Weibull分布
關注創建者：320科技工作室 創建時間：2022-10-15
Weibull分布的視頻教程
Abaqus支架腐蝕分析建模過程
Abaqus支架腐蝕分析建模過程，通過vusdfld子程序進行材料腐蝕分析，考慮了點蝕和應力腐蝕，并且引入了服從weibull分布的腐蝕速率系數。ABAQUS通過VUSDFLD模擬材料腐蝕 － 技術鄰 (jishulink.com)
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Weibull分布的實例教程
混凝土是一種細觀層次上的非均質材料，假定混凝土的各相組分的力學性質滿足某種特定的統計分布規律即Weibull分布，并假定材料的力學參數（例如彈性模量和強度等）隨著空間位置不同而發生變化，利用Weibull分布描述這一變化。Weibull分布的分布密度函數為：
對應隨機變量u的期望和方差為：
通過控制均質參數m和均值u0可以使材料屬性落在特定的區間內，如圖1圖2所示。
圖1 均質度變化
圖2 均值變化
材料屬性Weibull分布通常有遍歷法和區間法等方法實現，遍歷法考慮各個單元材料屬性的隨機性，依定義的隨機分布方式對各個單元隨機生成參數值。但是遍歷法單獨定義每個單元的材料屬性，定義數量過大，使得單元的材料屬性離散性過大且難以定義模型的塑性損傷。
對遍歷法進行改進，發展稱為區間法，對區間進行k等分，根據Weibull函數確定每一個子區間的單元個數，為避免子區間內材料屬性離散過大，統一將子區間的材料屬性定義為該子區間的均值。
以二相混凝土為例，遍歷法實現骨料個體的Weibull分布，區間法實現砂漿單元的Weibull分布，效果圖如圖3所示。
圖3 二相混凝土Weibull分布示意圖
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虐貓狂人薛定諤
展開 他們繪制累積分布函數F（λ），每個斷裂的試樣對應F - λ平面內一個數據點(圖3a)。根據斷裂統計的經驗，他們用三參數Weibull分布來擬合:
其中 α，β與γ為分布，尺度與形狀參數。通過最大似然估計法擬合三個參數，并對于任一給定的累計概率函數計算95%置信區間。高度可信的擬合結果要求大多數數據落在95%置信區間內，準確的擬合結果要求95%置信區間很窄。實驗測得的累積分布函數在全數據范圍內近似服從Weibull分布(圖3a)。計算得到的95%置信區間雖然窄，但是許多數據點落在置信區間外，Weibull分布不能很好地擬合全體實驗數據。
為了研究小概率斷裂，他們將圖14a中的區域放大(圖3b)。與全局擬合類似，大量數據落在95%置信區間外。也就是說，使用所有4000個測試試樣數據的Weibull分布擬合無法在具有較高置信度的前提下預測包括小概率事件在內的實驗數據。
他們采用Peak-over-threshold方法來獲得準確可靠的小概率斷裂預測。采用Peak-over-threshold方法后，4000個試樣中只有率先斷裂的255個試樣用于Weibull分布擬合。使用這個方法后，所有數據點均落在95%置信區間里(圖3c)。例如，他們定義一個小概率事件 F（λ）= 0.1%, 對應于4000個試樣中先斷裂的4個試樣。對于“0.1%斷裂”的小概率事件，測得的斷裂拉伸比為 λ= 1.7111，Weibull擬合結果為 λ= 1.7166，95%置信區間為1.7056 < λ < 1.7288。在95 %的高置信度下，拉伸比擬合區間很窄，該預測精度能夠滿足大多數應用。
展開 Abaqus 考慮材料隨機性的復合材料漸進損傷分析
由于制造工藝、外部環境等的影響，材料的隨機分布是個普遍存在的現象。目前針對復合材料的分析中，絕大部分并未考慮材料隨機性對仿真結果的影響。鑒于此，本文通過Umat子程序將材料隨機性引入復合材料的漸進損傷分析中，對比了不同的隨機分布對仿真結果的影響。
本文的仿真對象為一種短切纖維復合材料(芳綸紙)，主要從宏觀的角度研究了短纖維取向隨機性對計算結果的影響。
材料的隨機性一般可以認為服從正態分布或者weibull分布。正態分布可以通過Box-Muller算法實現。Box-Muller算法是通過服從均勻分布的隨機變量，來構建服從正態分布隨機變量的一種方法。具體實現方法為：選取兩個服從
[0,1]
上均勻分布的隨機變
量
U
1
、
U
2
，
X
、
Y
滿足
則
X
與
Y
服從均值為0，方差為
1
的正態分布。
通過上述算法，可以在Fortran中生成纖維取向在[0,90]之間服從正態分布的隨機數，以下為部分代碼
Fortran中生成服從Weibull分布隨機數的方法可以參照文獻[1]。http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1205134中同樣采用了文獻[1]中的方法生成了服從Weibull分布的隨機數。
復合材料的損傷萌生準則和損傷演化準則可以參考http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1206124。與之不同的是由于芳綸紙厚度很小，本文中只考慮了材料的面內損傷行為。
展開 由于制造工藝、外部環境等的影響，材料的隨機分布是個普遍存在的現象。目前針對復合材料的分析中，絕大部分并未考慮材料隨機性對仿真結果的影響。鑒于此，本文通過Umat子程序將材料隨機性引入復合材料的漸進損傷分析中，對比了不同的隨機分布對仿真結果的影響。
本文的仿真對象為一種短切纖維復合材料(芳綸紙)，主要從宏觀的角度研究了短纖維取向隨機性對計算結果的影響。
