單元剛度矩陣
關注創建者：Ethan_9123 創建時間：2020-09-24
單元剛度矩陣的視頻教程
Matlab自編C3D8、C3D20、C3D10單元計算動荷載問題
然后運行matlab讀取inp文件的模型信息，自己求解單元的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣與abaqus計算的結果進行對比。 結論： 1、C3D8（一階六面體）采用B-Bar修正避免剪切自鎖，將協調質量矩陣處理為集中質量矩陣。 2、C3D20（二階六面體）單元的質量為協調質量矩陣。 3、C3D10（二階四面體）單元質量為協調質量矩陣，特別注意，質量矩陣采用15積分點的錘子積分計算。
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梁單元驗證與有限元核心原理
從局部到整體：領悟"看山還是山"的認知跨越 單元剛度矩陣的三大物理屬性：對稱性·正定性·奇異性 坐標轉換與直接剛度法集成的底層算法 課后挑戰：手繪推導從二維到三維坐標轉換矩陣 三、進階·數值積分的哲學與博弈 全階積分與縮減積分：精度與穩定性的博弈 巔峰對決：檢方 Bathe（MIT）vs 辯方 王勖成（清華）——關于縮減積分嚴謹性的學術審判 數值積分如何從底層邏輯決定有限元的計算精度
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單元剛度矩陣的實例教程
由（27a）式定義的單元剛度矩陣，由于應變B對于3結點三角形單元是常量陣，因此有
代入彈性矩陣D和應變矩陣B后，它的任一分塊矩陣可表示成
由(34)式立即可以得到
由此可見單元剛度矩陣是對稱矩陣。
為了進一步理解單元剛度矩陣的物理意義，我們同樣可以利用最小位能原理建立一
個單元的平衡，這就得到
Pe是單元結點載荷，當然應當包括其它相鄰單元對該單元的作用力。現把ae、Pe順序表示為
這是單元結點平衡方程，每個結點在x和y方向上各有一個平衡方程，3個結點共有六個平衡方程。方程左端是通過單元結點位移表示的單元結點內力，方程右端是單元結點外載。
令a1=1(ui=1),a2=a3=…＝a6=0
由（38）式可以得到
（39）式表明，單元剛度矩陣第一列元素的物理意義是：a1＝1。其他結點位移都為零時，需要在單元各結點位移方向上施加結點力的大小。當然，單元在這些結點力作用下處于平衡，因此在x和y 方向上結點力之和為零：
對于單元剛度矩陣中其他列的元素也可用同樣的方法得到它們的物理解釋。因此單元剛度矩陣中任一元素Kij物理意義為：當單元的第j個結點位移為單位位移而其他結點位移為零時，需在單元第j個結點位移方向上施加的結點力的大小。單元剛性大，則使結點產生單位位移所需施加的結點力就大。因此單元剛度矩陣中的每個元素反映了單元剛性的大小，稱為剛度系數。
展開 http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905
第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865
第四篇：非線性問題的求解。介紹Abaqus在非線性分析中采用的數值計算的求解方法。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/360565
第五篇：單元正確性驗證。介紹有限元單元正確性的驗證方法，通過多個實例比較自研結構求解器程序iSolver與Abaqus的分析結果，從而說明整個正確性驗證的過程和iSolver結果的正確性。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743
第六篇：General梁單元的剛度矩陣。介紹梁單元的基礎理論和Abaqus中General梁單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus梁單元完全一致的剛度矩陣。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932
第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。介紹六面體單元的基礎理論和Abaqus中C3D8R六面體單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus六面體單元完全一致的剛度矩陣。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177
第八篇：UMAT用戶子程序開發步驟。介紹基于Fortran和Matlab兩種方式的Abaqus的UMAT的開發步驟，對比發現開發步驟基本相同，同時采用Matlab更加高效和靈活。
展開 ==總結==
General梁的B31單元的剛度矩陣在Timoshenko梁理論基礎上的修正如下表：
項次
剛度
修正
不修正
說明
1
軸向拉伸剛度
√
2
橫向彎曲剛度
√
采用減縮積分
3
軸向拉伸和橫向彎曲耦合剛度
√
根據形心偏置進行修正
4
軸向扭轉剛度
√
剪切中心的偏置會影響抗扭剛度系數J
5
橫向剪切剛度
√
增加了一個幾何因子，使得細長梁的時候該項趨于0。
6
軸向扭轉和橫向剪切耦合剛度
√
根據剪切中心的偏置進行修正。
7
其它元素
√
都為0
詳細研究方法，見附件：
有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣(SnowWave02 20180830).pdf
==以往的系列文章==
第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859
第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質量矩陣。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905
第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。介紹Abaqus的S4單元如何來消除剪切自鎖以及S4R如何來抑制沙漏的。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/350865
