幾何傅里葉變換的案例
幾何傅里葉變換
Frank Wyrowski* and Christian Hellmann**
*Applied Computational Optics Group, Institut fur Angewandte Physik, Friedrich-Schiller-Universitat Jena
**Wyrowski Photonics UG
mailto:frank.wyrowski@uni-jena.de
在系統(tǒng)的不同平面上，電磁場(chǎng)分量的傅里葉變換是連接空間域和k域的物理光學(xué)建模中的頻繁操作。我們介紹一個(gè)場(chǎng)所謂的幾何區(qū)域，在該區(qū)域中傅里葉變換可以在不進(jìn)行積分的情況下得到，總之是以非常有效的數(shù)值方式得到。在幾何場(chǎng)域中，場(chǎng)由波前相位控制，因此允許我們將穩(wěn)定相位的概念應(yīng)用于傅里葉變換積分，我們將所得到的傅里葉變換算法稱為幾何傅立葉變換，這項(xiàng)技術(shù)被證明是快速物理光學(xué)的基礎(chǔ)支柱。
1.光學(xué)傅立葉變換
在物理光學(xué)中，我們處理電磁場(chǎng)的六個(gè)復(fù)數(shù)場(chǎng)分量（分別為E和H）。在空間域，他們表示為
其中 ，傅立葉變換到k域定義為
（2）
其中，我們使用符號(hào)
(3)
方程2中積分的數(shù)值評(píng)估需要對(duì)a和k域中的場(chǎng)進(jìn)行取樣，我們用N表示采樣點(diǎn)的數(shù)量，所得的離散傅里葉變換構(gòu)成了N2運(yùn)算。然而快速傅里葉變換（FFT）算法在N中是線性的，這在原理上使快速物理光學(xué)建模成為可能，但FFT需要的采樣。在光學(xué)中，我們通常有強(qiáng)梯度的相位函數(shù)，從而導(dǎo)致很大的N值，只有在十分對(duì)稱的光學(xué)系統(tǒng)中，N才可以很小。因此，盡管FFT在N中是線性的，但是我們很容易在光學(xué)上遇到N太大而不能進(jìn)行快速計(jì)算傅里葉變換的問(wèn)題，這是快速物理光學(xué)概念的嚴(yán)重阻礙。
展開 [VirtualLab] 幾何傅里葉變換
一般來(lái)說(shuō)，我們有，幾何傅里葉變換的數(shù)值主要基于 中的線性運(yùn)算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來(lái)說(shuō)就是這種情況。
對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來(lái)處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[3]，例如古伊相移就是用這個(gè)概念來(lái)研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域
我們來(lái)考慮平面z中的一個(gè)場(chǎng)，它可以通過(guò)幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)指定）進(jìn)行變換。那么我們說(shuō)該平面位于幾何區(qū)域（GFZ），否則場(chǎng)在其衍射區(qū)（DFZ） 。自然地，衍射場(chǎng)區(qū)域位于焦點(diǎn)區(qū)域附近，而GFZ出現(xiàn)在距焦點(diǎn)區(qū)域較遠(yuǎn)處。如果場(chǎng)進(jìn)一步傳播，則可達(dá)到形成幾何區(qū)域子集的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)。在幾何區(qū)域中，我們不限制波前相位 ，這意味著我們也包括像差。如果幾何傅立葉變換為球面的 提供準(zhǔn)確的結(jié)果，則已經(jīng)達(dá)到遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域，如表1中概括。對(duì)于一個(gè)衍射受限場(chǎng)，幾何場(chǎng)和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)是相同的，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，在每個(gè)平面上，場(chǎng)的區(qū)域特征可以通過(guò)幾何傅里葉變換來(lái)研究，這構(gòu)成了一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)概念。事實(shí)證明，在場(chǎng)的幾何區(qū)域中的物理光學(xué)建模可以很快地執(zhí)行，因?yàn)閿?shù)值上其主要涉及相對(duì)較小的波前相位樣本數(shù)量 。
表1 場(chǎng)域的定義
參考文獻(xiàn)
[1] Z. Wang, S. Zhang, and F. Wyrowski, "The semi-analytical Fast Fouruer Transform," in Proc. DGaO, vol. 118, p.
展開 幾何傅里葉變換.
