守恒性的案例
CFD理論|離散方程的守恒性
為什么保證離散方程的守恒性呢？
數值計算|基本思想及常用數值方法
缺陷：數值解的守恒性無法保證、復雜幾何的適應性。
2.有限容積法（FVM，finite volume method）
計算區域劃分為一系列控制容積，每個控制容積都有一個節點來代表。
通過將守恒型的控制方程對控制容積做積分來導出離散方程
導出過程中，需要對界面上被求函數本身及其一階導數作出假定，這種構成方式就是有限容積法中的離散格式。
優勢：保證了守恒性，并且離散方程具有明確的物理意義。
3.有限元法（FEM，finite element method）
將計算域分成一系列元體，每個元體取數個點作為節點，然后通過對控制方程做積分來獲得離散方程。
與有限容積法不同，FEM需要選定形狀函數，通過節點上被求變量來表示形狀函數，積分前將其帶入控制方程。
控制方程積分前需要乘上一個權函數。
對不規則區域適應性好，但同時也加大了計算量。
4.有限分析法（FAM，finite analytic method）
與有限差分法類似，用一系列網格線將區域離散；
不同的是，每個節點與相鄰的4個網格（二維）組成計算單元，也就是說一個計算單元由一個中心節點與8個鄰點組成。
在計算單元中將控制方程的非線性項局部線性化，并對單元上未知函數的變化型線做假設，把所選定的線型表達式中的系數和常數項用單元邊界節點上未知變量值表示，這樣計算單元中的被求問題就可以轉化為第一類邊界條件下的一個定解問題，可以得到解析解。
展開 積鼎CFD VirtualFlow：航空及汽車燃油晃動流體仿真計算及試驗對比
對于Level Set 方法可能帶來的質量守恒性方面，VirtualFlow針對性采用Local+Global補償修正，避免了早期LevelSet方法的質量守恒性較差的問題，解決了相體積不守恒的數值問題。總之，VirtualFlow軟件提供的Level Set方法對于相界面的跟蹤識別的優勢是非常明顯的，非常適用于燃油晃動這種存在大尺度界面的應用領域。
算例一：某型飛機油箱燃油晃動的分析算例
本節提供了VirtualFlow軟件通過剛體運動功能實現的某型飛機油箱燃油晃動的分析算例，該飛機的油箱組成如圖所示。
圖2 飛機油箱組成
在該算例中，我們提取右側的機翼油箱作為主要計算域。其尺寸如圖所示。
圖3 機翼油箱尺寸
如圖所示，初始時刻，油箱內填充約一半的燃油（紅色部分）。
圖4 油箱初始狀態
該算例的主要參數如下表所示：
下面給出了VirtualFlow軟件計算得到的燃油晃動結果。通過VirtualFlow，用戶可以輕松地獲得晃動過程中油箱內的油面形態分布（左）以及燃油速度（右）等參數。
圖5
用戶還可以設定任意截面以獲取其上的詳細參數分布。
圖6
此外，通過壓力的積分，用戶可以輕松提取燃油晃動對油箱壁面的沖擊力
算例二：汽車剎車和加速過程中燃油箱晃動的數值模擬
汽車在剎車和加速過程中，油箱內的燃油將前后劇烈運動，燃油對油箱壁撞擊所產生的壓力影響到整個燃油系統的穩定性，此外，燃油與油箱外殼或其他內部零件碰撞產生額外的振動噪聲危害行車安全。本節提供了某型油箱在汽車剎車和加速過程中燃油箱晃動的數值模擬研究。通過該算例可以得到燃油晃動過程中油箱壁的壓力變化以及燃油液面晃動情況，為油箱優化設計提供理論指導。
展開 基于VirtualFlow的航空及汽車燃油晃動計算及實驗對比
對于Level Set 方法可能帶來的質量守恒性方面，VirtualFlow針對性采用Local+Global補償修正，避免了早期LevelSet方法的質量守恒性較差的問題，解決了相體積不守恒的數值問題。總之，VirtualFlow軟件提供的Level Set方法對于相界面的跟蹤識別的優勢是非常明顯的，非常適用于燃油晃動這種存在大尺度界面的應用領域。
算例一：某型飛機油箱燃油晃動的分析算例
本節提供了VirtualFlow軟件通過剛體運動功能實現的某型飛機油箱燃油晃動的分析算例，該飛機的油箱組成如圖所示。
圖2 飛機油箱組成
在該算例中，我們提取右側的機翼油箱作為主要計算域。其尺寸如圖所示。
編輯
圖3 機翼油箱尺寸
