概率的案例
北航：航空發動機典型結構概率設計技術
結構概率設計數據庫的建立
制約結構概率設計技術在先進航空發動機研制中推廣應用的核心因素是缺乏材料、工藝和使用中數據的長期積累和有效管理。同時，發動機典型結構的概率設計方法包括其中用到的隨機因素概率模型、失效模式概率模型等必須經過大量的試驗驗證才能實現有效的工程應用。因而，必須發展和建立發動機典型結構概率設計數據庫，不斷積累寶貴數據，并與發動機概率設計平臺有機融合使用，為發動機結構概率設計提供數據支撐。
結束語
發動機結構概率設計可量化風險，在滿足可靠性要求的情況下減輕重量，是解決先進航空發動機研發瓶頸的最有潛力的關鍵技術之一。結構概率設計正逐漸用于我國先進航空發動機關鍵件的研制，局部得到了應用，效果初顯。結構概率設計與材料工藝、多學科優化相結合是未來的發展方向。
文章來源：兩機動力先行
展開 Updated---邊坡穩定性概率分析數據集(Probabilistic Approach)
1 引言
隨著計算巖土力學技術的發展，邊坡穩定性的概率分析技術越來越多地在實踐中得到了應用。在過去三年的邊坡工程課程教學中，逐漸進化出一個完善的邊坡穩定性概率分析數據集，包括多種先進的計算工具。
巖石邊坡穩定性概率分析
巖石邊坡楔形體穩定性概率分析(3)---節理剪切強度的隨機分布
巖石邊坡楔形體穩定性概率分析(Probabilistic Analysis)---Part 2
巖石邊坡楔形體穩定性概率分析(Probabilistic Analysis)---Part 1
巖石邊坡平面滑動的概率分析
巖石邊坡工程課程---巖體物理力學參數的經驗估算(C6)
《邊坡工程》課程總結
[重點]巖石邊坡工程課程---邊坡工程分析與設計(C4)
巖石邊坡楔形體穩定性概率分析(3)---節理剪切強度的隨機分布
邊坡穩定判別準則---安全系數FOS和破壞概率POF
貝葉斯定理(Bayes theorem)確定邊坡破壞的概率
最新的課程設計更新(SSGeotech, 77648)和優化了文獻數據，包括按照時間順序對文獻進行了重新排列，增加了Slope/W, Plaxis LE 和 SoilWorks的算例，比較了各種強度模型和概率模型以及各種計算工具的優缺點，特別強調了如何在實際的工程項目中建立模型以及如何解釋計算結果。
有一點兒需要說明的是自從Baecher【Baecher G.B. 第59屆太沙基講座 (TL59): 巖土風險和可靠性分析】提出巖土可靠性分析(Reliability Analysis)以來，一些研究者喜歡使用"可靠性"這個術語。不過，盡管破壞概率和可靠性可以相互轉換，但是在邊坡穩定性分析領域中，我們仍然偏愛使用簡單易懂的"破壞概率"評價邊坡的穩定性。
展開 [推薦]利用Ansys的概率分析功能實現結構的可靠性分析
2.2 進入概率分析模塊，選定分析文件
2.3 聲明輸入輸出變量
a.聲明所有的輸入變量和它們所屬的分布類型以及分布參數;
b.聲明所有的輸出變量。
2.4選擇概率分析方法
在利用Ansys進行概率分析時可以有兩種方法，蒙特卡洛模擬法和響應面方法。如果選擇蒙特卡洛方法，還要選擇循環的次數。
2.5運行概率分析
2.6查看概率分析的結果
在概率分析中，可以查看統計分析結果、趨勢分析結果，還可以直接形成報告。在統計分析結果中可以看到每個樣本的計算結果、輸出變量的分布函數曲線、變量在某一數值的概率或某一概率下變量的數值范圍。趨勢分析結果中可以看到各變量的敏感性、相關矩陣等，直接形成報告可以直接形成分析結果和分析過程的HTML格式的報告。
3.用Ansys進行可靠性分析
在可靠性分析中，假設極限狀態函數為：
Z=g(X)=f(x1,x2,…,xn)
其中，X為所有不確定量組成的向量。
g(X)≤0為失效狀態。
由可靠性理論可知，求一個結構的可靠度就是求極限狀態函數g(X)大于0的概率。所以，可以利用Ansys的概率分析功能，計算g(X)大于0的概率，就得到了結構的可靠度。