在光學(xué)中，當(dāng)場(chǎng)不在苛性區(qū)時(shí)，通常滿足這種條件，穩(wěn)定相位的概念也揭示出來(lái)
(8)
由φ(p)的勒讓變換
(9)
復(fù)函數(shù)
(10)
權(quán)重因子取決于φ(p)的二階導(dǎo)數(shù)，該結(jié)果通過(guò)將空間域中的場(chǎng)值映射到具有附加權(quán)重因子的k域來(lái)表示傅里葉變換，其僅作為映射本身而依賴于波前相位。因此，傅里葉變換主要執(zhí)行場(chǎng)分布的幾何畸變，我們稱之為幾何傅里葉變換。
我們已經(jīng)開發(fā)了一個(gè)數(shù)值算法來(lái)執(zhí)行幾何傅里葉變換。它利用場(chǎng)的混合采樣。相比于函數(shù) ，波前相位φ(p)本身可以通過(guò)少量N(φ)的非等距分布值而參數(shù)化。樣條插值的節(jié)點(diǎn)是可能的候選項(xiàng)。
而且，我們必須用等距分布的采樣點(diǎn)N(U)來(lái)處理函數(shù)U(p)的采樣。一般來(lái)說(shuō)，我們有，幾何傅里葉變換的數(shù)值主要基于 中的線性運(yùn)算，因此速度非常快；N(U)中U值的智能包也可以快速完成，V的采樣可以完全避免。總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來(lái)說(shuō)就是這種情況。
對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來(lái)處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。它在VirtualLab Fusion的第二代技術(shù)更新中得以實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成了其快速物理光學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)[3]，例如古伊相移就是用這個(gè)概念來(lái)研究的[4]。
3 衍射、幾何和遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域
我們來(lái)考慮平面z中的一個(gè)場(chǎng)，它可以通過(guò)幾何傅立葉變換以足夠的精度（由質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)來(lái)指定）進(jìn)行變換。那么我們說(shuō)該平面位于幾何區(qū)域（GFZ），否則場(chǎng)在其衍射區(qū)（DFZ） 。自然地，衍射場(chǎng)區(qū)域位于焦點(diǎn)區(qū)域附近，而GFZ出現(xiàn)在距焦點(diǎn)區(qū)域較遠(yuǎn)處。
展開 [VirtualLab] 電磁場(chǎng)幾何和衍射理論的統(tǒng)一
如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡(jiǎn)單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過(guò)選擇合適的傅里葉變化來(lái)模擬這個(gè)效應(yīng)，這在圖1中通過(guò)第一個(gè)B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場(chǎng)傳播通過(guò)兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對(duì)場(chǎng)的影響可以通過(guò)有限元法（FEM）來(lái)計(jì)算，但是對(duì)于大多數(shù)情況來(lái)說(shuō)，數(shù)值計(jì)算成本太高。如果表面的結(jié)構(gòu)不是很小，在大多數(shù)實(shí)際情況中通過(guò)所謂的局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場(chǎng)的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計(jì)算。圖2比較了正弦表面光柵時(shí)FMM和LPIA的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示LPIA對(duì)該效應(yīng)預(yù)測(cè)的很好，即使是表面上非常小的特征。事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計(jì)算公式3中B(k,k')包括矢量效應(yīng)（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡(jiǎn)化特例。盡管LPIA可以計(jì)算雙向算子，我們?nèi)匀恍枰M(jìn)行公式3中大量的數(shù)值積分計(jì)算。這導(dǎo)致了LPIA和幾何傅里葉變換的結(jié)合[3]。如果我們假設(shè)輸入場(chǎng)和輸出場(chǎng)在它們的幾何場(chǎng)域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積，其中包括了坐標(biāo)變換k(k')。根據(jù)幾何傅里葉變換理論，這個(gè)變換由輸入場(chǎng)的波陣面相位計(jì)算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實(shí)現(xiàn)。如果場(chǎng)處于其幾何或衍射區(qū)域，則可以在任何平面進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。根據(jù)結(jié)果，應(yīng)用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應(yīng)用了B算子。這造成了基于純數(shù)學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應(yīng)用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數(shù)值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻(xiàn)
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C.
