Weibull分布的案例
Abaqus材料Weibull分布區(qū)間法Python程序
混凝土是一種細觀層次上的非均質材料，假定混凝土的各相組分的力學性質滿足某種特定的統(tǒng)計分布規(guī)律即Weibull分布，并假定材料的力學參數(shù)（例如彈性模量和強度等）隨著空間位置不同而發(fā)生變化，利用Weibull分布描述這一變化。Weibull分布的分布密度函數(shù)為：
對應隨機變量u的期望和方差為：
通過控制均質參數(shù)m和均值u0可以使材料屬性落在特定的區(qū)間內，如圖1圖2所示。
圖1 均質度變化
圖2 均值變化
材料屬性Weibull分布通常有遍歷法和區(qū)間法等方法實現(xiàn)，遍歷法考慮各個單元材料屬性的隨機性，依定義的隨機分布方式對各個單元隨機生成參數(shù)值。但是遍歷法單獨定義每個單元的材料屬性，定義數(shù)量過大，使得單元的材料屬性離散性過大且難以定義模型的塑性損傷。
對遍歷法進行改進，發(fā)展稱為區(qū)間法，對區(qū)間進行k等分，根據(jù)Weibull函數(shù)確定每一個子區(qū)間的單元個數(shù)，為避免子區(qū)間內材料屬性離散過大，統(tǒng)一將子區(qū)間的材料屬性定義為該子區(qū)間的均值。
以二相混凝土為例，遍歷法實現(xiàn)骨料個體的Weibull分布，區(qū)間法實現(xiàn)砂漿單元的Weibull分布，效果圖如圖3所示。
圖3 二相混凝土Weibull分布示意圖
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虐貓狂人薛定諤
展開 哈佛大學鎖志剛教授、西安交大盧同慶教授、斯坦福大學Blanchet教授《Matter》: 高通量實驗設計用于預測材料小概率斷裂
他們繪制累積分布函數(shù)F（λ），每個斷裂的試樣對應F - λ平面內一個數(shù)據(jù)點(圖3a)。根據(jù)斷裂統(tǒng)計的經(jīng)驗，他們用三參數(shù)Weibull分布來擬合:
其中 α，β與γ為分布，尺度與形狀參數(shù)。通過最大似然估計法擬合三個參數(shù)，并對于任一給定的累計概率函數(shù)計算95%置信區(qū)間。高度可信的擬合結果要求大多數(shù)數(shù)據(jù)落在95%置信區(qū)間內，準確的擬合結果要求95%置信區(qū)間很窄。實驗測得的累積分布函數(shù)在全數(shù)據(jù)范圍內近似服從Weibull分布(圖3a)。計算得到的95%置信區(qū)間雖然窄，但是許多數(shù)據(jù)點落在置信區(qū)間外，Weibull分布不能很好地擬合全體實驗數(shù)據(jù)。
為了研究小概率斷裂，他們將圖14a中的區(qū)域放大(圖3b)。與全局擬合類似，大量數(shù)據(jù)落在95%置信區(qū)間外。也就是說，使用所有4000個測試試樣數(shù)據(jù)的Weibull分布擬合無法在具有較高置信度的前提下預測包括小概率事件在內的實驗數(shù)據(jù)。
他們采用Peak-over-threshold方法來獲得準確可靠的小概率斷裂預測。采用Peak-over-threshold方法后，4000個試樣中只有率先斷裂的255個試樣用于Weibull分布擬合。使用這個方法后，所有數(shù)據(jù)點均落在95%置信區(qū)間里(圖3c)。例如，他們定義一個小概率事件 F（λ）= 0.1%, 對應于4000個試樣中先斷裂的4個試樣。對于“0.1%斷裂”的小概率事件，測得的斷裂拉伸比為 λ= 1.7111，Weibull擬合結果為 λ= 1.7166，95%置信區(qū)間為1.7056 < λ < 1.7288。在95 %的高置信度下，拉伸比擬合區(qū)間很窄，該預測精度能夠滿足大多數(shù)應用。
展開 Abaqus 考慮材料隨機性的復合材料漸進損傷分析
Abaqus 考慮材料隨機性的復合材料漸進損傷分析
由于制造工藝、外部環(huán)境等的影響，材料的隨機分布是個普遍存在的現(xiàn)象。目前針對復合材料的分析中，絕大部分并未考慮材料隨機性對仿真結果的影響。鑒于此，本文通過Umat子程序將材料隨機性引入復合材料的漸進損傷分析中，對比了不同的隨機分布對仿真結果的影響。
本文的仿真對象為一種短切纖維復合材料(芳綸紙)，主要從宏觀的角度研究了短纖維取向隨機性對計算結果的影響。
