赫茲公式的案例
球體的赫茲接觸計(jì)算與ANSYS實(shí)現(xiàn)
首先，更正個(gè)錯(cuò)誤：在上一篇公眾號(hào)文章《平行圓柱體的赫茲接觸計(jì)算與ANSYS實(shí)現(xiàn)》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計(jì)算公式出現(xiàn)了錯(cuò)誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計(jì)算公式如下：
在上一篇公眾號(hào)中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計(jì)算方法及其有限元計(jì)算方法。我們發(fā)現(xiàn)：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計(jì)算出的赫茲接觸應(yīng)力（壓力）與使用赫茲公式計(jì)算出的應(yīng)力結(jié)果幾乎完全一致；接觸面半寬的計(jì)算結(jié)果誤差也在可接受的范圍之內(nèi)。今天，我們一起討論下球體的赫茲接觸計(jì)算方法及ANSYS實(shí)現(xiàn)。
我們以兩個(gè)直徑為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
球體為例，假設(shè)外載F=1000N，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計(jì)算一下接觸面面半徑和最大接觸應(yīng)力：
一、基于赫茲公式的計(jì)算：
同樣，對(duì)于赫茲公式的計(jì)算，筆者編了一個(gè)簡(jiǎn)單的Python小程序，程序代碼如下：
根據(jù)計(jì)算結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.5546mm，遠(yuǎn)小于接觸物體的結(jié)構(gòu)尺寸，因此
符合赫茲公式的假設(shè)。
二、基于ANSYS軟件的計(jì)算：
使用ANSYS計(jì)算時(shí)，只需要在公眾號(hào)文章《平行圓柱體的赫茲接觸計(jì)算與ANSYS實(shí)現(xiàn)》基礎(chǔ)上，做如下修改即可：
Step1
平面分析設(shè)置修改
將Step5中的2D Behavior修改成Axisymmetric（軸對(duì)稱）。
Step2
刪除軸對(duì)稱設(shè)置
將Step6中的軸對(duì)稱設(shè)置刪除。
展開 平行圓柱體的赫茲接觸計(jì)算與ANSYS實(shí)現(xiàn)
赫茲公式也是基于一定的假設(shè)，其作出的假設(shè)如下：
用a表示接觸區(qū)的有效尺寸，用ρ表示曲率半徑，用R表示每個(gè)物體的有效半徑，用l表示物體橫向和深度兩方面的有效尺寸，則赫茲理論中做出的假設(shè)可以簡(jiǎn)單表述成：
1. 表面都是連續(xù)的，并且是非協(xié)調(diào)的：a〈〈 ρ；
2. 接觸尺寸遠(yuǎn)小于接觸物體尺寸；
3. 小應(yīng)變；
4. 每個(gè)接觸物體都是線彈性的，服從胡克定律；
5. 接觸物體間摩擦力為0。
為了對(duì)赫茲公式的計(jì)算結(jié)果和ANSYS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，我們選擇以兩橫截面直徑為100mm、b為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
長(zhǎng)圓柱體為例，假設(shè)外載F=20kN，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計(jì)算一下接觸面面半寬和最大接觸應(yīng)力：
一、基于赫茲公式的計(jì)算：
為了計(jì)算方便，此處筆者將赫茲公式編制成了一個(gè)簡(jiǎn)單的Python小程序，代碼及計(jì)算結(jié)果如下：
根據(jù)計(jì)算結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.2407mm，遠(yuǎn)小于接觸物體的結(jié)構(gòu)尺寸，因此
符合赫茲公式的假設(shè)。
二、基于ANSYS軟件的計(jì)算：
使用ANSYS求解該問題時(shí)，我們從以下幾個(gè)方面入手：
1. 確定分析類型：根據(jù)例題所示結(jié)構(gòu)，確定分析類型為
靜力學(xué)分析；
2. 確定單元類型：
兩長(zhǎng)圓柱體的分析計(jì)算，為了降低計(jì)算量，可使用1/4的平面應(yīng)變模型計(jì)算（具體選用規(guī)則請(qǐng)看本公眾號(hào)
《ANSYS與材料力學(xué)之軸向拉伸和壓縮（二）》
）。
展開 赫茲接觸計(jì)算公式
對(duì)兩個(gè)彈性體接觸處應(yīng)力狀態(tài)的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。
1.赫茲彈性接觸理論
1.1.假設(shè)條件
1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；
2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計(jì)（即作用力與接觸面垂直）；
3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區(qū)的尺寸遠(yuǎn)小于物體的尺寸；
4）小應(yīng)變。
1.2.應(yīng)用的三個(gè)基本原理
1.2.1.變形方程
1）點(diǎn)接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；
2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；
3）兩個(gè)接觸物體的變形符合變形連續(xù)條件。
1.2.2.物理方程
由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應(yīng)力的變化規(guī)律與接觸體的應(yīng)變成線性關(guān)系，在應(yīng)變最大的接觸表面中心壓應(yīng)力最大。Hertz假設(shè)接觸表面的壓應(yīng)力分布為半橢圓體。
1.2.3.靜力平衡方程
根據(jù)接觸表面壓應(yīng)力分布規(guī)律求得表面接觸壓力所組成的合力應(yīng)等于外加載荷。
1.3.赫茲接觸應(yīng)力公式
1.3.1.線接觸（單位長(zhǎng)度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
1.3.2.圓形點(diǎn)接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
1.3.3.橢圓形點(diǎn)接觸（載荷P）
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