如圖所示，初始時刻，油箱內填充約一半的燃油（紅色部分）。
圖4 油箱初始狀態
該算例的主要參數如下表所示：
下面給出了VirtualFlow軟件計算得到的燃油晃動結果。通過VirtualFlow，用戶可以輕松地獲得晃動過程中油箱內的油面形態分布（左）以及燃油速度（右）等參數。
用戶還可以設定任意截面以獲取其上的詳細參數分布。
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垂直軸風力機數值仿真——網格篇 ￥1.2
外域的處理很簡單，對內域部分做“O”塊，做好映射，布置節點盡量保證節點過渡平順，既能保證計算穩定，也能減少交界面的誤差、保證守恒性。
4）網格質量檢查
主要查看Quality/Aspect ration/Min angle三項，網格質量能夠滿足計算的需求，經過微調網格質量還能有所提高，可自行嘗試。
5）網格導出
網格輸出為.msh文件，輸出前可以對邊界類型做好定義，這里導出時未設定類型，默認導出。
計算流體力學：淺談高精度算法
這類方法原則上可以處理任意網格和較為復雜的幾何區域，能夠保證格式的守恒性且具有良好的數值穩定性。然而這一類方法的不足之處在于，其模板通常是非緊致的，即模板不僅包含目標單元及其有公共邊的鄰居單元，通常還需要包含其鄰居單元的鄰居單元。這一特點使這一類方法在處理邊界和推廣應用于高維問題時帶來了一定的困難。
間斷有限元
另一類高精度方法以間斷有限元 (DiscontinuousGalerkin，DG) 方法為代表，通過提高相應單元上的解函數多項式的次數，增加相應單元上解函數的自由度 (Degree of Freedom，DoF) 來提高空間精度，基于類似的思想，這一類方法中其他有代表性的方法還包括：譜體積方法 (Spectral Volume，SV)，譜差分方法 (Spectral Difference，SD)，通量重構方法 (Flux Reconstruction，FR)以及最近幾年被提出的修正過程重構方法 (Correction Procedurevia Reconstruction，CPR) 。
目前，針對高精度計算格式的研究，仍然是計算流體力學研究領域的熱點問題之一。高精度格式在應用于實際工程計算中，面臨一些亟待解決和需要進一步完善的問題，需要進一步探索。
圖為 一溪清泉采用DGP2算法計算的圓柱繞流。
來源：數字仿真聯盟
展開 關于網格的一些建議
如果收斂發生震蕩，或者殘差難以收斂到機器精度（表現為在某一極限水平位置循環），這通常告訴用戶在求解過程中某些不準確性
應用內部一致性及精確性標準，通過核查：
全局守恒性。例如穩態計算中總焓及質量流量守恒
無粘流動中產生的熵以及阻力系數，這些參數強烈顯示了數值耗散效應，它們在計算中通常應當為零
在任何可能的情況下，通過分析比較不同網格尺寸下的計算結果來檢查網格獨立性
對于誤差源，一些物理量要敏感于其他物理量。例如剪切應力要比壓力曲率敏感，但是他們相對于溫度梯度或熱通量，則敏感性要低。對誤差越敏感的物理量對網格的要求越高
如果計算中出現收斂困難的問題，你可以：
觀察殘差分布以及相關物理量。例如大殘差區域或者相關流動參數的不真實性
降低收斂控制參數的值。例如CFL數以及一些亞松弛因子
確認不同初始流動條件的影響
檢查網格質量對收斂速率的影響
使用更加健壯的數值算法，例如采用一階算法計算結果作為更精確數值算法的初始值
不確定性評價上的建議
這是一個很困難的問題，因為應用不確定性通常很難進行定義，而且需要對流動的物理現象有良好的認識。這里有一些建議：
試圖列舉最重要的不確定因素，例如
關于CAD定義的幾何簡化以及制造精度
操作條件，如進口速度或者進口流動角度
物理現象近似，例如在低馬赫可壓縮流動中采用不可壓縮流動。這類不確定性是可管理的，因為它們比較容易被量化
關于湍流或其他物理模型的不確定性
對于相關的不確定性進行靈敏性分析
展開 [轉載]CFD使用中的一些建議
如果收斂發生震蕩，或者殘差難以收斂到機器精度（表現為在某一極限水平位置循環），這通常告訴用戶在求解過程中某些不準確性
應用內部一致性及精確性標準，通過核查：
全局守恒性。例如穩態計算中總焓及質量流量守恒
