Delaunay三角剖分的案例
非結構化網格：Voronoi 圖和 Delaunay 三角剖分
德勞內三角剖分
德勞內三角剖分
Delaunay 三角剖分是一種有助于將平面中的離散點集劃分以形成一組三角形的算法。雖然有許多方法可以實現三角剖分，但 Delaunay 三角剖分的不同之處在于：
每個三角形的外接圓僅包含給定三角形的三個頂點。
這個三角形的外接圓內不存在頂點。
三角形是等角的或有非常輕微的變化。
如果生成的網格不夠精細，可以通過插入額外的點來細化以提高分辨率。這種方法的優點是提高了精度并完全反映了幾何的自然邊界。
Delaunay 三角剖分的另一個好處包括構建 Voronoi 圖。
維諾圖
Delaunay 三角剖分（黑色）和 Voronoi 圖（紅色）。
Voronoi 圖是網格生成的過程，其中根據稱為“站點”或“種子”的點的接近程度將平面劃分為較小的區域。例如，假設有多個點散布在一個平面上。對于這些點中的每一個，繪制一條距離更近且與兩個相鄰點等距的線。Voronoi 圖是通過這些線的連接形成的，它將域劃分為一組多邊形。
Voronoi 圖也被認為是 Delaunay 三角剖分的對偶。鑒于這兩種方法使用相同的點集，Delaunay 三角剖分的屬性適用于 Voronoi 圖，反之亦然。
展開 圣杯問題 I【老顧談幾何】
經驗表明，平面Delaunay三角剖分可以如下生成。給定平面離散點集，我們從任意一個三角剖分開始，任給一條邊，與其相鄰的兩個三角形構成一個四邊形。如果與此邊相鄰的兩個三角形不是Delaunay，如圖6左幀所示，則將此邊替換成四邊形的另外一條對角線，如右幀所示。這種操作被稱為是換邊操作（Edge Swap）。那么經過一系列換邊操作，我們一定能夠得到一個Delaunay三角剖分。斯杭告訴老顧，雖然算法非常成熟，并且理論上有嚴格證明，但是反過來，從Delaunay三角剖分經過一系列的換邊操作到任意給定的三角剖分，如果要求換邊操作具有某種單調性，則不存在理論上的完整證明。斯博士認為存在本質的拓撲障礙。同時，類似的算法是否可以求三維Delaunay三角剖分，這一問題長期以來懸而未決。經過大量的實驗，斯杭博士認為這一算法也存在全局的拓撲障礙，并進一步提出了許多深刻的猜想。
圖7. 黎曼映照將無窮小圓映到無窮小圓，從而保持Delaunay三角剖分。（馬明作）
Delaunay三角剖分和共形幾何之間存在深刻的內在聯系。如圖7所示，我們用黎曼映照（保角變換）將一張人臉曲面映到平面圓盤，人臉上的無窮小圓映到平面上的無窮小圓。Delaunay三角剖分的最主要特性就是“空圓性”，由此我們看到保角變換保持Delaunay三角剖分。因此曲面的測地Delaunay三角剖分可以被轉化成平面Delaunay三角剖分。歷史上，Delaunay三角剖分的算法提出于1970年代，共形幾何算法提出于2000年左右，因此這種基于共形幾何的曲面Delaunay網格化算法在工業界并不普遍。我們相信，在不久的未來，這一方法在實踐中會日益普及。
但是，這一方法無法直接向三維推廣。其主要的困難在于三流形間的保角變換基本上都是等距變換，因此我們無法用保角變換化彎為直。
展開 基于matlab二維voronoi圖生成(DXF格式 可供導入CAD/COMSOL使用） ￥50
Voronoi圖是Delaunay三角剖分的對偶圖，生成它的方法有很多 比較有名的有分治算法，掃描線算法，增量法等。但利用Delaunay三角剖分生成Voronoi圖的算法是最快的。但最快的方法則是構造Delaunay三角剖分，再連接相鄰三角形的外接圓圓心，即可以到Voronoi圖。
目前Voronoi圖應用廣泛，很多科研都需要以Voronoi圖為基本幾何結構進行仿真分析，而COMSOL憑借其強大的多物理場耦合功能在科研,工程等多方面都有廣泛的應用。若能把Voronoi圖應用到COMSOL幾何體中就能將二者的優勢結合起來。但是目前針對Voronoi圖的生成很少有介紹應用到COMSOL里的，COMSOL不支持內部生成，通過外界導入的方法網上也很少有介紹。
此貼基于matlab編程生成任意種子及邊界長與寬的Voronoi圖 而后導入到COMSOL中作為幾何體供后續仿真使用。此貼關于COMSOL的二維Voronoi幾何體生成手段也可以被用來借鑒構建三維Voronoi幾何體，詳細方法可自行研究。
展開 有限元網格剖分原理
各種RSD法的優點是網格生成完全自動，網格剖分速度快，非常適用于自適應網格生成。主要缺點是邊界單元形狀難于完全保證。另外，RSD法對物體的方向特別敏感。
(5) 結點連元法 結點連元法是先生成結點，然后連接結點構成單元。最常用的是DT法和AFM法。