4. 可靠性分析應用實例
4.1問題的描述
如圖1所示,分析一個扳手的使用可靠性，假設扳手在使用時，圖中所有標a的點固定不動，在b處施加力F。根據應力－強度干涉理論，在扳手的使用過程中，不允許出現應力超過屈服強度的事件發生，如果應力超過屈服強度則認為扳手失效，所以扳手的失效準則為：
σmax≥σs
其中，σmax為扳手上在使用中出現最大應力；
σs為扳手材料的屈服強度。
則極限狀態函數為：g(X)= σs- σmax
g(X) ≤0 為失效狀態。
展開 尺寸鏈入門篇-概率法概述
繪制尺寸鏈圖如下：
按照概率法公式計算（默認各個零件分布狀態為正態3σ分布，取置信水平P=99.73%）：
尺寸鏈方程：X=C-A-B（通過人工獲得組成環的增減性和傳遞系數，列出方程組）
A的中間偏差為：Δ1=（0.1-0.05）/2=0.025mm；
B的中間偏差為：Δ2=（-0.1-0.2）/2=-0.15mm；
C的中間偏差為：Δ3=（0.2+0.1）/2=0.15mm；
計算封閉環參數：
在DCC軟件里可通過選擇“概率法”計算方法快速計算結果：
通過軟件可以自動生成方程組，自動計算傳遞系數，自動判斷各組成環增減性。
概率法計算得到的間隙值為：0.172-0.378mm；
從上篇中可以看到該案例極值法的計算間隙為: 0.1-0.45mm，通過對比可以發現用概率法計算的間隙要小一些。反之，在滿足相同的功能要求的情況下（一定間隙值），通過概率計算獲得的組成環公差值的范圍要比極值法獲得的公差要大一些，降低了零件加工成本，但需要注意的是企業應具有適當的措施排除個別產品超出公差范圍或極限偏差的情況。
根據數理統計學的論證，許多非正態分布綜合后更接近于正態分布，而且是組成因素愈多，愈接近于正態分布，所以概率法更適用于組成環數量多或企業生產工藝成熟、大批量生產以及小批量多批次等場合。
展開 
汽車撞擊實驗概率分析
NESSUS概率故障樹正確地考慮了相關事件并通過系統級概率敏感性因子為設計安全性汽車提供額外信息。NESSUS框架結合了高效、健壯的概率方法，并為概率設計復雜系統的實際應用提供快速運行的近似性能模型。
系統可靠度分析關鍵是正確評估汽車性能特別是評估重新設計分析的系統級概率敏感性因子。確定的參數，如硬度/強度參數可以提高箱體損失性能度量的可靠度，但對削弱人體受傷的撞擊脈沖不利。系統模型正確地考慮了底事件的公共變量，因此可以正確地確定系統級的重要變量。
通過使用NESSUS軟件，概率力學的應用證明了概率分析結果如何考慮復雜動力，材料非線性以及大應變以及接觸非線性來提高汽車的防撞且對車內人員安全。特別是，通過11個指定設計的更改，車內人員的安全從原來30%增加到90%。
Key Publications:
Riha, D.S., Hassan, J.E., Forrest, M.D., and Ding, K., “Stochastic Approach for Vehicle Crash Models,” 2004 SAE全球博覽會會刊
來源：中國可靠性（可靠性論壇）
展開 地震災害概率分析(PSHA--Probabilistic Seismic Hazard Analysis)
1999年臺灣9.21地震造成橋墩破壞
3 PSHA的步驟
PSHA是基于概率分析的方法，因此需要假定概率表達式，通常假定每個潛在震源區地震活動性滿足三個分布：潛在震源區內地震活動為均勻分布；潛在震源區內地震震級大小滿足G-R分布；潛在震源區內地震發生頻次滿足泊松分布。PSHA的操作步驟如下：
(1) 劃分潛在震源區：依據地震構造特征確定未來地震可能的空間分布模型；
(2) 建立潛在震源區地震復發模型：依據地震發生規律確定地震發生的震級分布模型；
(3) 建立地震動預測模型：依據地震動衰減特征確定用于計算地震在場點產生的地震動大小的預測方程，并確定反映其隨機不確定性大小的概率分布模型，通常假定滿足對數正態分布；