材料的隨機性一般可以認為服從正態(tài)分布或者weibull分布。正態(tài)分布可以通過Box-Muller算法實現(xiàn)。Box-Muller算法是通過服從均勻分布的隨機變量，來構建服從正態(tài)分布隨機變量的一種方法。具體實現(xiàn)方法為：選取兩個服從
[0,1]
上均勻分布的隨機變
量
U
1
、
U
2
，
X
、
Y
滿足
則
X
與
Y
服從均值為0，方差為
1
的正態(tài)分布。
通過上述算法，可以在Fortran中生成纖維取向在[0,90]之間服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，以下為部分代碼
Fortran中生成服從Weibull分布隨機數(shù)的方法可以參照文獻[1]。http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1205134中同樣采用了文獻[1]中的方法生成了服從Weibull分布的隨機數(shù)。
復合材料的損傷萌生準則和損傷演化準則可以參考http://www.yqgqt.org.cn/content/post/1206124。與之不同的是由于芳綸紙厚度很小，本文中只考慮了材料的面內損傷行為。
展開 考慮纖維隨機取向的復合材料漸進損傷分析在abaqus中umat子程序的實現(xiàn)
由于制造工藝、外部環(huán)境等的影響，材料的隨機分布是個普遍存在的現(xiàn)象。目前針對復合材料的分析中，絕大部分并未考慮材料隨機性對仿真結果的影響。鑒于此，本文通過Umat子程序將材料隨機性引入復合材料的漸進損傷分析中，對比了不同的隨機分布對仿真結果的影響。
本文的仿真對象為一種短切纖維復合材料(芳綸紙)，主要從宏觀的角度研究了短纖維取向隨機性對計算結果的影響。
材料的隨機性一般可以認為服從正態(tài)分布或者weibull分布。正態(tài)分布可以通過Box-Muller算法實現(xiàn)。Box-Muller算法是通過服從均勻分布的隨機變量，來構建服從正態(tài)分布隨機變量的一種方法。具體實現(xiàn)方法為：選取兩個服從
[0,1]
上均勻分布的隨機變
量
U
1
、
U
2
，
X
、
Y
滿足
則
X
與
Y
服從均值為0，方差為
1
的正態(tài)分布。
通過上述算法，可以在Fortran中生成纖維取向在[0,90]之間服從正態(tài)分布的隨機數(shù)，以下為部分代碼
Fortran中生成服從Weibull分布隨機數(shù)的方法可以參照文獻[1]。
復合材料的損傷萌生準則和損傷演化準則可以參考https://www.yqgqt.org.cn/content/post/1260993。與之不同的是由于芳綸紙厚度很小，本文中只考慮了材料的面內損傷行為。
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Comsol-深部、干熱巖儲層水力壓裂熱流固-損傷耦合模型 ￥300
模型簡介：
考慮熱流固-損傷耦合效應，本案例建立了水力裂縫擴展模型，假設材料楊氏模量和抗拉強度滿足weibull分布，邊界施加應力條件，可運用于如下場景：
1、干熱巖儲層壓裂，流體介質可選擇水和二氧化碳，實現(xiàn)壓裂過程裂縫動態(tài)擴展模擬；
2、干熱巖儲層采熱開發(fā)，分析熱流固-損傷耦合效應對采熱的影響；
3、深部頁巖儲層壓裂，實現(xiàn)水和二氧化碳壓裂裂縫擴展模擬；
4、其他熱流固耦合問題。
部分研究結果圖：
初始楊氏模量分布
損傷分布
壓力分布
溫度分布
參考文獻：
[1] Wei Zhang, Tian-kui Guo, Zhan-qing Qu, et al. Research of fracture initiation and propagation in HDR fracturing under thermal stress from meso-damage perspective. Energy, 2019, 178, 508-521
[2] Lin Wu, Zhengmeng Hou, Yachen Xie, et al. Fracture initiation and propagation of supercritical carbon dioxide fracturing in calcite-rich shale: A coupled thermal-hydraulic-mechanical-chemical simulation.
