本公眾號將推出“一個單元也能干大事”系列文章，試圖從最小的單元出發，來為初學者講解一些有限元基本理論。該系列文章力爭篇幅短小，簡單通俗，深入本質，一看就懂，并且希望能跟讀者討論互動。

  一個單元能干什么？今天我們來研究一下四邊形等參單元，試圖帶大家探討一下它的單元剛度矩陣。來，先跟我一起玩個小游戲，放松一下。

  1個單元，4個點，8個位移，4條邊，哇

  2個單元，8個點，16個位移，8條變，哇哇

  3個單元，12個點，24個位移，12條變，哇哇哇……

  關于四邊形等參單元剛度矩陣的推導，一般有限元教材都有詳細的介紹，這里就不再討論。書看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代碼擼一行，我們直接上代碼，進行計算。

  單元剛度矩陣如下，這是一個8*8的矩陣，我們來研究一下，該單元剛度矩陣的特性。

  一、單元剛度矩陣是對稱矩陣，即滿足Kij=Kji

  二、單元剛陣主對角線元素恒為正值；因為主對角元素表示力的方向和位移方向一致，故總為正值。

  三、我們計算一下剛度矩陣的行列式 

可以看到，行列式|K|=0，即單元剛陣是奇異陣，從物理意義上來解釋，這是因為計算單元剛陣時沒有對單元的節點加以約束，雖然，單元處于平衡狀態，但容許單元產生剛體位移，故從單元剛度平衡方程不可能得到唯一位移解。

  四、我們來計算一下剛度矩陣的特征值

可以看到，矩陣共有八個特征值，其中有三個零特征值。你覺得這是偶然嗎？不，冥冥之中自有天數。剛度陣的秩為5，說明剛度矩陣只有5行是線性無關的，需要約束其中的3個自由度，方程Ku=F才能求解。而約束3個自由度，就是為了消除3個剛體位移。

  五、我們求一下單元剛度矩陣各行和各列的和，發現他們的值均為零，那么這是偶然嗎，還是單元剛度矩陣的特性？這個問題就留給小伙伴們思考一下了。

  最后強調一下，書看千遍，不如公式推一遍，公式推千遍，不如代碼擼一行。關注公眾號，回復“代碼”獲取本文 matlab計算代碼，可以在matlab或者Octave中計算。

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