(4) 計算場點的地震危險性：確定地震發生頻次的概率分布模型，并綜合所有潛在震源區內地震的影響，得到場點地震動參數的年超越概率曲線。
展開 哈佛大學鎖志剛教授、西安交大盧同慶教授、斯坦福大學Blanchet教授《Matter》: 高通量實驗設計用于預測材料小概率斷裂
通過最大似然估計法擬合三個參數，并對于任一給定的累計概率函數計算95%置信區間。高度可信的擬合結果要求大多數數據落在95%置信區間內，準確的擬合結果要求95%置信區間很窄。實驗測得的累積分布函數在全數據范圍內近似服從Weibull分布(圖3a)。計算得到的95%置信區間雖然窄，但是許多數據點落在置信區間外，Weibull分布不能很好地擬合全體實驗數據。
為了研究小概率斷裂，他們將圖14a中的區域放大(圖3b)。與全局擬合類似，大量數據落在95%置信區間外。也就是說，使用所有4000個測試試樣數據的Weibull分布擬合無法在具有較高置信度的前提下預測包括小概率事件在內的實驗數據。
他們采用Peak-over-threshold方法來獲得準確可靠的小概率斷裂預測。采用Peak-over-threshold方法后，4000個試樣中只有率先斷裂的255個試樣用于Weibull分布擬合。使用這個方法后，所有數據點均落在95%置信區間里(圖3c)。例如，他們定義一個小概率事件 F（λ）= 0.1%, 對應于4000個試樣中先斷裂的4個試樣。對于“0.1%斷裂”的小概率事件，測得的斷裂拉伸比為 λ= 1.7111，Weibull擬合結果為 λ= 1.7166，95%置信區間為1.7056 < λ < 1.7288。在95 %的高置信度下，拉伸比擬合區間很窄，該預測精度能夠滿足大多數應用。通過Peak-over-threshold 方法，Weibull分布能夠預測小概率斷裂。
通常來說，獲得4000個斷裂試樣的斷裂數據是不可能的，工程師只能使用少量的測試試樣來預測小概率斷裂。他們通過隨機選取試樣來模擬少量試樣的情況。
展開 《機械概率設計與模糊設計》
全書共12章，第一章介紹了工程設計中事物不確定性的涵義與哲學概念，機械概率設計與模糊設計的研究內容和特點。第二章至第五章全面闡明了概率設計的原理、分析方法和數據獲得的方法及機械概率設計的應用舉例。第六章闡述了機械可靠性優化設計的方法及行星減速器、圓柱齒輪減速器的可靠性優化設計。第七章至第九章介紹了系統可靠性設計、故障模式影響及危害性分析和故障樹分析、維修系統的可靠性設計。第十章至第十二章系統地介紹了機械模糊設計的理論基礎、機械模糊優化設計和模糊概率設計的原理與方法，并探討了它們在機械設計中的廣泛應用。
本書除作為機械工程學科有關專業的研究生教材外，對書中內容稍加選擇，也可供本科機械工程有關專業教學用，并可供廣大工程技術人員學習和參考。
展開 強度參數反分析(Back Analysis of Material Properties)---敏感性分析和概率分析
雖然選擇和定義變量的方法相同，但敏感性分析與概率分析的目的和結果還是有所區別的，在敏感性分析中，每次只改變一個單一的變量，而所有其他的變量都保持不變，計算時取其平均值。
3 Two-Way敏感性分析
上面進行的敏感性分析可以稱之為One-Way分析，意指一次只設定一個自由變量，其余變量固定，Plaixs LE提出了一種Two-Way敏感性分析方法，可以同時設置兩個自由變量，從而產生類似上述概率分析的結果，下圖所示的是使用這種方法產生的安全系數等值線圖。
4 結束語
已經建立了一個新的反分析(back analysis)數據集，創建這個數據集的主要目的是調查真實案例的巖體參數強度值以此來擴充巖體參數數據庫，對具體的計算過程不感興趣。另一方面，目前的敏感性分析和概率分析主要應用在極限平衡法中，在有限元或離散元中應用由于計算工作量太大而變得不適用，特別是使用FLAC3D或3DEC進行反分析計算時間太長。