展開 （轉）使用Excel進行簡單的Weibull分析
可能不是很多人都了解，其實Excel也可以使用于Weibull分析。附件為一個簡單的應用Excel進行Weibull分析的例子，有興趣的朋友可以看看。除了文中介紹的使用MLE進行Weibull分布的參數(shù)估計外，同樣的方法還可以使用于其他的參數(shù)估計方法，如RRX和RRY，附件的Excel文件中有實例；此外，還可以進行其他分布（如指數(shù)分布）的分析。
使用專業(yè)的可靠性分析工具（如Weibull++)應該還是我們的首選。本帖的目的主要是兩個方面，
第一，使用Excel進行分析需要了解中間的計算過程，有助于大家更好地幾種參數(shù)估計方法的原理(MLE, RRX，RRY)。
第二，在進行一些簡單的分析，或者手上沒有專業(yè)工具的時候，以備應急。9
Weibull Analysis by Excel.rar
展開 RFPA2D軟件的特點概述
其計算方法基于有限元理論和統(tǒng)計損傷理論，該方法考慮了材料性質的非均性、缺陷分布的隨機性，并把這種材料性質的統(tǒng)計分布假設結合到數(shù)值計算方法（有限元法）中，對滿足給定強度準則的單元進行破壞處理，從而使得非均勻性材料破壞過程的數(shù)值模擬得以實現(xiàn)。因RFPA軟件獨特的計算分析方法，使其能解決巖土工程中多數(shù)模擬軟件無法解決的問題。
2.2 RFPA軟件基本原理
1）基于彈性損傷理論，RFPA是一個以彈性力學為應力分析工具、以彈性損傷理論及其修正后的Coulomb破壞準則為介質變形和破壞分析模塊的真實破裂過程分析系統(tǒng)。其基本思路是：
材料介質模型離散化成由細觀基元組成的數(shù)值模型，材料介質在細觀上是各向同性的彈-脆性或脆-塑性介質；
假定離散化后的細觀基元的力學性質服從某種統(tǒng)計分布規(guī)律（如weibull分布），由此建立細觀與宏觀介質力學性能的聯(lián)系；
按彈性力學中的基元線彈性應力、應變求解方法，分析模型的應力、應變狀態(tài)。RFPA利用線彈性有限元方法作為應力求解器；
引入適當?shù)幕茐臏蕜t（相變準則）和損傷規(guī)律，基元的相變臨界點用修正的Coulomb準則；
基元的力學性質隨演化的發(fā)展是不可逆的；
基元相變前后均為線彈性體；
材料介質的裂紋擴展是一個準靜態(tài)過程，忽略因快速擴展引起的慣性力的影響。
2）網(wǎng)格劃分
RFPA選取等面積四節(jié)點的四邊形單元剖分計算對象。為了使問題的解答足夠精確，RFPA方法要求模型中的單元足夠?。ㄏ鄬τ诤暧^介質），以能足夠精確的地反映介質的非均勻性。但它又必需足夠大（包含一定數(shù)量的礦物和膠結物顆粒，以及微裂隙、孔洞等細小缺陷），因為作為子系統(tǒng)的單元實際上仍是一個自由度很大的系統(tǒng)，它具有遠大于微觀尺度的細觀尺度。這以要求正是為了保證使剖分后的單元性質盡量接近基元性質。
展開 ABAQUS中非均質煤巖體的水力壓裂模擬 ￥80
至于如何實現(xiàn)材料非均質性的描述，本文中使用的是Weibull分布，對模型中的Cohesive單元進行隨機賦值，如何實現(xiàn)材料的隨機賦值參照b站大佬哦，大佬的腳本講解細致，可以自己學會的，不愛學的可以花點銀子打賞一下我，哈哈哈哈
abaqus腳本之單元隨機賦予材料 - 嗶哩嗶哩 (bilibili.com)
最終的模擬結果如下，效果還是不錯的，想要模擬復雜縫網(wǎng)，考慮材料的非均質性必不可少！
剩下就是要花小錢錢啦，壓縮文件里有CAE文件，inp文件以及隨機賦值的腳本，嘿嘿不過學習方法文章中都給了哦。
p.s. Inp文件才是最終提交計算的文件，CAE里的模型是不能直接提交計算的
Python腳本的運行要在CAE中完成
CAE是2021版本建的模型
展開 『下載』Mathcad 2000實例教程
t分布
8．17 Weibull分布
8．18 均勻分布
第9章 數(shù)據(jù)分析
9．1 直方圖
9．2 插值和預測函數(shù)
9．3 對數(shù)據(jù)進行平滑處理
9．4 曲線擬合函數(shù)
附錄 內部函數(shù)
現(xiàn)本人己下載,免費提供大家各位,希望對大家有用,可以有一定的幫助和學習.