展開 
電磁場(chǎng)幾何和衍射理論的統(tǒng)一
如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡(jiǎn)單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過(guò)選擇合適的傅里葉變化來(lái)模擬這個(gè)效應(yīng)，這在圖1中通過(guò)第一個(gè)B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場(chǎng)傳播通過(guò)兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對(duì)場(chǎng)的影響可以通過(guò)有限元法（FEM）來(lái)計(jì)算，但是對(duì)于大多數(shù)情況來(lái)說(shuō)，數(shù)值計(jì)算成本太高。如果表面的結(jié)構(gòu)不是很小，在大多數(shù)實(shí)際情況中通過(guò)所謂的局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場(chǎng)的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計(jì)算。圖2比較了正弦表面光柵時(shí)FMM和LPIA的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示LPIA對(duì)該效應(yīng)預(yù)測(cè)的很好，即使是表面上非常小的特征。事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計(jì)算公式3中B(k,k')包括矢量效應(yīng)（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡(jiǎn)化特例。盡管LPIA可以計(jì)算雙向算子，我們?nèi)匀恍枰M(jìn)行公式3中大量的數(shù)值積分計(jì)算。這導(dǎo)致了LPIA和幾何傅里葉變換的結(jié)合[3]。如果我們假設(shè)輸入場(chǎng)和輸出場(chǎng)在它們的幾何場(chǎng)域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積，其中包括了坐標(biāo)變換k(k')。根據(jù)幾何傅里葉變換理論，這個(gè)變換由輸入場(chǎng)的波陣面相位計(jì)算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實(shí)現(xiàn)。如果場(chǎng)處于其幾何或衍射區(qū)域，則可以在任何平面進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。根據(jù)結(jié)果，應(yīng)用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應(yīng)用了B算子。這造成了基于純數(shù)學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應(yīng)用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數(shù)值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻(xiàn)
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C.
展開 電磁場(chǎng)幾何和衍射理論的統(tǒng)一
如果我們考慮Hirchhoff邊界條件下的孔徑效應(yīng)，空間域中算子B則變成簡(jiǎn)單的因子形式，繼而我們可以在x域中通過(guò)選擇合適的傅里葉變化來(lái)模擬這個(gè)效應(yīng)，這在圖1中通過(guò)第一個(gè)B算子解釋了。當(dāng)然光學(xué)的主要任務(wù)是研究電磁場(chǎng)傳播通過(guò)兩種介質(zhì)間的一般表面，例如透鏡模型。
3.幾何算子
一般表面對(duì)場(chǎng)的影響可以通過(guò)有限元法（FEM）來(lái)計(jì)算，但是對(duì)于大多數(shù)情況來(lái)說(shuō)，數(shù)值計(jì)算成本太高。如果表面的結(jié)構(gòu)不是很小，在大多數(shù)實(shí)際情況中通過(guò)所謂的局部平面近似（LPIA）方法計(jì)算B算子可以得到足夠的精度[5]。在這種近似中，電磁場(chǎng)的邊界條件利用分層介質(zhì)的已知解進(jìn)行局部計(jì)算。圖2比較了正弦表面光柵時(shí)FMM和LPIA的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果顯示LPIA對(duì)該效應(yīng)預(yù)測(cè)的很好，即使是表面上非常小的特征。事實(shí)上，我們發(fā)現(xiàn)LPIA是計(jì)算公式3中B(k,k')包括矢量效應(yīng)（公式2）的有力手段。需要注意的是，著名的薄元近似（TEA）方法是LPIA的簡(jiǎn)化特例。盡管LPIA可以計(jì)算雙向算子，我們?nèi)匀恍枰M(jìn)行公式3中大量的數(shù)值積分計(jì)算。這導(dǎo)致了LPIA和幾何傅里葉變換的結(jié)合[3]。如果我們假設(shè)輸入場(chǎng)和輸出場(chǎng)在它們的幾何場(chǎng)域，它們遵循幾何傅里葉變換理論
(4)
公式3中的積分再一次簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的乘積，其中包括了坐標(biāo)變換k(k')。根據(jù)幾何傅里葉變換理論，這個(gè)變換由輸入場(chǎng)的波陣面相位計(jì)算得到。我們將公式4中的算子稱為幾何算子。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)于VirtualLab Fusion中實(shí)現(xiàn)。如果場(chǎng)處于其幾何或衍射區(qū)域，則可以在任何平面進(jìn)行數(shù)值測(cè)試。根據(jù)結(jié)果，應(yīng)用了不同的傅里葉變換，也以不同的方式應(yīng)用了B算子。這造成了基于純數(shù)學(xué)論證的衍射和幾何模型自然而然地應(yīng)用。建模始終完全基于物理光學(xué)并在數(shù)值效率方面進(jìn)行了優(yōu)化。
參考文獻(xiàn)
[1] M. Kuhn, F. Wyrowski, and C.