① DT法的基本原理：任意給定N個平面點Pi(i=1,2,…,N)構成的點集為S，稱滿足下列條件的點集Vi為Voronoi多邊形。其中，Vi滿足下列條件：Vi ={ X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi為凸多邊形，稱{ Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation圖或對偶的Voronoi圖。連接相鄰Voronoi多邊形的內核點可構成三角形Tk，稱集合{ Tk }為Delaunay三角剖分。DT法的最大優點是遵循“最小角最大”和“空球”準則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時滿足全局和局部最優。 “最小角最大”準則是在不出現奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。 “空球”準則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體為外接球)內不包括其他結點。 實現Delaunay三角剖分有多鐘方法。Lee和Schachter操作很有效，但很難實現。而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、時間效率較好等優點而被廣泛采用。為了進一步提高效率，Sloan研究其算法操作，提出了時間復雜性為O(N)(N為結點總數)的操作方法，從而為快速Delaunay三角剖分提供了有效途徑。 雖然DT法既適用于二維域也適用于三維域，但直接的Delaunay三角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發展了多種非凸域的Delaunay剖分。
展開 
有限元網格剖分原理（轉帖）
各種RSD法的優點是網格生成完全自動，網格剖分速度快，非常適用于自適應網格生成。主要缺點是邊界單元形狀難于完全保證。另外，RSD法對物體的方向特別敏感。
(5) 結點連元法 結點連元法是先生成結點，然后連接結點構成單元。最常用的是DT法和AFM法。
① DT法的基本原理：任意給定N個平面點Pi(i=1,2,…,N)構成的點集為S，稱滿足下列條件的點集Vi為Voronoi多邊形。其中，Vi滿足下列條件：Vi ={ X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi為凸多邊形，稱{ Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation圖或對偶的Voronoi圖。連接相鄰Voronoi多邊形的內核點可構成三角形Tk，稱集合{ Tk }為Delaunay三角剖分。DT法的最大優點是遵循“最小角最大”和“空球”準則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時滿足全局和局部最優。 “最小角最大”準則是在不出現奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角?br /> 途笥諶魏畏荄elaunay剖分所形成三角形最小角之和。 “空球”準則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體為外接球)內不包括其他結點。 實現Delaunay三角剖分有多鐘方法。Lee和Schachter操作很有效，但很難實現。而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、時間效率較好等優點而被廣泛采用。為了進一步提高效率，Sloan研究其算法操作，提出了時間復雜性為O(N)(N為結點總數)的操作方法，從而為快速Delaunay三角剖分提供了有效途徑。 雖然DT法既適用于二維域也適用于三維域，但直接的Delaunay三角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發
展了多種非凸域的Delaunay剖分。
展開 有限元網格剖分方法概述
“最小角最大”準則是在不出現奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。“空球”準則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體為外接球)內不包括其他結點。