ER如何用JMP進行可靠性(Reliability)分析
圖一 可靠性試驗原始數(shù)據(jù)表（部分）
按照可靠性方法的理論，要解決這兩個問題，需要首先解決一個基本問題：這組壽命數(shù)據(jù)是服從什么分布的？實在地講，這不是一個容易解決的問題，得一個一個分布地去嘗試、去比較、去驗證，什么威布爾Weibull分布啊，對數(shù)正態(tài)分布啊，指數(shù)分布啊，等等，少說也有十幾種。而一般質量工程師一聽這些專業(yè)的統(tǒng)計學名詞就犯暈，而且由于壽命數(shù)據(jù)中又含有“刪失”特性，判斷起來就更復雜了，通常需要通過一系列冗長的統(tǒng)計分析報表和統(tǒng)計指標去判斷。
筆者在用JMP軟件做分析的時候，發(fā)現(xiàn)JMP中有一條命令叫“擬合所有分布”，它可以在幾秒鐘的時間內對所有常規(guī)的可靠性分布逐一擬合，然后自動篩選出最佳的分布擬合。比如在下圖中，“對數(shù)正態(tài)”分布就是JMP在快速比較所有壽命分布后找到的最佳分布。如果不太懂統(tǒng)計學原理，只想直觀地看一看這個分布長什么樣的話，就看圖上那個紅色曲線及其周邊粉紅色的置信區(qū)間帶；如果對統(tǒng)計學原理比較懂，想深入了解統(tǒng)計學上的判別依據(jù)，還可以看下面那個“模型擬合”表格中的相關指標。總之，可以各取所需，完成最基本的分布模型識別的任務。
圖二 可靠性分布模型比較的可視化展示
此外，在獲得最佳擬合分布的同時，與該產品質量相關的各種可靠性特征（如可靠壽命、失效概率、失效概率密度、故障率等等）也可以用圖形化方式來表現(xiàn)。比如在下圖中，“分布刻畫器”和“分位數(shù)刻畫器”都顯示了失效概率與產品壽命之間的關系（兩者的主要差別是X軸和Y軸所代表的變量正好相反），“危險率刻畫器”顯示的是危險率（即通常所說的Hazard Rate）隨產品壽命的變化而產生變化的規(guī)律（這可以用來實現(xiàn)可靠性理論中最著名的“浴盆曲線”），“密度刻畫器”顯示的是失效概率密度隨產品壽命的變化而產生變化的規(guī)律。
展開 擁抱可靠性物理的世界
這個失效機理是沒有變化（即使是主要厚度和weibull分布斜率都沒變化）。談論的重點更多的是激活能，電壓加速模型，這些是基于具體的設計而且可以通過實驗進行測量。對于封裝而言，焊錫無論是有鉛無鉛或者其它類型的焊錫的疲勞老化都可以通過每個循環(huán)中的應力和強度分析進行計算。（這就不需要害怕無鉛工藝了）這些基本ARP的優(yōu)勢能夠幫助可靠性在產品技術發(fā)展的路線上扮演重要的角色。特別高可靠性要求的行業(yè)比如軍方，太空和工業(yè)領域就可以在這些新技術通過RPA評估其應用可靠性足夠高時候加于運用。也不需要去知道為什么做的好進行分析。重要的一點，RPA能夠在我們么有先驗經(jīng)驗的時候也能夠開放出高可靠性的產品。
展開 
【EDF開源CAE】SALOME數(shù)值模擬平臺中OpenTURNS模塊簡介
作為一個通用的不確定性分析軟件，OpenTURNS可實現(xiàn)的功能基本涵蓋了整個不確定性分析領域，其中主要包括：
數(shù)據(jù)分析：包括可視化分析（ QQ-plot 分位數(shù)圖、Cobweb等）、擬合校驗（Kolmogorov、Chi2等）、多變量分布（核密度評估KDE、最大似然法等）、數(shù)學過程（協(xié)方差模型、Welch和Whittle估計等）、貝葉斯推斷和校準（Metropolis-Hastings算法、條件分布法等）等功能；