無粘流動中產生的熵以及阻力系數，這些參數強烈顯示了數值耗散效應，它們在計算中通常應當為零
在任何可能的情況下，通過分析比較不同網格尺寸下的計算結果來檢查網格獨立性
對于誤差源，一些物理量要敏感于其他物理量。例如剪切應力要比壓力曲率敏感，但是他們相對于溫度梯度或熱通量，則敏感性要低。對誤差越敏感的物理量對網格的要求越高
如果計算中出現收斂困難的問題，你可以：
觀察殘差分布以及相關物理量。例如大殘差區域或者相關流動參數的不真實性
降低收斂控制參數的值。例如CFL數以及一些亞松弛因子
確認不同初始流動條件的影響
檢查網格質量對收斂速率的影響
使用更加健壯的數值算法，例如采用一階算法計算結果作為更精確數值算法的初始值
不確定性評價上的建議
這是一個很困難的問題，因為應用不確定性通常很難進行定義，而且需要對流動的物理現象有良好的認識。這里有一些建議：
試圖列舉最重要的不確定因素，例如
關于CAD定義的幾何簡化以及制造精度
操作條件，如進口速度或者進口流動角度
物理現象近似，例如在低馬赫可壓縮流動中采用不可壓縮流動。這類不確定性是可管理的，因為它們比較容易被量化
關于湍流或其他物理模型的不確定性
對于相關的不確定性進行靈敏性分析
展開 以實驗的眼光對待CFD[轉]
此方法的最大優勢在于：能很好的保持各項的守恒性，且對于非結構網格適應性很好。
我們如何對CFD進行定位？
CFD是一種技術、一種工具或者說是一種手段，它計算的結果是離散的。這和我們常見的實驗具有相同的特征。
我們平時做實驗，都是先進行試驗設計，包括試驗參數確定、試驗過程控制、以及試驗結果分析。而CFD計算，則包括前處理、計算以及后處理，這三個步驟分別對應試驗的三個步驟。對于試驗結果獲取，通常我們采用的是儀器測量，受試驗條件和試驗人員的影響，我們僅能測量少數位置的數據，而對于CFD計算結果，我們幾乎可以獲得全場信息。在這方面，CFD是具有優勢的。
在很多時候，我們完全可以將CFD當做是計算機模擬試驗。從實驗的規劃到試驗過程控制，以至于最終的試驗結果分析，我們完全可以采用現實試驗的步驟進行處理。但是，在利用CFD計算過程中，我們需要格外注意一下的一些問題：
（1）邊界條件。CFD中的邊界與現實中不一定重合。在不重合的情況下，我們如何去確定邊界條件。由于邊界條件直接決定計算結果的正確性，正確且準確的給定邊界條件，是計算成功的前提。
（2）計算結果評定。CFD計算完畢后，我們如何判定計算結果的優劣。現實試驗要求具有再現性，CFD計算結果不要求再現性（這個是自然滿足的），但是卻要求網格獨立性。即要求計算結果隨網格變化可忽略。
展開 CFD使用中的一些建議
如果收斂發生震蕩，或者殘差難以收斂到機器精度（表現為在某一極限水平位置循環），這通常告訴用戶在求解過程中某些不準確性
應用內部一致性及精確性標準，通過核查：
全局守恒性。例如穩態計算中總焓及質量流量守恒
無粘流動中產生的熵以及阻力系數，這些參數強烈顯示了數值耗散效應，它們在計算中通常應當為零
在任何可能的情況下，通過分析比較不同網格尺寸下的計算結果來檢查網格獨立性
對于誤差源，一些物理量要敏感于其他物理量。例如剪切應力要比壓力曲率敏感，但是他們相對于溫度梯度或熱通量，則敏感性要低。對誤差越敏感的物理量對網格的要求越高
如果計算中出現收斂困難的問題，你可以：
觀察殘差分布以及相關物理量。例如大殘差區域或者相關流動參數的不真實性
降低收斂控制參數的值。例如CFL數以及一些亞松弛因子
確認不同初始流動條件的影響
檢查網格質量對收斂速率的影響
使用更加健壯的數值算法，例如采用一階算法計算結果作為更精確數值算法的初始值
不確定性評價上的建議
這是一個很困難的問題，因為應用不確定性通常很難進行定義，而且需要對流動的物理現象有良好的認識。這里有一些建議：
試圖列舉最重要的不確定因素，例如
關于CAD定義的幾何簡化以及制造精度
操作條件，如進口速度或者進口流動角度
物理現象近似，例如在低馬赫可壓縮流動中采用不可壓縮流動。這類不確定性是可管理的，因為它們比較容易被量化
關于湍流或其他物理模型的不確定性
對于相關的不確定性進行靈敏性分析
轉自公眾號——ANSYS學習與應用
旨在分享，若侵即刪.