第四篇：非線性問題的求解。
展開 本公眾號將推出“一個單元也能干大事”系列文章，試圖從最小的單元出發，來為初學者講解一些有限元基本理論。該系列文章力爭篇幅短小，簡單通俗，深入本質，一看就懂，并且希望能跟讀者討論互動。
一個單元能干什么？今天我們來研究一下四邊形等參單元，試圖帶大家探討一下它的單元剛度矩陣。來，先跟我一起玩個小游戲，放松一下。
1個單元，4個點，8個位移，4條邊，哇
2個單元，8個點，16個位移，8條變，哇哇
3個單元，12個點，24個位移，12條變，哇哇哇……
關于四邊形等參單元剛度矩陣的推導，一般有限元教材都有詳細的介紹，這里就不再討論。書看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代碼擼一行，我們直接上代碼，進行計算。
單元剛度矩陣如下，這是一個8*8的矩陣，我們來研究一下，該單元剛度矩陣的特性。
一、單元剛度矩陣是對稱矩陣，即滿足Kij=Kji
二、單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素表示力的方向和位移方向一致，故總為正值。
三、我們計算一下剛度矩陣的行列式
可以看到，行列式|K|=0，即單元剛陣是奇異陣，從物理意義上來解釋，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態，但容許單元產生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解。
四、我們來計算一下剛度矩陣的特征值
可以看到，矩陣共有八個特征值，其中有三個零特征值。你覺得這是偶然嗎？不，冥冥之中自有天數。剛度陣的秩為5，說明剛度矩陣只有5行是線性無關的，需要約束其中的3個自由度，方程Ku=F才能求解。而約束3個自由度，就是為了消除3個剛體位移。
展開 具體的剛度矩陣在Mindlin理論基礎上的修正如下表：
項次
剛度
修正情況
說明
修正
不修正
1
薄膜效應剛度
√
Abaqus為了消除殼單元出現的剪切鎖死，計算薄膜效應時把殼作為體來處理
2
面外彎曲剛度
√
3
面外橫向剪切剛度
√
（1）Abaqus為了處理薄板情況，增加了一個幾何因子
（2）為了消除沙漏問題增加相關剛度
4
第6自由度剛度
√
Abaqus取了和對角剛度相關的小量
5
其它非對角元素
√
（1）during analysis選項導致的小量
（2）第6自由度剛度相關小量
詳細研究方法，見附件：
有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列1：S4殼單元剛度矩陣研究(SnowWave02 20170708).pdf
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單元剛度矩陣的相關專題、標簽、搜索
單元剛度矩陣的最新內容
我在開發結構力學有限元求解器的時候，都是先去查資料，直接就把單元剛度矩陣拿過來用。
但是到流體這就不能完全這么干，原因是：
（1） 未必能找到直接可用的單元矩陣；
（2） 流體的邊界條件中，有很多第二類邊界條件（壓力、熱流、對流），這些邊界條件有的是放到右側載荷項，需要推導。有的載荷甚至會影響左側單元矩陣，部分放到左邊去修正。
本文主要推導ABAQUS在幾何非線性（大變形）有限元分析中，用于計算單元切線剛度矩陣的算法。幾何非線性意味著需要考慮變形梯度、應力的客觀性以及應變與位移關系的高階項?？偳芯€剛度矩陣通常由材料剛度矩陣和幾何剛度矩陣構成。附件是算法的研究報告及子程序測試情況。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/373743
第六篇：General梁單元的剛度矩陣。
https://www.yqgqt.org.cn/content/post/403932
第七篇：C3D8六面體單元的剛度矩陣。
在有限元分析中，ANSYS 可以導出大規模稀疏矩陣（如剛度矩陣、質量矩陣），通常使用 Harwell-Boeing (HB) CCS 格式。這些矩陣對后續二次開發、動力學分析或自定義求解器非常重要，但由于其稀疏和壓縮存儲形式，直接在 MATLAB 中讀取和使用并不方便。
本文提供了 兩個 MATLAB 函數，可直接從 ANSYS 導出的 HB 矩陣文件中讀取并重構成 MATLAB 稀疏矩陣：
根據單元應變和單元剛度矩陣，求應力。
剛度矩陣計算：實體類單元的剛度矩陣計算涉及三維應力 - 應變關系，計算復雜度高于殼單元的二維本構關系。
在計算效率方面，S4R 單元由于節點少、自由度適中且采用減縮積分，計算效率最高；SC8R 次之；CSS8 再次之；C3D8I 由于完全積分和三維計算，計算效率最低。
2.
在實際應用中，線性八節點擬協調固體殼單元 (類似 CSS8) 可準確地計算復合材料層合板的含橫向正應力的三維應力，通過推導具有橫向正應力項的偏軸剛度矩陣并將其代入到單元剛度矩陣中，實現固體殼單元對考慮鋪層角度的層合板結構的數值模擬。
C3D8I 單元的應用場景：
C3D8I 單元在復合材料分析中主要用于需要精確模擬三維應力狀態的厚壁結構或復雜幾何區域。
3 各類三維實體單元詳解
3.1 線性完全積分單元
理論基礎：線性完全積分單元在每個方向上使用足夠的高斯積分點，以精確積分單元剛度矩陣中的多項式。當單元形狀規則時，能夠精確計算單元剛度矩陣。
適用場景：線性完全積分單元適用于模擬變形較簡單的結構，如主要承受拉伸或壓縮載荷的結構。由于其計算簡單，在對精度要求不高的初步分析中可以考慮使用。
本期給大家推薦一款由木木自研的小工具：TransferMatrix，主要用于導出 Abaqus 中各種剛度矩陣，方便和自研的程序進行實時對比，基于 Pyside6 搭建的軟件界面，用戶僅需導入 inp 文件，就可以自動調用電腦內的 Abaqus 進行計算分析，不受限于 Abaqus 版本，可以導出：
單元剛度矩陣
單元質量矩陣
單元分布節點荷載列陣
整體剛度矩陣
平面應力脆性斷裂相場AT2模型10個月前
UEL需要更新單元剛度矩陣和單元殘值，具體公式在上述理論部分已詳細給出。