展開 非序列配置：如何使用光線追跡和場(chǎng)追跡的仿真設(shè)置
仿真設(shè)置概覽
以下將更詳細(xì)地解釋模擬設(shè)置：
總精度(第二代場(chǎng)追跡)
1 采樣精度
2 傅里葉變換精度
非序列光線/場(chǎng)追跡
3 能量閾值
4 最大級(jí)
5 通道分辨率精度
6 僅顯示在3D視圖中入射探測(cè)器的路徑
1. 采樣精度
? 采樣精度是一個(gè)用于在追跡期間控制光場(chǎng)信息準(zhǔn)確性的參數(shù)。
? 可以通過(guò)增加采樣精度因子來(lái)克服出現(xiàn)的意外人為現(xiàn)象。
2. 傅里葉變換精度
? 在VirtualLab中有幾個(gè)傅立葉變換算法。
? 根據(jù)場(chǎng)是位于其衍射區(qū)域還是幾何區(qū)域自動(dòng)選擇。
? 小的傅里葉變換精確度（例如0.01）迫使全局使用幾何傅里葉變換，其特點(diǎn)在于比衍射變換快得多。
? 另外，每個(gè)探測(cè)器都可以單獨(dú)強(qiáng)制使用幾何傅里葉變換。
? 可以通過(guò)在相應(yīng)檢測(cè)器的編輯對(duì)話框中激活“檢測(cè)器參數(shù)”選項(xiàng)卡下的“假設(shè)幾何場(chǎng)區(qū)域用于檢測(cè)器評(píng)估”復(fù)選框來(lái)選擇此項(xiàng)。
3. 能量閾值(非序列光線\光場(chǎng)追跡)
? 能量閾值是非序列追跡引擎的停止標(biāo)準(zhǔn)。
? 對(duì)于光能低于能量閾值的每一個(gè) 非序列光路，沿著路徑的光追跡將不做處理。
能量閾值：方案說(shuō)明
? 遇到玻璃板時(shí)透射和反射光能的示例性說(shuō)明。
? 在剩余能量達(dá)到可以忽略的水平之前，通常不需要很多反射。
? 在全反射的情況下，當(dāng)然應(yīng)該考慮許多相互作用。
? 下面顯示了能量閾值影響的一個(gè)例子。
? 就本例而言，入射角為30°的平面波通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)具的傳播。
? 能量閾值越小，追跡的路徑越多。
4. 最高級(jí)別(非序列光線\光場(chǎng)追跡)
? 最高級(jí)別是非序列追跡引擎的停止標(biāo)準(zhǔn)。
展開 傅里葉變換光譜儀
傅里葉變換光譜儀
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個(gè)平移反射鏡來(lái)產(chǎn)生干涉圖樣的光學(xué)儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測(cè)量速度、分辨率的提升和簡(jiǎn)潔的機(jī)械結(jié)構(gòu)性[1]，F(xiàn)TS方法通常優(yōu)于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復(fù)雜。在本案例中，在FRED中將會(huì)使用一個(gè)嵌入式腳本來(lái)創(chuàng)建和運(yùn)行FTS模型。將會(huì)使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡(jiǎn)化過(guò)程，使用一個(gè)理想的點(diǎn)光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細(xì)的擴(kuò)展光源、真實(shí)的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實(shí)際的分析。
圖1 簡(jiǎn)單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個(gè)點(diǎn)光源、理想透鏡和具有可移動(dòng)反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來(lái)自光源的準(zhǔn)直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個(gè)固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個(gè)平移反射鏡（藍(lán)色）。來(lái)自兩個(gè)路徑的光經(jīng)過(guò)分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測(cè)器處測(cè)量。
FRED模型的第一步是創(chuàng)建一個(gè)相干的點(diǎn)光源對(duì)象。接著，創(chuàng)建一個(gè)光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導(dǎo)入、圖片的數(shù)字化取樣或者由特定的函數(shù)（高斯或黑體）計(jì)算得到。使用FRED“l(fā)ens Module”表面類型構(gòu)成的“自定義元件”對(duì)象，可以創(chuàng)建理想透鏡，透鏡位于距離點(diǎn)光源10mm處。“l(fā)ens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來(lái)，使用與準(zhǔn)直光束成45度角的平面表面創(chuàng)建理想分束表面。創(chuàng)建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應(yīng)用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規(guī)格。
展開 [NEWSLETTER] 傅里葉變換光譜儀
傅里葉變換光譜法是一種光學(xué)計(jì)量方法，可用于用邁克爾遜干涉儀測(cè)量光源的光譜，是一種眾所周知的技術(shù)，通常用于從研究空氣或水質(zhì)到藥物分析的廣泛應(yīng)用。
為了幫助光學(xué)設(shè)計(jì)師了解在這些設(shè)備中可以發(fā)揮作用的所有效果，快速物理光學(xué)軟件VirtualLab Fusion提供了所有必要的工具，可以在這些系統(tǒng)中進(jìn)行全面?zhèn)鞑ァ＿@自然包括在探測(cè)器平面上發(fā)生的所有相干和干涉效應(yīng)。此外，通過(guò)我們新的探測(cè)器附加組件，用戶可以訪問(wèn)所有感興趣的物理量，如輻照度或輻射通量。
