赫茲公式
關注創建者：匿名 創建時間：2021-08-27
赫茲公式的實例教程
首先，更正個錯誤：在上一篇公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計算公式出現了錯誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計算公式如下：
在上一篇公眾號中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計算方法及其有限元計算方法。我們發現：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計算出的赫茲接觸應力（壓力）與使用赫茲公式計算出的應力結果幾乎完全一致；接觸面半寬的計算結果誤差也在可接受的范圍之內。今天，我們一起討論下球體的赫茲接觸計算方法及ANSYS實現。
我們以兩個直徑為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
球體為例，假設外載F=1000N，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半徑和最大接觸應力：
一、基于赫茲公式的計算：
同樣，對于赫茲公式的計算，筆者編了一個簡單的Python小程序，程序代碼如下：
根據計算結果我們發現，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.5546mm，遠小于接觸物體的結構尺寸，因此
符合赫茲公式的假設。
二、基于ANSYS軟件的計算：
使用ANSYS計算時，只需要在公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現》基礎上，做如下修改即可：
Step1
平面分析設置修改
將Step5中的2D Behavior修改成Axisymmetric（軸對稱）。
Step2
刪除軸對稱設置
將Step6中的軸對稱設置刪除。
展開 赫茲公式也是基于一定的假設，其作出的假設如下：
用a表示接觸區的有效尺寸，用ρ表示曲率半徑，用R表示每個物體的有效半徑，用l表示物體橫向和深度兩方面的有效尺寸，則赫茲理論中做出的假設可以簡單表述成：
1. 表面都是連續的，并且是非協調的：a〈〈 ρ；
2. 接觸尺寸遠小于接觸物體尺寸；
3. 小應變；
4. 每個接觸物體都是線彈性的，服從胡克定律；
5. 接觸物體間摩擦力為0。
為了對赫茲公式的計算結果和ANSYS的計算結果進行對比，我們選擇以兩橫截面直徑為100mm、b為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
長圓柱體為例，假設外載F=20kN，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半寬和最大接觸應力：
一、基于赫茲公式的計算：
為了計算方便，此處筆者將赫茲公式編制成了一個簡單的Python小程序，代碼及計算結果如下：
根據計算結果我們發現，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.2407mm，遠小于接觸物體的結構尺寸，因此
符合赫茲公式的假設。
二、基于ANSYS軟件的計算：
使用ANSYS求解該問題時，我們從以下幾個方面入手：
1. 確定分析類型：根據例題所示結構，確定分析類型為
靜力學分析；
2. 確定單元類型：
兩長圓柱體的分析計算，為了降低計算量，可使用1/4的平面應變模型計算（具體選用規則請看本公眾號
《ANSYS與材料力學之軸向拉伸和壓縮（二）》
）。
展開 對兩個彈性體接觸處應力狀態的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。
1.赫茲彈性接觸理論
1.1.假設條件
1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；
2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計（即作用力與接觸面垂直）；
3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區的尺寸遠小于物體的尺寸；
4）小應變。
1.2.應用的三個基本原理
1.2.1.變形方程
1）點接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；
2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；
3）兩個接觸物體的變形符合變形連續條件。
1.2.2.物理方程
由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應力的變化規律與接觸體的應變成線性關系，在應變最大的接觸表面中心壓應力最大。Hertz假設接觸表面的壓應力分布為半橢圓體。
1.2.3.靜力平衡方程
根據接觸表面壓應力分布規律求得表面接觸壓力所組成的合力應等于外加載荷。
1.3.赫茲接觸應力公式
1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.2.圓形點接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）
平均接觸應力，
最大接觸應力，
2.典型接觸物體計算公式
2.1.圓形點接觸
2.1.1.接觸面半寬
2.1.2.最大接觸應力
