公式推導的案例
關于梁變形的公式推導
上海重型設備吊裝公司總工前兩天和我通話，他們在編制一個技術規程，涉及一個結構，需要求解析解，當時我在想，要求那個結構的受力難度也不大，有限元軟件簡單計算一下就可以了，但朋友說，為了增加理論的可信度，需要在技術規程里面增加理論推導，為此，我思索了下朋友那個結構的理論推導，我先把朋友的結構進行簡化，然后得出的就是一個梁結構的受力的變形計算，基于此，可以在網上查到多如牛毛的關于梁撓度的計算公式，因為是解析解，所以需要推導一下，為此，我把近期梁撓度公式的推導的思路和大家一起探討一下，不足之處請大家批評指正。
這里我用一個對稱的簡支梁的說明一下，簡圖如下：
假設梁的撓度的方程為y=f(x)，微單元的切線角度為y‘(y的一階導數)，微單元的轉角為切線角度的變化率，也就是等于y’’(y的二階導數)，根據材料力學得到：
根據邊界條件得到：
Y(0)=0; （2）
Y’(1/2L)=0; （3）
對（1）左右兩側進行兩次積分可得y=F*x^3/12*E*I+a*x/(E*I)+b;
根據邊界條件，可以求得b=0，a=-F*L^2/(16*E*I)；
故y=F*x^3/(12*E*I)-F*L^2*x/(16*E*I)
帶入x=0.5L，y=-F*L^3/(48*E*I);
查網上資料，可知，和撓度計算公式一致。
當然，大家也可以推導一下，集中力不在跨中或者不是集中力，是分布荷載的情況下的公式推導。
這是最近的一點小的感悟，也許在某本書上能找到，但這是自己按力學的理解自行推導出來的，不喜勿噴。
如有雷同，純屬虛構。
展開 【公式推導篇】
【公式推導篇】
https://mp.weixin.qq.com/s/47byQ3b3e5UpbUp7Krs2mQ
本次分享的是：有限元計算過程中，單元積分點應力如何外推至節點？
有關積分點與節點的概念可點擊跳轉閱讀歷史推文：有限元基本概念-【節點和積分點】，現科普一下Q4單元、Q8單元、Q9單元的形函數和高斯積分方案。
Q4單元
Q8/9單元
應力外插
核心理念：坐標系的轉換。
假設是母單元的自然坐標系，是由高斯積分點控制的坐標系（術語可能不專業），假設高斯積分方案為。坐標系轉換關系：
單元內任一點的應力，由4個高斯積分點應力進行插值時，可表示為
其中，是基于高斯積分點的形函數，第一個積分點的坐標在母單元坐標系下為（-1，-1），根據上述的坐標系轉換的方式，在高斯積分點的坐標系下，第一個單元節點在高斯積分點坐標系下坐標為，將此坐標值代入第一個形函數，得，相同的道理，可推導至四個節點在4個形函數下的外插矩陣：
對于Q8、Q9單元，依然可采用高斯積分方案（減縮積分）。
展開 粘彈性邊界等效節點力公式的推導(黏彈性邊界)
等效節點力的計算在粘彈性邊界的地震動輸入中至關重要，公式的最終表達式很多論文中都有，但是對于初學者來說，直接使用可能會有些吃力。筆者在前不久發表的論文中對其進行了細致的推導，現在正式版（印刷版）已經刊出，正式版參考文獻鏈接如下，直接點擊文章標題即可：
黏彈性人工邊界在ABAQUS中的實現及地震動輸入方法的比較研究
DOI: 10.13722/j.cnki.jrme.2019.1068
這里將正式版文獻中，正確完整的粘彈性邊界等效節點力公式推導放在下面以供大家參考（公式5-24），希望能及時地給大家帶來一些幫助，相信大家能成功實現粘彈性邊界的地震動輸入。
展開 《有限元分析—ANSYS理論與應用》