材料的隨機性一般可以認為服從正態分布或者weibull分布。正態分布可以通過Box-Muller算法實現。Box-Muller算法是通過服從均勻分布的隨機變量，來構建服從正態分布隨機變量的一種方法。具體實現方法為：選取兩個服從
[0,1]
上均勻分布的隨機變
量
U
1
、
U
2
，
X
、
Y
滿足
則
X
與
Y
服從均值為0，方差為
1
的正態分布。
通過上述算法，可以在Fortran中生成纖維取向在[0,90]之間服從正態分布的隨機數，以下為部分代碼
Fortran中生成服從Weibull分布隨機數的方法可以參照文獻[1]。
復合材料的損傷萌生準則和損傷演化準則可以參考https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1260993。與之不同的是由于芳綸紙厚度很小，本文中只考慮了材料的面內損傷行為。
展開 模型簡介：
考慮熱流固-損傷耦合效應，本案例建立了水力裂縫擴展模型，假設材料楊氏模量和抗拉強度滿足weibull分布，邊界施加應力條件，可運用于如下場景：
1、干熱巖儲層壓裂，流體介質可選擇水和二氧化碳，實現壓裂過程裂縫動態擴展模擬；
2、干熱巖儲層采熱開發，分析熱流固-損傷耦合效應對采熱的影響；
3、深部頁巖儲層壓裂，實現水和二氧化碳壓裂裂縫擴展模擬；
4、其他熱流固耦合問題。
部分研究結果圖：
初始楊氏模量分布
損傷分布
壓力分布
溫度分布
參考文獻：
[1] Wei Zhang, Tian-kui Guo, Zhan-qing Qu, et al. Research of fracture initiation and propagation in HDR fracturing under thermal stress from meso-damage perspective. Energy, 2019, 178, 508-521
[2] Lin Wu, Zhengmeng Hou, Yachen Xie, et al. Fracture initiation and propagation of supercritical carbon dioxide fracturing in calcite-rich shale: A coupled thermal-hydraulic-mechanical-chemical simulation.
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模型簡介：
考慮熱流固-損傷耦合效應，本案例建立了水力裂縫擴展模型，假設材料楊氏模量和抗拉強度滿足weibull分布，邊界施加應力條件，可運用于如下場景：
1、干熱巖儲層壓裂，流體介質可選擇水和二氧化碳，實現壓裂過程裂縫動態擴展模擬；
2、干熱巖儲層采熱開發，分析熱流固-損傷耦合效應對采熱的影響；
3、深部頁巖儲層壓裂，實現水和二氧化碳壓裂裂縫擴展模擬；
4、其他熱流固耦合問題。
（Weibull，Exponential，Gamma）</p><p>最常見最簡單的分布，正態分布。
（3）老化測試需要更有效，車規芯片可以通過100%老化除去早期失效器件，對服從威布爾Weibull分布的參數β在1以下，也就是前期故障率呈顯著降低趨勢，這將突出老化測試。在實現杜絕芯片早期失效的同時，盡可能縮短老化測試的時間；
（4）對于失效芯片根因進行分析，需構成閉環。尤其是要發現因工藝制造參數卡控不盡合理或試驗覆蓋不完全而遺漏的失效芯片，否則會造成批次性問題。
混凝土是一種細觀層次上的非均質材料，假定混凝土的各相組分的力學性質滿足某種特定的統計分布規律即Weibull分布，并假定材料的力學參數（例如彈性模量和強度等）隨著空間位置不同而發生變化，利用Weibull分布描述這一變化。
故障數據回歸采用Weibull分布模型，數據采用最可能估算結果進行可靠性分析，最樂觀估算數據作為輔助參考。
②可靠性方框圖建立
RBD即系統可靠性方塊圖，是系統單元及其可靠性意義下連接關系的圖形表達，表示單元的正常或故障狀態對系統狀態的影響。可靠性方塊圖是利用互相連接的方塊來顯示系統的失效邏輯，分析系統中每一個成分的失效率對系統的影響，以幫助評估系統及裝置的整體可靠性等。
至于如何實現材料非均質性的描述，本文中使用的是Weibull分布，對模型中的Cohesive單元進行隨機賦值，如何實現材料的隨機賦值參照b站大佬哦，大佬的腳本講解細致，可以自己學會的，不愛學的可以花點銀子打賞一下我，哈哈哈哈
abaqus腳本之單元隨機賦予材料 - 嗶哩嗶哩 (bilibili.com)
最終的模擬結果如下，效果還是不錯的，想要模擬復雜縫網，考慮材料的非均質性必不可少
對于每個拉伸幅值
λ，使用三參數Weibull分布擬合累積分布函數
F
λ
（
N
）:
他們同樣通過最大似然估計法擬合三個參數，并計算95%置信區間。實驗數據與Weibull分布結果大致吻合，但許多數據點落在95%置信區間外（圖5a），Weibull分布不能很好地擬合全體數據。
失效分布模型，給出電子產品循環次數與失效率分布曲線，快速評估不同循環次數下產品的可靠性。
、Weibull分布、Student分布等）、高斯過程、ARMA模型以及Matern、指數等多種類型的協方差函數模型等；
元建模：混沌多項式展開、高斯過程回歸、Karhunen-Loeve變換等；
可靠性及敏感性分析：包括多種實驗設計采樣算法（Monte-Carlo、 LHS、低偏差序列等）以及Spearman、Sobol、ANCOVA等多類型分析方法；
其他數值算法，
材料的隨機性一般可以認為服從正態分布或者weibull分布。正態分布可以通過Box-Muller算法實現。Box-Muller算法是通過服從均勻分布的隨機變量，來構建服從正態分布隨機變量的一種方法。