展開 以實驗的眼光對待CFD
此方法的最大優勢在于：能很好的保持各項的守恒性，且對于非結構網格適應性很好。
我們如何對CFD進行定位？
CFD是一種技術、一種工具或者說是一種手段，它計算的結果是離散的。這和我們常見的實驗具有相同的特征。
我們平時做實驗，都是先進行試驗設計，包括試驗參數確定、試驗過程控制、以及試驗結果分析。而CFD計算，則包括前處理、計算以及后處理，這三個步驟分別對應試驗的三個步驟。對于試驗結果獲取，通常我們采用的是儀器測量，受試驗條件和試驗人員的影響，我們僅能測量少數位置的數據，而對于CFD計算結果，我們幾乎可以獲得全場信息。在這方面，CFD是具有優勢的。
在很多時候，我們完全可以將CFD當做是計算機模擬試驗。從實驗的規劃到試驗過程控制，以至于最終的試驗結果分析，我們完全可以采用現實試驗的步驟進行處理。但是，在利用CFD計算過程中，我們需要格外注意一下的一些問題：
（1）邊界條件。CFD中的邊界與現實中不一定重合。在不重合的情況下，我們如何去確定邊界條件。由于邊界條件直接決定計算結果的正確性，正確且準確的給定邊界條件，是計算成功的前提。
（2）計算結果評定。CFD計算完畢后，我們如何判定計算結果的優劣。現實試驗要求具有再現性，CFD計算結果不要求再現性（這個是自然滿足的），但是卻要求網格獨立性。即要求計算結果隨網格變化可忽略。
轉自公眾號——ANSYS學習與應用
旨在分享，若侵即刪.
展開 
《計算流體力學的若干新方法》
穩定性和收斂性
2. 2 有限差分方法和其他數值方法的守恒性. 單調性問題
2. 3 差分格式和其他數值方法的迎風性設計
2. 4 間斷解, 或者弱解的一些重要概念
2. 5 Riemann問題的數值解方法
練習題
第三章 有限差分方法的數值耗散. 數值色散和數值群速度效應
3. 1 在數值模擬中存在的某些奇怪現象
3. 2 有限差分格式的modifiedPDE和格式余項效應分析方法
3. 3 數值模擬中所發生的奇怪現象的解釋
3. 4 有限差分格式的改造. 改進和優化
3. 5 差分格式的modifiedPDE的推導軟件
練習題
二. 間斷解問題篇
第四章 間斷分解和Riemann問題的特征表示
4. 1 空氣動力學中的間斷解問題
4. 2 激波管問題的間斷分解
4. 3 Riemann間斷解的特征構造方法
4. 4 Riemann間斷分解問題的特征表示
練習題
第五章 Riemann間斷分解問題的Roe解法
5. 1 Roe方法的基本思想
5. 2 一維問題的Roe參向量和近似Riemann解算子
5. 3 二維淺水波問題的Roe參向量和近似Riemann解算子
5. 4 Roe的三維守恒律問題的參向量和解算子
5. 5 Roe方法提高求解精度的關鍵和存在的問題
練習題
第六章 積分平均型間斷解方法的設計和討論
6. 1 積分平均型守恒. 單調格式的一般構想
6. 2 VanLeer的MUSCL方法的構造
6. 3 Collela和Woodward的PPM
6. 4 積分平均格式構造的進一步討論
練習題
三.