DT 技術發展到現在, 已經出現了大量的不同算法。一般可以將其分為以下三大類：以Bower 和Green、Sibsos 為代表的Voronoi方法；以Watson 為代表的空外接圓法和以Lawson 為代表的對角線交換算法。一般來說,直接計算Voronoi 圖的方法比較復雜, 所需內存大, 計算效率低。隨著直接計算DT 方法的出現, 這類方法現已很少采用。Lawson 算法特別適用于二維Delaunay 三角化, 它不存在象Watson 算法中出現的退化現象, 對約束情況同樣適用, 計算效率高。但在三維情況下, 對角線交換的推廣變成了對角面交換, 而對角面交換將可能改變區域體積和外邊界, 因此Lawson 算法不能直接推廣到三維情況。Watson 算法概念簡單, 易于編程實現,也能夠實現約束三角化, 而且通過一些適當修改, 例如, 增加每一單元的相鄰單元數據結構等, 可以將對三角形的搜索局限在新點所在單元的近鄰之中, 從而大大提高了原算法效率, 因此該法的應用頻度最廣。但該法也有一些不足：即出現所謂退化現象或產生所謂Sliver 單元。
雖然Delaunay 三角化方法在2D 平面區域問題中取得了相當大的成功, 但在3D 情形, 基于最大2最小角判據的對角線交換規則不再成立, 而基于外接圓判據的Delaunay 三角化一般也不再能保證生成的網格質量。非常遺憾的是, 這是Delaunay 三角化的本質弱點。
展開 有限元網格剖分 (轉自中科大有限元論壇）
各種RSD法的優
點是網格生成完全自動，網格剖分速度快，非常適用于自適應
網格生成。主要缺點是邊界單元形狀難于完全保證。另外，RSD
法對物體的方向特別敏感。
(5) 結點連元法
結點連元法是先生成結點，然后連接結點構成單元。最常用的
是DT法和AFM法。
① DT法的基本原理：任意給定N個平面點Pi(i=1,2,…,N)構成的
點集為S，稱滿足下列條件的點集Vi為Voronoi多邊形。其中，Vi
滿足下列條件：Vi={ X:|X- Pi|(|X- Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N
}Vi為凸多邊形，稱{Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation圖或對偶
的Voronoi圖。連接相鄰Voronoi多邊形的內核點可構成三角形Tk，
稱集合{Tk}為Delaunay三角剖分。DT法的最大優點是遵循“最小角
最大”和“空球”準則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delau
nay三角剖分才同時滿足全局和局部最優。
“最小角最大”準則是在不出現奇異性的情況下，Delaunay三角
剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角
之和。
“空球”準則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體
為外接球)內不包括其他結點。
實現Delaunay三角剖分有多鐘方法。Lee和Schachter操作很有效，
但很難實現。而Watson、Cline和Renka、Sloan因操作容易、時
間效率較好等優點而被廣泛采用。為了進一步提高效率，Sloan研
究其算法操作，提出了時間復雜性為O(N)(N為結點總數)的操作
方法，從而為快速Delaunay三角剖分提供了有效途徑。
雖然DT法既適用于二維域也適用于三維域，但直接的Delaunay三
角剖分只適用于凸域，不適用于非凸域，因此發展了多種非凸域
的Delaunay剖分。
展開 Delaunay 細化網格生成
作者Cadence PCB 解決方案
關鍵要點
Delaunay 細化網格生成是平滑初始粗網格以捕獲復雜幾何結構中流固相互作用細節的過程。
該過程涉及將節點添加到現有網格并將流體和結構網格組合起來以精確捕獲變形。
CFD 工具提供專門的模擬選項，例如任意拉格朗日-歐拉，以解釋流固耦合的影響。
Delaunay 細化網格生成示例
計算流體動力學 (CFD) 中流動模型仿真的準確性在很大程度上取決于網格生成的質量。考慮到它們對各種幾何形狀的準確性和網格劃分靈活性，用于生成三角形網格的選項是有效的。Delaunay 三角剖分是為高度定義的不規則幾何體生成非重疊三角形的有用方法。
通常，必須實施一組特定的算法才能從 Delaunay 三角剖分中生成高質量的元素。這就是 Delaunay 細化網格生成的過程。讓我們詳細討論這個概念，并探索它在捕獲流體流動的流體-結構相互作用方面的好處。
Delaunay 細化網格生成
Delaunay 細化的主要目的是提高網格的質量。Delaunay 三角剖分包括將離散點集劃分為一組符合 Delaunay 準則的非重疊三角形。需要注意兩點：
→ 任何頂點都不應位于網格三角形的外接圓內。
→ 三角形最好是等角的，盡管可以使用不同大小的三角形。
因此，由于單元形狀良好，生成的網格更加穩定，最大限度地減少了重疊引起的數值誤差。