展開 邊坡穩定性概率分析的一些新技術
1 引言
邊坡穩定性概率分析【Updated---邊坡穩定性概率分析數據集(Probabilistic Approach)】的流行需求導致了一些新技術的發展。這個筆記簡要回顧了近期出現的一些新技術，主要包括取樣方法(Sampling Method)和空間變異性(Spatial Variability)。
2 取樣方法
概率分析的核心是取樣方法，取樣方法決定了取樣時隨機輸入變量的統計分布方式，傳統的取樣方法采用Monte Carlo和Latin Hypercube【巖石邊坡楔形體穩定性概率分析(Probabilistic Analysis)---Part 1】，近期一些軟件開發者發展出兩種新的取樣方法：APEM 和Response Surface。
2.1 APEM
APEM(Alternate Point Estimation Method)取樣方法混合了泰勒極數法(Taylor Series Method)和點估計法(Point Estimation Method)。Monte Carlo分析的主要缺點之一是需要大量的模型運行以確定每個輸入變量對安全系數影響的相對可信度。APEM可以大大減少進行統計分析所需的模型運行數量，其作用與Latin Hypercube類似 。
2.2 Response Surface
Response Surface反應面取樣方法使用少量通過機器學習戰略性選擇的樣本來產生安全系數的響應面，然后預測任何取樣組合的安全系數來估算破壞概率。盡管許多驗證實例證明它與Latin Hypercube結果一致，但不能保證結果完全相同。
展開 機械概率設計與模糊設計
機械概率設計與模糊設計
作 者：
朱文予
出 版 社：
高等教育出版社
出版日期：
版次：
I S B N：
704009933
頁數：
344
開 本：
現貨
印張：
包 裝：
字數：
原 價：
￥29.7
第一章 緒論
1-1 工程設計中事物的不確定性
1-2 機械可靠性設計的特點與研究內容
1-3 機械模糊設計的研究內容與特點
第二章 概率設計的基本理論
2-1 產品的可靠性指標
2-2 零件可靠度的普遍方程
2-3 幾種常用分布的可靠度計算
2-4 可靠性安全系數
第三章 概率設計的分析方法
3-1 干涉面積法
3-2 隨機變量的代數運算
3-2 一次二階矩法——泰勒級數近似求解法
3-3 設計驗算點法
3-4 當量正態分析法
3-5 蒙特卡洛(Mont Carto)模擬法
第四章 機械零件可靠性數據的獲得
4-1 可靠性數據的收集方法
4-2 載荷的統計處理
4-3 應力和強度分布及其分布參數的確定
4-4 分布狀態的疲勞曲線與極限應力線圖
第五章 機械零件概率設計舉例
5-1 穩定變應力下的可靠度計算
5-2 不穩定變應力下的可靠度計算
5-3 螺栓聯接的可靠性設計
5-4 軸的可靠性設計
5-5 齒輪傳動的可靠性設計
5-6 滾動軸承的可靠性設計
第六章 機械可靠性優化設計
6-1 系統可靠度優化分配的動態規劃法
6-2 系統可靠度優化分配的多階段決策算子法
6-3 機械強度可靠性優化設計
6-4 HZT型工程機械行星減速器可靠性優化設計
6-5 三級同軸式斜齒圓柱齒輪減速器的可靠性優化設計
展開 
可靠性分析入門1_概率論術語及說明
