有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣

SnowWave02

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==概述==

在CAE領域，從學校、實驗室的自研算法到實現真正的商業化軟件是一條無比漫長的道路。我們不研究有限元的新方法、新理論，只是研究商用有限元軟件的實現方式。有限元的理論發展了幾十年已經相當成熟，商用有限元軟件同樣也是采用這些成熟的有限元理論，只是在實際應用過程中，商用軟件在這些傳統的理論基礎上會做相應的修正以解決工程中遇到的不同問題，且各家軟件的修正方法都不一樣，每個主流商用軟件手冊中都會注明各個單元的理論采用了哪種理論公式，但都只是提一下用什么方法修正，很多沒有具體的實現公式。

有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣的圖1

一方面我們查閱Abaqus軟件手冊得到修正方法的說明，另一方面我們自己編程實現簡單的結構有限元求解器，通過自研求解器和Abaqus的結果比較結合理論手冊如同管中窺豹一般來研究Abaqus的修正方法，從而猜測商用有限元軟件的內部計算方法。在研究的同時，準備將自己的研究成果記錄下來寫成一個系列文章，希望對那些不僅僅滿足使用軟件，而想了解軟件內部實現方法甚至是做自己的軟件的朋友有些幫助。由于水平有限，里面可能有許多錯誤，歡迎交流討論。

==第六篇：General梁單元的剛度矩陣==

相對殼來說，在實際應用過程中，商業軟件對梁的修正方式相對較少，如果自己編程序，采用這些修正方式可以得到和商業軟件完全一致的剛度矩陣，如果剛度矩陣完全一致，那么對任何的算例都可以得到和商業軟件完全一致的結果了。

實際的梁都是有截面形狀的，商用軟件分析時都采用兩步走的形式：

（1）第一步：通過這些截面形狀類型和參數得到構建梁單元所需的基本截面屬性參數，譬如矩形面積=長*寬等。

（2）第二步：利用上面得到的截面屬性參數組成梁單元的剛度矩陣。

相對應的，一般商用軟件的梁都有兩類：

（1）一類是已知截面屬性參數的General梁，在Abaqus中創建梁時選擇General就是General梁。

（2）另一類是已知截面形狀類型和幾何尺寸的Geometry梁，在Abaqus創建梁截面時選擇除General外的其它選項都是Geometry梁。

本篇先討論General梁單元的剛度矩陣的基本理論和Abaqus的修正方式，Geometry梁的計算方法只是比第一類梁多了一步怎么從截面幾何參數得到截面屬性參數，當然針對不同形狀類型，Abaqus也做了許多的修正，將放到下一篇中討論。

本文首先簡單介紹梁單元的基本理論，分析了每一部分剛度的來源，并研究了Abaqus中General梁的B31單元的剛度矩陣的修正方式，采用這些修正方式可以得到和Abaqus完全一致的剛度矩陣，自研軟件的正確性證明是非常困難的，無論你測試多少標準算例或者和試驗結果對比，都很難讓用戶踏實的相信你的結果和商業軟件是一致的，但如果一個模型僅有General梁組成，那么無論這個模型多么的復雜，我們一般都可以得到和Abaqus完全一致的分析結果。最后我們使用了一個簡單的算例綜合驗證，針對該算例我們對比采用了同樣修正的自編程序iSolver和Abaqus的結果，可以發現結果如預期的一樣，沒有任何誤差。

==演示視頻==

http://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884?chapter=1

梁的靜力分析結果校核視頻演示任意分段梁的靜力分析，證明iSolver的分析結果和Abaqus沒有誤差，有兩個算例：Generalized梁和L型梁。

==總結==

General梁的B31單元的剛度矩陣在Timoshenko梁理論基礎上的修正如下表：

項次	剛度	修正	不修正	說明
1	軸向拉伸剛度		√
2	橫向彎曲剛度	√		采用減縮積分
3	軸向拉伸和橫向彎曲耦合剛度	√		根據形心偏置進行修正
4	軸向扭轉剛度	√		剪切中心的偏置會影響抗扭剛度系數J
5	橫向剪切剛度	√		增加了一個幾何因子，使得細長梁的時候該項趨于0。
6	軸向扭轉和橫向剪切耦合剛度	√		根據剪切中心的偏置進行修正。
7	其它元素		√	都為0