請(qǐng)查看下面的鏈接，找到一個(gè)通過(guò)邁克爾遜干涉儀研究多色源的時(shí)間相干長(zhǎng)度的例子，以及我們的探測(cè)器附加組件的一些完整文檔。
利用邁克爾遜干涉儀和傅里葉變換光譜進(jìn)行相干測(cè)量
研究表明，在具有一定帶寬光源的邁克爾遜干涉儀中，當(dāng)光程差變化時(shí)，條紋對(duì)比度會(huì)發(fā)生變化。
通用探測(cè)器
本用例介紹了通用探測(cè)器，它允許在VirtualLab Fusion中評(píng)估和輸出電磁場(chǎng)的任何信息。此外，它能夠通過(guò)使用非常靈活的內(nèi)置或定制插件來(lái)進(jìn)一步評(píng)估入射光的信息，以計(jì)算任何物理量、輻射量或光度。
展開 12基于MATLAB的短時(shí)傅里葉變換( STFT),連續(xù)小波變換( CWT),程序已調(diào)通 ￥40
基于MATLAB的短時(shí)傅里葉變換( STFT),連續(xù)小波變換( CWT),程序已調(diào)通，可以直接運(yùn)行。
傅里葉變換光譜儀
簡(jiǎn)介
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個(gè)平移反射鏡來(lái)產(chǎn)生干涉圖樣的光學(xué)儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測(cè)量速度、分辨率的提升和簡(jiǎn)潔的機(jī)械結(jié)構(gòu)性[1]，F(xiàn)TS方法通常優(yōu)于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復(fù)雜。在本案例中，在FRED中將會(huì)使用一個(gè)嵌入式腳本來(lái)創(chuàng)建和運(yùn)行FTS模型。將會(huì)使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡(jiǎn)化過(guò)程，使用一個(gè)理想的點(diǎn)光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細(xì)的擴(kuò)展光源、真實(shí)的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實(shí)際的分析。
圖1 簡(jiǎn)單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個(gè)點(diǎn)光源、理想透鏡和具有可移動(dòng)反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來(lái)自光源的準(zhǔn)直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個(gè)固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個(gè)平移反射鏡（藍(lán)色）。來(lái)自兩個(gè)路徑的光經(jīng)過(guò)分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測(cè)器處測(cè)量。
FRED模型的第一步是創(chuàng)建一個(gè)相干的點(diǎn)光源對(duì)象。接著，創(chuàng)建一個(gè)光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導(dǎo)入、圖片的數(shù)字化取樣或者由特定的函數(shù)（高斯或黑體）計(jì)算得到。使用FRED“l(fā)ens Module”表面類型構(gòu)成的“自定義元件”對(duì)象，可以創(chuàng)建理想透鏡，透鏡位于距離點(diǎn)光源10mm處。“l(fā)ens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來(lái)，使用與準(zhǔn)直光束成45度角的平面表面創(chuàng)建理想分束表面。創(chuàng)建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應(yīng)用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規(guī)格。如果指定一個(gè)單一波長(zhǎng)，則涂層將同樣適用于光源的所有波長(zhǎng)。
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傅里葉變換設(shè)置——實(shí)例討論
在本文中，我們將通過(guò)不同實(shí)例的討論來(lái)示范如何對(duì)VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進(jìn)行設(shè)置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對(duì)于不同數(shù)值計(jì)算，一種標(biāo)準(zhǔn)而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無(wú)需近似的高效重構(gòu)。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點(diǎn)傅里葉變換(PSF)
- 受靜態(tài)相位理論啟發(fā)的一種近似方法，但采用純粹的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)。
- 對(duì)強(qiáng)波前相位是一種高效而精準(zhǔn)的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅立葉變換設(shè)置
- 對(duì)于每個(gè)元件和探測(cè)器，都可以使用 “傅立葉變換”選項(xiàng)卡。
- VirtualLab Fusion自動(dòng)選擇所有激活的傅立葉變換選項(xiàng)；不選擇未激活的選項(xiàng)。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過(guò)程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復(fù)雜通道配置的情況)
4. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅里葉變換設(shè)置
?