然而，這個初始網格很粗糙，需要細化以使其平滑。Delaunay 細化網格生成過程將額外的點插入到現有網格中，并使用 Delaunay 三角測量將它們連接起來以生成更精細的網格。這樣的網格是詳細的，因此計算是完成此任務的最可靠和最有效的方法。
展開 使用 Voronoi 圖生成高保真 CFD 網格
Delaunay 三角剖分：Voronoi 圖的幾何對偶
德勞內三角剖分
Delaunay 三角剖分 (DT)可以追溯到 1934 年，由數學家 Boris Delaunay 提出。從那時起，它在解析幾何中得到了廣泛的應用，主要用于生成表面或封閉空間的網格模型以進行邊界條件分析。
Delaunay 三角剖分的示例
Delaunay 三角剖分是由非重疊三角形組成的逐點結構，如上所示。當擴展到平面或表面時，三角形不限于均勻性。我們現在知道 Voronoi 圖將空間分割成包圍生成點的多邊形。DT是Voronoi圖中細胞的神經，稱為后者的幾何對偶。DT 主要用于創建可用于有限元分析和有限體積法求解器的網格，因為它的角度保證和快速三角測量算法可用。
使用 Voronoi 圖的 Cadence 高保真網格劃分
求解復雜的流動方程需要高度精確的網格劃分，而 Cadence CFD 產品組合提供網格劃分、求解和后處理解決方案，并與外部 CFD 工作流程兼容。網格生成是 CFD 工作流程中影響最大的步驟之一。它會影響解決方案的準確性、收斂性和仿真效率。我們強大的幾何準備功能縮短了創建高質量網格所需的時間。
有許多可用的網格化途徑。我們快速生成的混合網格使用先進的層技術來生成近壁、邊界層解析棱鏡和六面體。為了細化和調整網格，聚類源提供了對遠離墻壁、近尾流、渦流和其他流動特征的網格分辨率的控制。
使用 Fidelity Cascade 技術的 CFD 工作流程。
我們最近對Cascade Technologies 的投資擴大了我們的高保真 CFD 解決方案組合。我們現在擁有高級模擬解決方案，可以在 CPU 和 GPU 上加速以減少周轉時間，從而使系統公司能夠提高他們設計和制造的系統的耐用性和性能。
展開 CAD Voronoi圖插件 泰森多邊形 ￥199
插件采用Delaunay三角剖分算法生成三角網，進而生成Dirichlet圖。
插件可設置生成的Voronoi圖的長度、寬度、多邊形數目、自定義控制點坐標等信息。
插件會在CAD內分圖層繪制泰森多邊形、Delaunay三角網的圖像，便于導出使用。
同時插件可以將繪圖的控制點、多邊形頂點等信息導出到Excel文件內，方便分析計算。
說明提醒
插件需要注冊，注冊請聯系QQ：1135122921
對插件如有其它需求及改進建議歡迎提出。
使用手冊
CAD_Voronoi圖插件使用手冊.pdf
更新日志
2022/03/18 V1.0 版發布
1、插件發布，提供CAD繪圖及數據導出功能。
2022/03/20 V1.1 版發布
1、新增區塊最小直徑控制功能。
2、新增控制點區域擴展功能。
3、新增運行時間提醒功能。
4、優化算法，精簡插件大小。
2022/03/21 V1.2 版發布
1、新增自定義控制點坐標功能。
插件V2版本已發布：
CAD_Voronoi V2
展開 CAD Delaunay3D插件 三維德勞內三角網 ￥499
功能說明
CAD Delaunay3D插件可在AutoCAD內生成三維德勞內三角網，形成Delaunay框架。
插件提供了對齊、交錯兩種控制點布點方式：
同時可生成線狀及實體Delaunay網兩種繪圖模式：
插件生成的AutoCAD文件可導入到COMSOL、Abaqus、ANSYS等有限元軟件，進行德勞內三角網的模擬，用于骨架模型、框架結構、空間網格結構、三維孔隙骨架、拓撲結構優化等。
說明提醒
插件需要注冊，注冊后可永久使用，版本更新不影響注冊狀態，注冊請聯系QQ：1135122921。
CAD樣圖
在購買插件前可查看下列插件生成的CAD三維Delaunay三角網的樣圖，并可嘗試樣圖導入有限元軟件的情況，如無問題可購買。樣圖參數如下：
Delaunay3D.rar
展開 
深入淺出泰森多邊形Voronoi算法
算法說明
創建Voronoi圖通常需要先構建Delaunay三角網，這是因為Voronoi圖與Delaunay三角網是對偶結構，即它們之間存在一一對應關系。以下是建立Voronoi圖的一般算法：
1、首先布置Voronoi的控制點，并基于控制點構建Delaunay三角網。
2、畫出所有三角網邊的垂直平分線，垂直平分線構成Voronoi的邊，垂直平分線的交點即為Voronoi的頂點。
Voronoi軟件
如果需要快速生成Voronoi泰森多邊形二維或三維模型，可采用成熟的軟件來進行。
1、AF_Voronoi V2.0版本
可隨機生成彩色Voronoi晶格圖片或對現有的圖片進行晶格化處理。