通過Excel，Minitab軟件可以很簡單得到某個區域的概率。</p><p>！！！</p><p>為什么有Z變換？無軟件，能夠借助查標準正態表就能方便地得到概率。</p><p>但是不借助軟件，需要通過Z變換進行歸一化，將某個測量值X0轉換為Z（0，1）上的Z值，Z值即是多少個標準差（sigma），查表能夠直接得到概率。</p><p>后續具體列一下詳細過程。目前只需記一個點，<span style="color: rgb(25, 27, 31);">如果有人給你一個Z值（相當于給了sigma值），也就是給了概率值。</span></p><p>----</p><p>為什么有這么多分布，是因為實際情況沒法統一一個分布描述，甚至同一個事情的不同階段都不能用同一個分布去描述。</p><p>所以我們處理數據，首先要選擇合適的分布，而且要檢驗到底擬合得好不好，引出下一個概念，檢驗。</p><div contenteditable="false" width="100%"><hr>
</div><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p><br></p><p>8.概率密度函數（Probability Density Function），累計密度函數（累計分布函數，<span style="background-color: rgb(255, 255, 255); color: rgb(51, 51, 51);">Cumulative Distribution Function</span>），失效概率圖（Probability Plot）</p><p>主要說一下失效概率圖，用于視覺直觀檢測（IOT, Interocular Trauma）。看看樣本數據是否在此圖上是一條直線。
展開 基于模糊隨機概率理論的可靠度分析模型
基于模糊隨機概率理論的可靠度分析模型
基于模糊隨機概率理論的可靠度分析模型.rar
基于模糊隨機概率理論的可靠度分析模型.JPG
【CAE案例】支持地震風險評估的土壤-結構相互作用的概率計算
在這兩種情況下都通過結構仿真和Miss3D進行ISS的概率計算。
圖二 物體不確定性組成
拉丁超立方抽樣作為一種不確定性傳播的概率方法有以下幾個優勢：首先對參數空間有良好的代表性，因為其以等概率間隔繪制并根據超立方體隨機組合；其次它對線性情況的收斂性較好，只需要大約三十次循環計算就足夠。圖三為拉丁超立方抽樣的示意圖。
圖三 拉丁超立方抽樣示意圖
研究人員得到了以下兩個模型，鏈狀模型和板狀模型，示意圖如下圖四。
圖四 鏈狀模型（左）和板狀模型（中、右）
計算前準備五個隨機變量，類型有三種：1、土壤的加速度；2、結構的楊氏模量和阻尼；3、土壤的楊氏模量和阻尼，其中土壤的楊氏模量和阻尼是相關變量，他們的關系如下圖五所示。
圖五 土壤楊氏模量和阻尼的關系
03 計算方法
計算的Python循環中特別包括以下命令: -MACRO_MODE_MECA和-MACRO_MISS_3D，對于每一個三十次的計算，我們需要先得到平板的頻譜和位移場等數據，而頻譜分形計算是通過CALC_FONCTION()命令完成的。
為了加快計算的速度，首先研究人員減小模態分析的頻帶（添加帶有MODE_STATIQUE的偽靜態模式），其次將模態分析排除在循環之外，這是通過命令DYNA_LINE_HARM和REST_BASE_PHYS得到頻率解，并考慮復雜剛性矩陣的結構阻尼（滯后阻尼），最后并行執行計算，通過這些方法將計算的時間從360小時減小到了大約80個小時。
04 計算結果
下面的圖六是鏈狀模型和板狀模型之間的偏差比較。
圖六 模型間的比較
圖七中顯示了在水平包絡頻譜中+27m處阻尼為5%時，板狀模型和鏈狀模型不同位置的頻率和偽加速度的曲線變化趨勢。
展開 概率法的計算方法
概率法計算方法
在成批生產實踐中，零件實際尺寸會呈現一定的分布狀態。大多數情況下是呈現正態分布。換句話說，如果加工中工藝調整中心接近公差帶中心時，大多數零件的尺寸分布于公差帶中心附近，越靠近極限尺寸的零件數目越少。因此，可利用這一個規律，基于一定的合格率置信系數，即使組成環設計公差放大的情況下，依然可以滿足裝配要求。這樣不但使零件易于加工，同時又能滿足封閉環的技術要求，從而獲得最大的經濟效益。
尺寸鏈中的概率法又叫做大數互換法。他的基本公式圖下：
1. 封閉環的公差
2. 封閉環的中間偏差