展開 采用笛卡爾網格的積鼎Virtualflow，如何平衡CFD模擬的精度與效率？
后期發展的清晰界面方法，可以將界面處的精度提高至二階，但不滿足格式守恒性。切割單元方法一般結合有限體積方法使用，具備二階精度，且嚴格遵守離散守恒律。但對于三維問題，特別是三維動邊界問題，處理復雜。</p><p>為提高邊界附近的捕捉精度，可以通過一些方法對笛卡爾網格進行“局部加密”。加密方法有兩種。一是叉樹型方法，對于三維笛卡爾網格，一般采用八叉樹的方法，在邊界附近進行網格加密。二是“塊加密”方法，即使用更加緊密的笛卡爾網格塊，給邊界附近的網格區域“打補丁”，與嵌套網格類似。叉樹型方法結構復雜，但具有更好的動態負載均衡性。塊加密的方法，存儲結構相對簡單。</p><h3><strong>笛卡爾網格有哪些優勢？</strong> </h3><ul><li><strong>計算效率高：</strong>由于網格的規則性，笛卡爾網格便于實現高效的算法，如快速傅里葉變換(FFT)、線迭代和幾何多重網格方法，這些算法能夠顯著提高求解效率，加速流體仿真過程，減少計算資源的消耗。</li><li><strong>邊界處理靈活：</strong>盡管笛卡爾網格在處理復雜幾何形狀時需要較多的網格數量來保持求解精度，但上述基于笛卡爾網格的加密技術，可有效緩解這一挑戰。</li><li><strong>數值穩定性強：</strong>結構化網格的規則性有利于保持數值計算的穩定性，尤其是在求解偏微分方程時，能夠有效避免因網格扭曲導致的數值誤差。</li><li><strong>易于并行計算：</strong>笛卡爾網格的規則分布天然適合于并行計算環境，能夠輕松地將計算任務分配到多個處理器上，保持負載相對均衡，縮短仿真計算時間。</li></ul><h3><strong>結果及分析與非結構化網格的對比優勢？
展開 談談常見的幾種CFD算法－FVM FDM FEM MPS SPH LBM究竟有什么區別
FVM的優點：1、具有很好的守恒性。2、更加靈活的假設，可以克服泰勒展開離散的缺點。3、可以很好的解決復雜的工程問題。對網格的適應性很好。4、在進行流固耦合分析時，能夠完美的和有限元法進行融合。
2. FDM-有限差分法
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
FDM的基本思路：按時間步長和空間步長將時間和空間區域剖分成若干網格，用未知函數在網格結(節)點上的值所構成的差分近似代替所用偏微分方程中出現的各階導數，從而把表示變量連續變化關系的偏微分方程離散為有限個代數方程，然后解此線性代數方程組，以求出溶質在各網格結(節)點上不同時刻的濃度。
3. FEM-有限元法
有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
展開 硬核干貨—詳解網格對CFD結果的影響
將數據存儲在網格節點即有限元法，對單個網格通量的計算，沒有局部守恒性，只能保證全局守恒，也就是說，只能保證域邊界上的凈通量是平衡的。而有限體積法中，計算通量，對每個網格的面進行積分，可保證局部守恒，即每個網格上的通量都是守恒的，因而全局通量也是守恒的，具有明確的物理意義。
2 網格的通量
對網格進行積分需要計算網格通量，對于表面積分，使用求積近似計算表面積分，積分用網格單元面上同一位置處的變量值表示。采用二階中點規則，即按照網格單元面中心處的值與網格單元面網格面積的乘積計算積分。對于體積積分，通過計算網格單元中心處的源項的平均值與該網格單元體積的乘積得到近似體積積分。
綜上，在建立網格時，建議扭曲度控制在85度，體積變化控制在0.01（小體積除以大體積）以上。
如下為后臺階湍流的模擬，網格增長率為1.3和1.4時，相比于1的增長率，與實驗的結果的偏差逐漸增大。
三角形網格1的增長率
三角形網格1.3的增長率
三角形網格1.4的增長率
5 邊界層網格
所謂邊界層就是流體分析物質表面接觸時，物體表面的流體分子粘在一起，減慢了鄰近分子的速度，這種效應從表面向上傳播，產生一個邊界層。
流體在大雷諾數下作繞流流動時，在離固體壁面較遠處，粘性力比慣性力小得多，可以忽略；但在固體壁面附近的薄層中，粘性力的影響則不能忽略，沿壁面法線方向存在相當大的速度梯度，這一薄層叫做邊界層。流體的雷諾數越大，邊界層越薄。
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