2.典型接觸物體計(jì)算公式
2.1.圓形點(diǎn)接觸
2.1.1.接觸面半寬
2.1.2.最大接觸應(yīng)力
平均接觸應(yīng)力為F/πc2；最大接觸應(yīng)力為平均接觸應(yīng)力的1.5倍。
平面與球接觸時(shí)，取平面曲率半徑為無(wú)窮大。圓球與凹球接觸時(shí)，將凹球曲率半徑取為負(fù)值。
由以上兩式可見，最大接觸壓應(yīng)力與載荷不是線性關(guān)系，而是與載荷的立方根成正比。
展開 ANSYS Workbench赫茲接觸分析實(shí)例
1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發(fā)生的彈性變形。他假設(shè)：
① 接觸區(qū)發(fā)生小變形。
② 接觸面呈橢圓形。
③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。
凡滿足以上假設(shè)的接觸稱為赫茲接觸。當(dāng)接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠(yuǎn)比物體尺寸和表面的相對(duì)曲率半徑小時(shí)，由赫茲理論可得到與實(shí)際相符的結(jié)果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區(qū)附近的變形受周圍介質(zhì)的強(qiáng)烈約束，因而各點(diǎn)處于三向應(yīng)力狀態(tài)，且接觸應(yīng)力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應(yīng)力與外加壓力呈非線性關(guān)系，并與材料的彈性模量和泊松比有關(guān)。
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問題描述
圖1 兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布
軸線平行的兩圓柱體接觸時(shí)，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發(fā)生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規(guī)律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點(diǎn)的壓力按半橢圓規(guī)律分布。
最大單位壓力：
由赫茲公式知：
代入上式得：
若兩圓柱體均為鋼時(shí)，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0.3，取則接觸應(yīng)力為：
本例將用有限元分析的方法，計(jì)算兩圓柱體的接觸應(yīng)力，并與赫茲接觸理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證有限元計(jì)算的仿真方法。
展開 
淺議微晶合金技術(shù)在機(jī)械傳動(dòng)中的應(yīng)用
根據(jù)赫茲公式，齒輪在嚙合時(shí)，理論上是線嚙合，但由于材料的彈性變形是有一定寬度的，為簡(jiǎn)化計(jì)算，根據(jù)應(yīng)力σ=F/(Sb)(其中，S 為接觸線長(zhǎng)度，b為變形后接觸線寬度)可以計(jì)算出變形后的嚙合線寬度。常用蝸輪材料ZCuSn10P1的屈服應(yīng)力σs=375MPa，材料變形后的σ=0.8σs，接觸線長(zhǎng)度S=60mm，考慮到嚙合的復(fù)雜性及蝸輪材料在變形后應(yīng)力取值的局限性，計(jì)算得到單齒面嚙合線寬度b=0.4mm。
微晶合金材料LZA3805制成的蝸輪屈服應(yīng)力σs=430MPa，材料變形后σ=0.8σs，接觸線長(zhǎng)度S=60mm，計(jì)算得到單齒面嚙合線寬度b=0.28mm。進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，應(yīng)用COSMOSWorks分析軟件對(duì)蝸輪受拉側(cè)進(jìn)行分析，相同條件下常用蝸輪材料ZCuSn10P1和微晶合金材料蝸輪的應(yīng)力云圖如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可見，在相同的工作環(huán)境下，施加20kN 同樣大小的載荷，普通蝸輪材料的屈服應(yīng)力值為275.7MPa，微晶合金蝸輪材料的屈服應(yīng)力值僅為55.15MPa，極大地提高了傳動(dòng)的效率以及穩(wěn)定性。
3 結(jié)論
(1)根據(jù)分析結(jié)果可知，在同等條件下蝸輪采用微晶合金變形比常用材料小。
(2)微晶合金蝸輪可以應(yīng)用到要求更苛刻的機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域，可以傳遞更大的扭矩。
(3)微晶合金蝸輪的耐磨性優(yōu)于普通材料。
(4)微晶合金材料的抗沖擊能力(材料強(qiáng)度及韌性)、減摩性能(對(duì)蝸桿的保護(hù)作用及溫室)以及材質(zhì)的可靠性、穩(wěn)定性等都相對(duì)優(yōu)越于普通材料。
4 結(jié)語(yǔ)
機(jī)械傳動(dòng)的性能、效率、能耗是當(dāng)前機(jī)械行業(yè)發(fā)展水平的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，亟需基礎(chǔ)材料的更新?lián)Q代。微晶合金材料具有比普通材料更優(yōu)越的性能，可為國(guó)家能源節(jié)約以及制造業(yè)的升級(jí)帶來(lái)了很大的材料支撐，此新材料技術(shù)并將引導(dǎo)未來(lái)支柱產(chǎn)業(yè)的革命，意義重大。
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? 基于權(quán)威文獻(xiàn)：嚴(yán)格遵循 Abbott Aerospace 標(biāo)準(zhǔn)文檔（AA-SB-001 第 12.3.1 節(jié)）的赫茲接觸理論公式，涵蓋 9 種典型機(jī)械接觸場(chǎng)景（球?球、球?平面、球?凹槽、圓柱?平面、平行圓柱、圓柱?凹槽、交叉圓柱、刀刃?平板、錐體?平板）。
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? 結(jié)果校驗(yàn)：內(nèi)置異常處理（如凹槽半徑必須大于球體半徑、泊松比范圍檢查），避免錯(cuò)誤輸入導(dǎo)致無(wú)效結(jié)果。
?模塊化代碼：采用面向?qū)ο笤O(shè)計(jì)，每種接觸類型的計(jì)算函數(shù)獨(dú)立封裝，新增類型只需添加對(duì)應(yīng)分支和圖片映射。
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