AF_Voronoi
https://www.yqgqt.org.cn/post/1289199
2、CAD Voronoi V2.5版本
可在AutoCAD內快速生成二維的Voronoi模型，并具備區塊編碼、面積計算等功能，方便科研使用。
展開 《計算流體力學的若干新方法》
有限體積法篇
第九章 非結構網格的生成和構造
9. 1 Delaunay三角形和Delaunay三角剖分
9. 2 Rebay的非結構網格生成算法
9. 3 一個簡單的任意二維區域三角形剖分的方法
9. 4 非結構網格生成的前沿追蹤算法
9. 5 介紹一個二維Delaunay三角形剖分生成非結構網格軟件
第十章 非結構網格有限體積法
10. 1 一維問題有限體積方法的討論
10. 2 二維問題的FVM構造
10. 3 二維對流-擴散問題的FVM
練習題
五. 非標準有限元方法篇
第十一章 混合有限元方法簡介
11. 1 混合變分問題簡例
11. 2 混合變分問題和混合有限元的存在惟一性
11. 3 非線性Burgers方程的混合元方法
練習題
第十二章 運動有限元方法
12. 1 從一般FEM到moving FEM
12. 2 運動有限元方法單元分析的一般公式
12. 3 運動有限元方法單元分析的簡單實例
12. 4 運動有限元方法在非線性波問題的應用
12. 5 運動有限元方法的研究課題和進展
第十三章 間斷有限元方法
13. 1 一維守恒律問題
13. 2 二維守恒律問題的間斷Galerkin有限元方法
13. 3 對流-擴散問題的混合元方法
13. 4 守恒律方程組的間斷有限元方法
13. 5 二維可壓縮流體的間斷Galerkin有限元方法
練習題
第十四章 時空有限元方法
14. 1 流線擴散法的數值實現
14, 2 穩定性分析
14. 3 SDM的誤差分析
14. 4 SDM的發展歷史
14. 5 SDM的其他形式
六.
展開 CFD 中的女性 Kristen Karman-Shoemake
例如，我為我的 CFD 類實現了我自己的 2D Euler 解算器——用于我的網格生成類的Delaunay 三角剖分和網格平滑的代碼。我將它們全部結合起來用于我的設計優化課程（然后我將其擴展用于我的碩士研究）。
Kristen 為第 5屆推進空氣動力學研討會生成了會聚噴嘴幾何體的表面和體積網格（分別為頂部和底部圖像） 。這項工作的總結論文被進氣口、噴嘴和推進系統集成技術委員會授予 2022 年最佳論文。
了解算法工作原理背后的理論是一回事，但編寫代碼、測試它、驗證它并在整個過程中調試它是一種完全不同的體驗。盡管編程不是我當前角色的一部分，但這些經驗和“像算法一樣思考”的能力使我作為一名技術支持工程師更加有效，并且對我目前的質量保證和功能開發職責至關重要。
不工作的時候做什么？
我有一個兩歲的孩子，我在不工作的時候大部分時間都花在了照顧他上。最近，我一直在嘗試種菜園，這也是一項活動，可以消耗我兒子多余的精力！我也喜歡烘焙和做手工藝品：縫紉、編織、鉤編、十字繡等。在過去的幾年里，我一直在根據 NASA 網站上提供的圖像制作一系列太陽系的十字繡肖像。到目前為止，我已經努力到達木星。
克里斯汀的一些十字繡肖像。
您對在工程領域學習和工作的女性有何看法？
我很幸運在自己的家庭中有一個健全的支持系統在我掙扎時幫助我，但大多數人沒有。我們以前都在課堂上掙扎過。有時材料只是沒有以有意義的方式解釋。這就是你需要能夠向其他導師、助教或同伴尋求幫助的地方。
但有時，這些支持系統是不存在的，尤其是當你是班上唯一的女性時。你甚至可能成為目標。我有老師給我的評分與班上其他人不同，同學們為與“女孩”搭檔而爭吵，就像我是一個怪人或一些獎品一樣。這可能會導致不足感和孤立感，我認識很多放棄并轉而追求其他領域的女性。
我很高興看到事情正在發生變化。
展開 MATLAB“關鍵符（詞）”的說明
Delaunay 三角剖分
del2 離散Laplacian差分
demo MATLAB演示
det 行列式
diag 矩陣對角元素提取、創建對角陣
diary MATLAB指令窗文本內容記錄
diff 數值差分、符號微分
digits 符號計算中設置符號數值的精度
dir 目錄列表
disp 顯示數組
display 顯示對象內容的重載函數
dlinmod 離散系統的線性化模型
dmperm 矩陣Dulmage-Mendelsohn 分解
dos 執行DOS 指令并返回結果
double 把其他類型對象轉換為雙精度數值
drawnow 更新事件隊列強迫MATLAB刷新屏幕
dsolve 符號計算解微分方程
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A.2.5 E e
echo M文件被執行指令的顯示
展開 