平均接觸應力為F/πc2；最大接觸應力為平均接觸應力的1.5倍。
平面與球接觸時，取平面曲率半徑為無窮大。圓球與凹球接觸時，將凹球曲率半徑取為負值。
由以上兩式可見，最大接觸壓應力與載荷不是線性關系，而是與載荷的立方根成正比。
展開 1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發生的彈性變形。他假設：
① 接觸區發生小變形。
② 接觸面呈橢圓形。
③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。
凡滿足以上假設的接觸稱為赫茲接觸。當接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區附近的變形受周圍介質的強烈約束，因而各點處于三向應力狀態，且接觸應力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應力與外加壓力呈非線性關系，并與材料的彈性模量和泊松比有關。
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問題描述
圖1 兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布
軸線平行的兩圓柱體接觸時，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點的壓力按半橢圓規律分布。
最大單位壓力：
由赫茲公式知：
代入上式得：
若兩圓柱體均為鋼時，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0.3，取則接觸應力為：
本例將用有限元分析的方法，計算兩圓柱體的接觸應力，并與赫茲接觸理論計算值進行對比，驗證有限元計算的仿真方法。
展開 根據赫茲公式，齒輪在嚙合時，理論上是線嚙合，但由于材料的彈性變形是有一定寬度的，為簡化計算，根據應力σ=F/(Sb)(其中，S 為接觸線長度，b為變形后接觸線寬度)可以計算出變形后的嚙合線寬度。常用蝸輪材料ZCuSn10P1的屈服應力σs=375MPa，材料變形后的σ=0.8σs，接觸線長度S=60mm，考慮到嚙合的復雜性及蝸輪材料在變形后應力取值的局限性，計算得到單齒面嚙合線寬度b=0.4mm。
微晶合金材料LZA3805制成的蝸輪屈服應力σs=430MPa，材料變形后σ=0.8σs，接觸線長度S=60mm，計算得到單齒面嚙合線寬度b=0.28mm。進行有限元網格劃分，應用COSMOSWorks分析軟件對蝸輪受拉側進行分析，相同條件下常用蝸輪材料ZCuSn10P1和微晶合金材料蝸輪的應力云圖如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可見，在相同的工作環境下，施加20kN 同樣大小的載荷，普通蝸輪材料的屈服應力值為275.7MPa，微晶合金蝸輪材料的屈服應力值僅為55.15MPa，極大地提高了傳動的效率以及穩定性。
3 結論
(1)根據分析結果可知，在同等條件下蝸輪采用微晶合金變形比常用材料小。
(2)微晶合金蝸輪可以應用到要求更苛刻的機械傳動領域，可以傳遞更大的扭矩。
(3)微晶合金蝸輪的耐磨性優于普通材料。
(4)微晶合金材料的抗沖擊能力(材料強度及韌性)、減摩性能(對蝸桿的保護作用及溫室)以及材質的可靠性、穩定性等都相對優越于普通材料。
4 結語
機械傳動的性能、效率、能耗是當前機械行業發展水平的評價標準，亟需基礎材料的更新換代。微晶合金材料具有比普通材料更優越的性能，可為國家能源節約以及制造業的升級帶來了很大的材料支撐，此新材料技術并將引導未來支柱產業的革命，意義重大。
展開 
赫茲公式的最新內容
? 基于權威文獻：嚴格遵循 Abbott Aerospace 標準文檔（AA-SB-001 第 12.3.1 節）的赫茲接觸理論公式，涵蓋 9 種典型機械接觸場景（球?球、球?平面、球?凹槽、圓柱?平面、平行圓柱、圓柱?凹槽、交叉圓柱、刀刃?平板、錐體?平板）。
，遠小于接觸物體的結構尺寸，因此
符合赫茲公式的假設。
為了對赫茲公式的計算結果和ANSYS的計算結果進行對比，我們選擇以兩橫截面直徑為100mm、b為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
長圓柱體為例，假設外載F=20kN，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半寬和最大接觸應力：
一、基于赫茲公式的計算：
為了計算方便，此處筆者將赫茲公式編制成了一個簡單的Python小程序，代碼及計算結果如下
1.3.赫茲接觸應力公式
1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.2.圓形點接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應力，
最大接觸應力，
1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）
平均接觸應力，
最大接觸應力，
2.典型接觸物體計算公式
3 結論
根據前面提到的赫茲接觸公式，將已知的參數帶入求解得到最大接觸壓力為396.55MPa，而ANSYS有限元求解得到的值為387.02MPa，誤差約2.4%，基本在可以接受范圍之內。
根據赫茲公式，齒輪在嚙合時，理論上是線嚙合，但由于材料的彈性變形是有一定寬度的，為簡化計算，根據應力σ=F/(Sb)(其中，S 為接觸線長度，b為變形后接觸線寬度)可以計算出變形后的嚙合線寬度。
