概率分布
關注創建者：博集華仿 創建時間：2019-12-25
概率分布的實例教程
初始威力場
所有破片打擊線（考慮重力）
單個彈打擊的所有破片落點（落速200m/s，落角50°，落高5m）
假設地面目標為人員，不同工況下毀傷概率分布，圖中范圍x為-50m~50m，y為-50m~50m。考慮破片和沖擊波聯合作用。
概率密度函數概率分布函數
對大量的隨機信號分析表明，雖然單個的信號之間是不相關的，沒有規律的，但是它們的分布卻服從概率分布，稱為正態分布。正態分布可以表示為：
式中，μ為信號的均值，σ為信號的標準差。F(x)是信號小于x的概率。
正態分布曲線如下圖所示，它受到平均值和標準差的影響。
可以看到，均值的改變會使概率分布函數在水平方向移動，標準差的改變會使函數的凸凹程度發生變化。
一般來說，在進行隨機振動分析時會假設隨機信號的均值為零，即使不為零，也可以采用一個均值為零的隨機信號與一個常值信號疊加的方式處理，在這里只分析均值為零的隨機振動。
當均值為零時，決定隨機信號分布函數的變量只有標準差σ。也就是說，σ一旦確定，對應于該隨機信號的概率分布函數也就確定了。這里再次重申一下，隨機信號是隨機的，但是在統計意義上是滿足正態分布的，我們不能通過單個信號或單次測量的信號集合來作為隨機振動的輸入，但是我們可以通過隨機信號的平均功率來確定其概率分布函數。也就是說，隨機振動分析并不是通過具體的輸入得到一個具體的結果，而是通過一個概率分布的輸入，得到一個概率分布的結果。在實際應用中就是，我們輸入隨機信號的功率譜密度，它表征著同樣平均功率的隨機信號輸入，最后會得到一個應力分布，這個應力分布滿足正態分布，也是概率分布的，而不是絕對的。
注：之所以隨機響應與隨機輸入一樣滿足正態分布是因為正態分布具有線性疊加性，而且在進行動力學分析時未涉及非線性部分，所以隨機響應與隨機輸入一樣具有穩定的數值統計特征。
現在我們需要得到σ的值。首先看下σ的定義：
為方差，表示信號偏離平均值的程度。
其中μ為數學期望，代表著信號的平均值。
展開 本研究將概率密度演化理論 (Li & Chen 2009, Chen et al. 2016, Li & Wang 2022) 應用于巖土工程領域，與精細化確定性離散元分析技術相結合，提出了一類分析顆粒材料隨機力學行為的非侵入式隨機離散元方法。
工作概述
本研究建立的針對顆粒材料隨機力學行為分析的
隨機離散元方法框架
大致分為
4
個步驟：
1. 根據試驗數據對
隨機源
進行概率建模，獲得隨機源變量的概率分布；
2. 依據建立的隨機源概率分布模型，進行基本隨機變量的
概率空間剖分
，生成一系列代表性點及其賦得概率；
3. 在每個代表性點下，對顆粒材料代表性體積元進行
確定性離散元分析
，獲得其關鍵力學響應隨應變的演化曲線；
4. 將代表性點下的賦得概率和確定性響應信息代入
Li-Chen 方程
，采用概率密度演化方法數值求解獲得關鍵響應量和隨機源變量的聯合概率密度函數，進而積分獲得關鍵響應量的概率分布。
研究框架的整體分析流程如下圖所示：
數值結果
應力比隨應變的概率密度演化特征：
(a. 概率密度云圖; b. 概率密度曲面; c. 均值和2倍標準差; d.
展開 ?
概率分布決定了隨機變量采用的所有結果的概率。分布可以是連續分布或離散分布，具體取決于隨機變量采用的值。概率分布有幾種類型，如正態分布、均勻分布、指數分布等。在本文中，我們將了解正態分布，還將了解如何使用 Python 繪制正態分布。
什么是正態分布
正態分布是一個連續概率分布函數，也稱為高斯分布，它的平均值是對稱的，并且具有鐘形曲線。它是最常用的概率分布之一。它有兩個參數
Mean（μ） - 它表示分布的中心
Standard Deviation（σ） – 它表示曲線中的分布
正態分布的公式為
?
編輯
正態分布公式
正態分布的性質
Symmetric distribution （對稱分布） – 正態分布相對于其平均值點是對稱的。這意味著分布在其平均值上完全平衡，兩側有一半的數據。
鐘形曲線 – 正態分布的圖形采用鐘形曲線形式，其中大多數點累積在其平均位置。此曲線的形狀由分布的平均值和標準差決定
經驗法則 – 正態分布曲線遵循經驗法則，其中 68% 的數據位于與圖表平均值的 1 個標準差范圍內，95% 的數據位于與平均值的 2 個標準差之間，99.7% 的數據位于與平均值的 3 個標準差之間。
?
編輯
正態分布中的經驗法則
Additive Rule （加法規則） – 兩個或多個正態分布之和將始終為正態分布。
展開 
概率分布的最新內容
正交多項式基函數展開，解析不確定性傳播
不確定性量化、靈敏度分析、輸入分布已知
與維度相關
關鍵洞察：DNN是"大力出奇跡"——數據越多、網絡越深，擬合能力越強，但訓練需要GPU加速；GP是"精打細算"——小數據集即可構建，且自帶誤差估計，但高維空間計算量劇增；PCE是"物理嵌入"——當輸入參數具有明確概率分布時
同時，為了確保漫射體不受輸入光束變化的影響，并且不產生衍射效果，微透鏡單元的分布是隨機的，根據產生相應的光束形狀函數所選取的概率分布函數來確定。因此，工程漫射體同時保留了隨機與確定性漫射體的優點，從而實現高性能的光束整形功能。
參數tr為隨機抖動，其均值和標準差為零的高斯概率分布由參數random jitter amplitude (RMS value)定義。
圖的第一行用散點表示，第二行用概率密度分布圖表示，樣本值大體上符合正態分布。
DrivAerNet++ 數據庫共8000個樣本，計算共耗時三百萬 CPU 核時，39T的數據量。
用自定義參數運行的容差分析9個月前
為此，VirtualLab Fusion提供了一個強大而靈活的工具，稱為 "參數運行"，用戶可以通過一個可編程的界面對其進行定制，以允許不同種類的隨機概率分布應用于不同的參數。
隨機分布的容差分析
在這個用例中，我們展示了一個可定制的參數運行，允許用戶采用不同的隨機分布來實現容差分析的目的。
正態分布和截斷正態分布都假設一個點被取的概率為高斯分布。標準正態分布和截斷正態分布之間的區別在于，在截斷分布的情況下，不會取參數范圍外的值，而是在范圍內生成一個新數。
效率的統計分布
光柵公差
最低效率的級次效率
隨機分布類型
文件信息
延伸閱讀
-參數運行文檔的使用方法
-光柵級次分析器
用自定義參數運行的容差分析9個月前
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RPC Photonics擴散片BSDF10個月前
同時，為了確保漫射體不受輸入光束變化的影響，并且不產生衍射效果，微透鏡單元的分布是隨機的，根據產生相應的光束形狀函數所選取的概率分布函數來確定。因此，工程漫射體同時保留了隨機與確定性漫射體的優點，從而實現高性能的光束整形功能。
FRED是美國Photon Engineering 公司開發的光學工程仿真軟件，其在雜散光分析中獨特的算法、高效的準確性，使其與其它同類產品相比更具優勢。
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