5. 默認(rèn)的傅里葉變換設(shè)置
? 光源模式和探測(cè)器的設(shè)置
- 對(duì)于光源模式和探測(cè)器，默認(rèn)情況下將激活所有三個(gè)傅里葉變換選項(xiàng)。
- 在特殊情況下，對(duì)于光源模式或探測(cè)器而言，衍射可能無(wú)關(guān)緊要。
展開 FRED案例展示：傅里葉變換光譜儀
簡(jiǎn)介
傅里葉變換光譜儀（FTS）是利用干涉儀與一個(gè)平移反射鏡來(lái)產(chǎn)生干涉圖樣的光學(xué)儀器。干涉圖的傅里葉變換提供了光源的頻譜。由于FTS提高了測(cè)量速度、分辨率的提升和簡(jiǎn)潔的機(jī)械結(jié)構(gòu)性[1]，F(xiàn)TS方法通常優(yōu)于單色儀。在FRED中模擬FTS并不復(fù)雜。在本案例中，在FRED中將會(huì)使用一個(gè)嵌入式腳本來(lái)創(chuàng)建和運(yùn)行FTS模型。將會(huì)使用該模型分析三種不同的光譜。
在FRED中建立光譜儀
為了簡(jiǎn)化過(guò)程，使用一個(gè)理想的點(diǎn)光源、理想的透鏡和理想的分束表面（圖1）。詳細(xì)的擴(kuò)展光源、真實(shí)的鏡頭、分束器或線柵分束器可以納入其中使之用于更加實(shí)際的分析。
圖1 簡(jiǎn)單的傅里葉變換光譜儀模型，由一個(gè)點(diǎn)光源、理想透鏡和具有可移動(dòng)反射鏡的邁克爾遜干涉儀組成。來(lái)自光源的準(zhǔn)直光束被送入到50/50的分束器上。反射光傳播到一個(gè)固定的反射鏡（綠色），透射光傳播到一個(gè)平移反射鏡（藍(lán)色）。來(lái)自兩個(gè)路徑的光經(jīng)過(guò)分束器后重新組合，收集到的能量在（黑色）探測(cè)器處測(cè)量。
FRED模型的第一步是創(chuàng)建一個(gè)相干的點(diǎn)光源對(duì)象。接著，創(chuàng)建一個(gè)光譜并分配給光源。光譜可以從文本文件導(dǎo)入、圖片的數(shù)字化取樣或者由特定的函數(shù)（高斯或黑體）計(jì)算得到。使用FRED“l(fā)ens Module”表面類型構(gòu)成的“自定義元件”對(duì)象，可以創(chuàng)建理想透鏡，透鏡位于距離點(diǎn)光源10mm處。“l(fā)ens Module”表面具有10mm的焦距和5mm的半孔徑。接下來(lái)，使用與準(zhǔn)直光束成45度角的平面表面創(chuàng)建理想分束表面。創(chuàng)建了自定義“50/50”分束涂層（圖2）并應(yīng)用到該表面。
圖2 自定義50/50分束涂層規(guī)格。如果指定一個(gè)單一波長(zhǎng)，則涂層將同樣適用于光源的所有波長(zhǎng)。
系統(tǒng)中的兩個(gè)反射鏡是通過(guò)兩個(gè)FRED的“Mirror”對(duì)象，它們都具有“反射”涂層和“反射所有”光線追跡控件。
展開 [VirtualLab] 傅里葉變換設(shè)置——實(shí)例討論
在本文中，我們將通過(guò)不同實(shí)例的討論來(lái)示范如何對(duì)VirtualLab Fusion中有三種傅里葉變換算法進(jìn)行設(shè)置。
2. 三種傅里葉變換
? 快速傅里葉變換(FFT)
- 對(duì)于不同數(shù)值計(jì)算，一種標(biāo)準(zhǔn)而高效的算法。
? 半解析傅里葉變換(SFT)
- 一種無(wú)需近似的高效重構(gòu)。
- 二次相的解析處理，類似chirp-z變換。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 27, 15335-15350 (2019)
? 逐點(diǎn)傅里葉變換(PSF)