概率模型構建：包括所有常用的分布法（正態(tài)分布、Weibull分布、Student分布等）、高斯過程、ARMA模型以及Matern、指數(shù)等多種類型的協(xié)方差函數(shù)模型等；
元建模：混沌多項式展開、高斯過程回歸、Karhunen-Loeve變換等；
可靠性及敏感性分析：包括多種實驗設計采樣算法（Monte-Carlo、 LHS、低偏差序列等）以及Spearman、Sobol、ANCOVA等多類型分析方法；
其他數(shù)值算法，包括Gauss-Kronrod 自適應數(shù)值積分、NLopt、Cobyla、TNC等優(yōu)化算法、以及布倫特和Bisection尋根算法等。
OpenTURNS作為一個開源的Python/C++庫，其主要的運行模式是通過編寫相關計算腳本來進行的。不過為方便非開發(fā)者使用，EDF RD特別聯(lián)合Phimeca工程公司共同開發(fā)了OpenTURNS的GUI模式。目前該GUI模式的Linux版本主要是通過Salome平臺使用的，接下來我們將重點介紹Salome平臺下的OpenTURNS模塊。
OpenTURNS圖形用戶界面
模型建立:
首先在開始研究之前我們需要確認其中所使用的物理模型，即我們的所要研究的過程對象。
展開 無鉛電子封裝材料及其焊點可靠性研究進展
焊點失效的熱循環(huán)疲勞試驗壽命可在焊料溫度依存性和時間依存性的基礎上利用Weibull分布來估算。
由于熱循環(huán)疲勞耗時較長，又提出了機械等溫疲勞試驗。它是通過在恒定溫度下對焊接部位施加機械往返載荷，得到非線性應變振幅而完成熱疲勞強度的評價。熱疲勞壽命可根據(jù)Manson-Coffin方程來預測。在Manson-Coffin方程的基礎上，Solomon建立了基于等效塑性應變范圍的疲勞預測模式。
焊點的失效模式分析方法
焊點可靠性的失效模式分析方法有二種：破壞性分析和非破壞性分析。非破壞性通常用X光或超聲波來檢測焊點是否有孔洞，能方便地找出失效實際位置。但對裂紋造成的失效不容易分析。破壞性分析是通過斷面切片，利用掃描電子顯微鏡進行觀察和成分分析，找出失效機制。常用于界面金屬間化合物厚度的分析。
3． 無鉛焊點的缺陷
“錫須”問題
“錫須”指器件在長期儲存、使用過程中，在機械、溫度、環(huán)境等作用下會在高錫鍍層的表面生長出一些胡須狀晶體，其主要成分是錫。由于“錫須”可能連到其他線路引起嚴重的可靠性問題，而倍受業(yè)界的關注。錫須的成長因素很多，比較一至的看法是由于材料的晶格失配所引起的應力造成。目前僅日本制定了“錫須”試驗標準。有研究報道鍍層添加Bi，Sn和Au元素可抑制“錫須”產生，而Cu會加速“錫須”生長；有機顆粒沉積物會加速“錫須”生成。預防措施主要有去應力、覆錫霧、加Ni或Au等。Agere的研究表明在錫與銅之間加入2μ厚的鎳層能有效抑制“錫須”的成長。
Kirkendall空洞問題
如果兩種材料的擴散率不同，其中一種材料將出現(xiàn)原子耗損空位，從而導致Kirken-dall空洞也是隨時間變化的。引起Kirken-dall空洞的原因可能如下：固化期間焊錫的收縮；焊接期間電鍍通孔的排氣；焊接點濕潤不夠。
展開 煉油裝置運行周期評估技術及應用
對缺少故障數(shù)據(jù)以及數(shù)據(jù)不足的設備依據(jù)OREDA標準進行數(shù)據(jù)補充，并假定服從指數(shù)分布。