第1章 概述
1.1 工程問題
1.2 數值方法
1.3 有限元方法與ANSYS簡介
1.4 有限元方法的基本步驟
1.5 直接公式法
1.6 最小總勢能公式
1.7 加權余數法
1.8 結果的驗證
1.9 理解問題
總結
參考文獻
習題
第2章 桁架
2.1 桁架的定義
2.2 有限元公式
2.3 空間桁架
2.4 ANSYS程序概述
2.5 使用ANSYS的例子
2.6 結果的驗證
總結
參考文獻
習題
第3章 一維單元
3.1 線性單元
3.2 平面單元
3.3 立體單元
3.4 整體、局部和自然坐標
3.5 數值積分：高斯—勒讓德多項式
3.6 ANSYS中一維單元的例子
總結
參考文獻
習題
第4章 一維問題分析
4.1 熱傳遞問題
4.2 固體力學問題
4.3 使用ANSYS的例子
4.4 結果的驗證
總結
參考文獻
習題
第5章 二維單元
5.1 矩形單元
5.2 平面四邊形單元
5.3 線性三角形單元
5.4 平面三角形單元
5.5 等參單元
5.6 二維積分：高斯—勒讓得多項式
5.7 ANSYS中二維單元的例子
總結
參考文獻
習題
第6章 再論ANSYS
6.1 ANSYS程序
6.2 ANSYS數據庫和文件
6.3 用ANSYS創建有限元模型：預處理
6.4 應用邊界條件、負荷和解
6.5 有限元模型的結果：后處理
6.6 選擇選項
6.7 圖形功能
6.8 一個樣例問題
總結
參考文獻
第7章 二維熱傳導問題分析
7.1 一般的熱傳導問題
7.2 矩形單元的公式推導
7.3 三角形單元的公式推導
7.4 ANSYS使用的熱傳導單元
7.5 使用ANSYS的例子
7.6 結果的驗證
總結
參考文獻
習題
第8章 二維固體力學問題分析
8.1 任意橫截面形狀的桿的扭轉
8.2 梁和骨架
8.3
展開 
剪力墻穩定公式是怎么得來的？
《高層建筑混凝土結構技術規程》( JGJ 3—2010) 附錄 D中規定了墻體穩定的計算公式：
D.0.1 剪力墻墻肢應滿足下式的穩定要求：
式中: q——作用于墻頂組合的等效豎向均布荷載設計值；
Ec——剪力墻混凝土彈性模量；
t——剪力墻墻肢截面厚度；
lo——剪力墻墻肢計算長度，應按本附錄第D.0.2條確定。
那這個公式是怎么來的呢？
其實，上述公式是利用桿件穩定驗算的歐拉公式推導得出的，歐拉公式為:
P=π*πEI/(L0*L0)
式中: P 為最小臨界荷載; L0為桿件長度計算。按高規附錄 D 的條文解釋，考慮到混凝土材料的彈塑性、荷載的長期性以及荷載偏心距等因素的綜合影響，要求墻頂的豎向荷載設計值不大于 P /8，則作用在剪力單位長度上的線荷載設計值為:
我們知道，上述公式推導的桿件是一維構件，而對于異形剪力墻如T形、L形、槽形、工字形剪力墻的翼緣、腹板局部穩定問題是二維受壓構件的穩定問題，使用的時候要注意心里有數。為保證安全，對T形、L形、槽形和工字型剪力墻各墻肢，規范附錄D.0.3條規定的計算長度系數大于理論值。
來源：土木吧
展開 二維粘彈性邊界等效節點力公式推導 ￥30
根據何建濤老師的方法推導二維粘彈性邊界等效節點力公式。
材料的名義應力、應變與真實應力、應變轉換公式的推導
兩種應力、應變的轉化公式為：
下面來推導這兩個公式。
考慮企業異質性的外部知識對流程創新作用機制的博弈分析
表1 符號及含義說明
2.產品競爭階段均衡分析
