這與等效塑性應變不是一回事。
其它應變也可以在LS-PrePost中進行繪制顯示：
FCOMP>Infin；（無窮小或工程應變）
FCOMP>Green
FCOMP>Almansi
等效應力，也稱為馮-米塞斯應力，定義如下：
sigvm=1/sqrt(2)*sqrt[(sigx-sigy)^2+(sigy-sigz)^2+(sigz-sigx)^2+6*sigxy^2+6*sigyz^2+6*sigzx^2]
展開 等效塑性應變為什么為0
為什么我輸出的等效塑性應變一直是0啊
IJP：非均相多晶體中尺寸相關的微孔生長
同時還發現，材料強度的尺寸效應可能來源于與幾何必需位錯(GNDs)相關的應變梯度。另一方面，不同的SG塑性理論相繼被發展出來(研究微米/亞微米尺度的一些力學問題)，這些理論有效地結合了統計存儲位錯(SSDs)和幾何必需位錯(GNDs)。
大多數關于尺寸依賴微孔生長的研究都是在單晶或均勻基體進行的，然而，大多數韌性金屬材料呈現非均相多晶微結構，它們的晶粒通常表現出不規則的形狀和隨機的晶體方向。微孔生長具有較強的尺寸效應，即越小的微孔生長速率越低。韌性金屬材料的斷裂通常受微孔洞的形核、生長和最終聚結所控制，由于孔洞生長階段通常在韌性斷裂過程中起著至關重要的作用，系統研究韌性金屬材料內部孔洞生長機制對理解韌性金屬材料的損傷演化具有重要意義。非均相多晶體中微孔生長的尺寸依賴問題，除了微孔尺寸外，晶粒尺寸和微孔與晶粒的尺寸比是另外兩個重要的特征長度。前者可導致材料強度的晶粒尺寸效應，即著名的Hall- Petch關系，后者可誘導微孔洞周圍的晶粒尺度不均一變形效應。
華中科技大學的Jianqiu Liu等人采用經典的局部和非局部應變梯度晶體塑性有限元模擬方法研究了非均質多晶中尺寸相關的微孔生長, 采用局部CP理論和非局部CP理論描述了典型面心立方(FCC)多晶銅的應力應變響應。結果表明，孔隙-晶粒尺寸比和絕對微孔尺寸對微孔生長均有顯著影響，分別為第一類(由晶粒尺度非均質變形引起)和第二類(由塑性應變梯度引起)尺寸效應。此外，宏觀應力三軸度T對微孔生長的尺寸效應有顯著影響，而Lode參數L的影響可以忽略不計。由于晶粒取向分布和晶粒幾何特征的隨機性，在多晶環境中，小微孔生長的速度甚至可能比大微孔生長的速度快，這意味著在多晶環境中，微孔生長的尺寸效應應該從統計學的角度來理解。
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