- 受靜態(tài)相位理論啟發(fā)的一種近似方法，但采用純粹的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)。
- 對(duì)強(qiáng)波前相位是一種高效而精準(zhǔn)的方法。
- 了解更多Z. Wang, et al., Opt. Express 28, 10552-10571 (2020)
3. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅立葉變換設(shè)置
- 對(duì)于每個(gè)元件和探測(cè)器，都可以使用 “傅立葉變換”選項(xiàng)卡。
- VirtualLab Fusion自動(dòng)選擇所有激活的傅立葉變換選項(xiàng)；不選擇未激活的選項(xiàng)。
- 傅立葉變換的組合影響自由空間中向前傳播過(guò)程的建模。(這意味著不僅適用于元件前面的自由空間——它也適用于具有復(fù)雜通道配置的情況)
4. 每個(gè)元件的設(shè)置
? 傅里葉變換設(shè)置
?
5. 默認(rèn)的傅里葉變換設(shè)置
? 光源模式和探測(cè)器的設(shè)置
- 對(duì)于光源模式和探測(cè)器，默認(rèn)情況下將激活所有三個(gè)傅里葉變換選項(xiàng)。
- 在特殊情況下，對(duì)于光源模式或探測(cè)器而言，衍射可能無(wú)關(guān)緊要。
展開 半解析快速傅里葉變換
我們提出了一種處理傅里葉變換的方法，其并不需要二次多項(xiàng)式相位項(xiàng)的抽樣，而是用解析的方法處理。我們提出該理論的同時(shí)也給出了幾個(gè)例子證明其潛力。
1.簡(jiǎn)介
物理光學(xué)建模需要頻繁地從空間轉(zhuǎn)換到角頻域，反之亦然。這可以由電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量的傅里葉變換得到。所以，快速傅里葉變換（FFT）算法成了快速物理光學(xué)建模的支柱[1]。FFT技術(shù)的數(shù)值計(jì)算量與場(chǎng)分量復(fù)振幅所需采樣點(diǎn)的數(shù)量近似成線性關(guān)系。在光學(xué)中，我們經(jīng)常處理有強(qiáng)波陣面相位的場(chǎng)分量，例如：球形。但是由于2π模，平滑的波陣面相位的復(fù)抽樣導(dǎo)致了大量的數(shù)值計(jì)算工作，甚至在FFT中也是如此。
2.理論
2.1 場(chǎng)的表征：提取二次相位
我們從空間域的符號(hào)開始，在本文中我們使用符號(hào)對(duì)應(yīng)6個(gè)場(chǎng)分量，也就是V = (E, H)：
(1)
在公式1中，我們假設(shè)場(chǎng)有兩部分：衍射場(chǎng)和一個(gè)平滑的波陣面相位exp(iψ(ρ))。對(duì)于得到的結(jié)果，我們從波陣面相位中提取二次相位exp(iψ(ρ))并且將余下的部分認(rèn)為是余項(xiàng)場(chǎng)。假設(shè)exp(iψ(ρ))可由其實(shí)數(shù)系數(shù)C和D = (Dx, Dy)給出：
(2)
顯然，在強(qiáng)二次相位情況中，全場(chǎng)比余項(xiàng)場(chǎng)需要更多的抽樣量。所以，我們的目標(biāo)是通過(guò)FFT且無(wú)二次相位項(xiàng)exp(iψ(ρ))抽樣的情況下，計(jì)算V?(ρ)的傅里葉變換。
2.2.半解析傅里葉變換
從卷積定理可知：
(3)
通常來(lái)說(shuō)，項(xiàng)必須進(jìn)行數(shù)值計(jì)算處理。另一方面，從數(shù)學(xué)角度[2]我們可知：
(4)
適用于任何復(fù)，只要R{a} ≥ 0且a ≠ 0。
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