在均衡分析階段，常常需要進行求導、代入等操作，隨著分析的深入，式子逐漸復雜，手動推導極為困難且容易出錯，所以我們在mathematica中進行均衡解的推導。
在流程創新競爭階段，兩個企業獨立決定流程創新中引入的外部知識量，以使其利潤最大化。將式(7)、式(8)分別對k1, k2求偏導，得到一階最優條件。并用mathematica中用提取系數的函數將求偏導結果整理，得到：
其中，參數為：
解得最優引入外部知識量分別為：
代入回式(5)(6)，得
結果分析
最后進行數值分析，驗證本篇論文復現的正確性。Mathematica即可進行符號計算公式推導，也可進行數值分析。前文在mathematica進行公式推導的結果可直接應用于后續的數值分析，避免了切換軟件造成的麻煩。參數取值參考[1]。
企業異質性體現在初始邊際生產成本差異系數ε，初始邊際生產成本差異系數對均衡外部知識引入量和均衡產量影響的數值模擬結果如圖1(上圖為復現結果，右圖為論文原文結果)。
圖1 ε 與均衡引入外部知識量的關系
圖2 k1與均衡利潤的關系
參考文獻
[1] 考慮企業異質性的外部知識對流程創新作用機制的博弈分析[J]. 中國管理科學, 2023, 31(12): 175-184.
最后，有相關需求歡迎通過公眾號“320科技工作室”與我們聯絡
展開 車輛動力學模型在仿真測試中的應用實踐
-乘用車、商用車、掛車車輛模型拆分方法
-多體動力學在車輛建模中的應用
-當前常用的懸架建模方法及公式推導
-通用的3D空氣動力學模型
-當前常用的實時輪胎模型及公式推導
-通用的動力傳動系統以及高階模型的應用場景分析
-基于結構的轉向系統模型及功能分析
3 道路場景仿真
當前市場上存在各式各樣的場景仿真軟件，每款軟件的優勢和不足各不相同，如何縮短用戶選擇的時間，如何快速幫用戶快速在不同軟件之間進行切換，場景仿真軟件需要一個統一的道路和場景的標準，ASAM提供了高精地圖標準OpenDrive和場景標準OpenScenario，經緯恒潤快速響應變化，基于OpenDrive和OpenScenario標準開發了道路編輯器和場景編輯器，并且結合多年仿真經驗對標準進行了擴展，使之可適用于車輛不同系統仿真測試。
-OpenDrive標準解讀
-OpenScenario標準解讀
-OpenScenario中拓展動力域、底盤域控制器測試方法
4 ModelBase軟件介紹
ModelBase是一款綜合性的車輛動力學仿真軟件。可分別用于乘用車、商用車的整車電控系統的設計、測試、標定和驗證。可以覆蓋電控系統的整個開發周期，包括早期的算法仿真測試（MIL/SIL），控制器的硬件在環測試（HIL），半實物臺架測試（如電機臺架、動力系統臺架、整車臺架等），以及最終的車輛在環測試（VIL）。
展開 理論分析—作為工具已死去、作為靈魂還活著
書已經老的像煎餅一樣焦黃酥脆，比我年齡還大，上面滿是微積分符號和張量公式，不要說看出無數次公式轉化之中的奧妙，一條公式也看不懂啊。我想這個師弟就是每天不睡覺也讀不懂這本天書。
這本書是講解如何通過公式推導，一步步計算出飛機機翼的阻力和升力。（如果你微笑理解，說明你至少是70后，只有那個年紀的人還能趕上這類書)。
我當時不屑一顧，計算這種東西，上計算機按幾下回車就算完了，有看書的時間可以寫個仿真軟件了，何況還有那么多又好用又準確的商業軟件。
確實，只過了短短的幾年，我用的計算機從8兆硬盤、讀5寸大軟盤（真該留一張讓你猜猜是什么）的286臺式機，發展到幾百兆的內存和光驅的計算機。大家不斷地買更好的計算機、盜用更高版的軟件，再也沒有聽說導師讓學生去讀那種書了。