c）進行單體設備的可靠性計算。根據(jù)單體設備故障的數(shù)據(jù)，應用基于統(tǒng)計數(shù)學和可靠性理論的計算方法，進行單體設備的可靠性分析計算。故障數(shù)據(jù)回歸采用Weibull分布模型，數(shù)據(jù)采用最可能估算結果進行可靠性分析，最樂觀估算數(shù)據(jù)作為輔助參考。
②可靠性方框圖建立
RBD即系統(tǒng)可靠性方塊圖，是系統(tǒng)單元及其可靠性意義下連接關系的圖形表達，表示單元的正?；蚬收蠣顟B(tài)對系統(tǒng)狀態(tài)的影響?？煽啃苑綁K圖是利用互相連接的方塊來顯示系統(tǒng)的失效邏輯，分析系統(tǒng)中每一個成分的失效率對系統(tǒng)的影響，以幫助評估系統(tǒng)及裝置的整體可靠性等。圖中的串聯(lián)結構表示鏈上的任何一個單元發(fā)生故障時，則系統(tǒng)發(fā)生故障；并聯(lián)結構表示僅當所有單元均發(fā)生故障時，系統(tǒng)發(fā)生故障。
可靠性方塊圖不同于結構連接圖，各單元的連接方式不一定與其物理連接方式相一致；物流走向不代表物流在流程中的真實走向；方塊圖中串聯(lián)的各單元的先后順序不影響系統(tǒng)的邏輯關系?？煽啃苑綁K圖中的每一個方塊既可以代表某個子系統(tǒng)，也可代表某個具體設備，或某設備上某具體零部件。
③系統(tǒng)、裝置可靠性模擬計算
a）系統(tǒng)模擬計算結果。將各設備在不同時間段內(1年、2年、3年、4年)的可靠性計算結果與系統(tǒng)可靠性方塊圖(RBD)相關聯(lián)，模擬計算系統(tǒng)的可靠性。
b）裝置模擬計算結果。根據(jù)系統(tǒng)可靠性模擬計算結果及各系統(tǒng)的邏輯關系，計算出裝置可靠性，并進行設備管理能力系數(shù)修正，做出裝置可靠性曲線，為裝置檢修周期的確定提供理論依據(jù)。
④關鍵設備確定
根據(jù)計算分析結果，確定設備可靠性最差排名，可靠性較差的設備確定為應重點關注的關鍵設備。
展開 快速實現(xiàn)電子產品可靠性分析的方法，看這里
一、功能特色
1.總體功能
? 提供電子產品可靠性分析仿真流程；
? 實現(xiàn)仿真全過程的向導化；
? 封裝可靠性分析全流程，使用向導式界面，無仿真經(jīng)驗的設計人員，也可快速完成參數(shù)設置；
? 基于ANSYS APDL封裝Darveaux疲勞壽命模型和Manson高周疲勞經(jīng)驗公式，通過自動抽取分析結果數(shù)據(jù)，實現(xiàn)熱溫循和隨機振動疲勞壽命預測；
? 封裝電子產品遵循的Weibull失效分布模型，給出電子產品循環(huán)次數(shù)與失效率分布曲線，快速評估不同循環(huán)次數(shù)下產品的可靠性。
2.設計參數(shù)、仿真數(shù)據(jù)文件管理
? 對模型庫文件和產生的過程數(shù)據(jù)文件進行統(tǒng)一管理；
? 對可靠性分析過程中定義的參數(shù)進行有效管理，并能夠基于參數(shù)對仿真過程進行驅動。
3.插件式擴展接口
針對于高級用戶，可對模型庫中模型進行擴展，同時，前處理模塊、仿真分析模塊及后處理模塊均支持插件式擴展。
二、應用案例
案例1：封裝結構溫度沖擊疲勞壽命分析
某BGA封裝設計，需要快速評估各設計參數(shù)對封裝結構溫度沖擊疲勞壽命的影響。利用電子封裝可靠性軟件內置的模型，實現(xiàn)了快速參數(shù)化建模，仿真計算得到了溫度沖擊循環(huán)條件下焊球的應力、應變、蠕變應變能密度，通過基于能量的Darveaux公式分析得到了焊球溫度沖擊疲勞壽命。
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