?要一個80后、90后用推導公式求解阻力、升力，不亞于要他吃飯前學習種麥子，而他只想叫外賣。
60后和70后，年輕時學習公式推導，工作了用仿真軟件，被老人斥責為不懂數學沒水平，被年輕人蔑視為不懂軟件沒見識。也有兩方面都好的，反正不是我。
對于50后和40后，理論求解那是唯一的計算和設計工具。他們沒有計算機沒有軟件，他們的時間不是用來點鼠標而是推公式。
在他們見到現代計算機出現之前，就有了飛機和火箭，他們連計算器都沒有，設計是在坐標紙上畫，計算是查對數表、拉計算尺、手搖計算機。當年推公式那是基本功，誰將不可直接計算的偏微分方程轉化為可以求解的形式，那就是大師啊。
?可惜理論分析作為直接計算工具已經在很多年前被計算機仿真殺死了。
去年，我被迫聽一群60多歲的老頭講了20天的課。他們用顫巍巍的聲音，告訴我們如何將一行寫不完的偏微分方程最后簡化為只有兩三項的算式。
展開 零基礎能學Ansys熱應力分析嗎？技術鄰打破學習壁壘輕松入門
“沒接觸過有限元理論，怕聽不懂公式推導”“只會打開Ansys軟件畫簡單模型，不知道怎么開展熱應力分析”“擔心課程太復雜，學完還是不會做自己的項目”——這是絕大多數零基礎學習者面對Ansys熱應力分析時的普遍顧慮。但事實上，基礎薄弱絕非學習的“攔路虎”，技術鄰深耕工業仿真培訓8年，針對零基礎群體的學習痛點，量身打造了Ansys熱應力定制培訓體系，大幅降低準入門檻：只要對Ansys軟件有初步認知（比如會新建模型、導入簡單零件），或了解“溫度梯度”“應力”等基本工程概念，無需掌握高深理論，就能順利開啟學習，徹底打消“沒基礎學不會”的顧慮。
不同于普通課程“先講三個月理論、再練無關通用案例”的枯燥模式，技術鄰完全跳過晦澀的有限元公式推導，從企業實際工程需求出發，用“可落地的操作步驟”替代“抽象的學術概念”，讓零基礎學員無需背負知識包袱，直接進入實戰環節。講解核心知識點時，講師全程結合真實行業案例舉例，避免抽象表述：比如介紹“瞬態熱應力與穩態熱應力”的區別時，不會單純講解“時間依賴性”理論，而是通過“汽車發動機啟動（溫度快速變化，需瞬態分析）”與“發動機持續運轉（溫度穩定，用穩態分析）”的場景對比，搭配溫度場云圖動態演示，讓學員瞬間理解兩種分析類型的適用場景；講解“熱膨脹系數對熱應力的影響”時，會以“鋼質散熱板與鋁合金電芯的熱應力匹配”為例，通過仿真結果對比，直觀展示“熱膨脹系數差異1.8倍會導致接觸應力升高至180MPa”，讓抽象參數與實際影響建立關聯。
展開 
320科技工作室介紹
同時，團隊還可以基于Maple進行數學公式推導，基于Excel函數及VBA編程制作工具。
基于Python爬蟲的彩票軟件
基于Pygame的坦克大戰
威布爾分布函數擬合
嚴格Borda數學模型
基于Maple的數學公式推導及作圖
基于Excel函數的數據查詢系統
4 ANSA/Hypermesh網格、UG/Catia建模
我們團隊的第四項業務為三維建模和網格生成。例如基于ANSA的網格生成及細化，基于UG的三維建模等，后續團隊將制作一系列教程，服務于大家。
ANSA網格
UG建模
320科技工作室的團隊靠譜不？
前面有介紹，我們團隊都是知名院校的力學科班碩博研究生，且大多從事航空工作，在數學、力學、編程等方面基礎都很扎實。
截止目前，我們團隊已與甲方完成多次項目合作，不信的可以去打聽一下呦（https://shop397146072.taobao.com/index.htm?spm=2013.1.w5002-21462384184.2.40885373PDgH0B）
聯系我們
管理員微信：CAE320
管理員扣扣：1766429293
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展開 【12月7日-9日 西安】Abaqus復合材料分析技術培訓班-三天
【基礎班課程大綱】：
【高級班課程大綱】：
【培訓講義】：
該培訓采用獨家內部講義，該講義分為20個部分，共計256頁，每一部分形成獨立章節，從基本建模操作、理論講解、公式推導到程序編寫全面覆蓋。主要內容如下：
Abaqus層壓板基礎建模
蜂窩結構建模
加筋板建模
結構離散增強
多種內嵌二維失效判據應用
內嵌二維Hashin漸進失效模型
cohesive內聚力模型
VCCT虛擬裂紋閉合技術
UVARM子程序開發
USDFLD/VUSDFLD子程序開發
UMAT/VUMAT子程序開發
能量演化VUMAT
Puck理論應用
材料非線性表征
率相關性表征
子程序調試
以下為部分講義頁面：
完整的建模流程，一步一步教你建模。
針對復合材料建模設置單元類型
復合材料力學基礎知識怎么能少
各個細節都會照顧到
容易犯得錯誤，讓學員少走彎路
初始失效預估與漸進失效分析
詳細公式推導
材料非線性
子程序開發
程序調試
【培訓講師】：
培訓老師從事復合材料結構設計及分析工作10年，精通Abaqus復合材料仿真分析及程序開發，出版專著2部，SCI論文5篇，擁有近5000名技術鄰粉絲，Abaqus復合材料在線教學視頻播放量70000+。
展開 你不知道的CAE小常識（三十一）
如下圖
b、按照結構動力學公式計算得到的阻尼值
經過模態分析之后，按照上圖中的公式9-148計算質量阻尼系數a，阻尼比取0.002. 計算得到質量阻尼系數0.35852. 按照這個阻尼值計算得到最大節點位移2.5119m，與不考慮阻尼時的結果相差不多，與經驗相符。
哈爾濱工業大學學者王多智在其博士論文《沖擊荷載下網殼結構的失效機理研究》有考慮阻尼的影響，其質量阻尼系數就是按照結構動力學公式計算得到的，并且模擬值與實驗值相差不多，可以接受。
結論
質量阻尼系數的選取有軟件推薦值，不過那只是軟件的推薦值，不能輕信，要具體問題具體分析。
就網殼結構來說，可以用結構動力學公式結算得到的質量阻尼系數。
要得到一個好的質量阻尼系數沒有捷徑，只能通過不斷嘗試，調整，使之與實驗箱符合。
3、質量阻尼系數的選取
通過上面的介紹，DYNA軟件推薦的阻尼系數取值為0.1*4*pi/T，同時也強調這個值只是一個典型值，要通過不斷嘗試來得到最好的阻尼系數。但是，實踐發現，這個值并不好用，并且對數值模擬結果有很大影響（僅對我的模型）。 另外，質量阻尼系數與瑞利阻尼中的質量阻尼系數有何聯系，能否用結構動力學中的公式推導出質量阻尼系數作為適用的取值。下面給出部分研究成果。
展開 模型庫中sloshing_tank自由面上通過邊界上的弱解形式施加表面張力
附件中兩個文件：一個是邊界上表面張力和接觸點潤濕的公式推導，還有一個就是改進后的sloshing_tank的例子，將原來的例子縮小了1000倍，以突顯表面張力的作用。
wetting_and_surface_tension.pdf
sloshing_small(1e-2)_reset.rar
