伽遼金有限元法的案例
伽遼金有限元法求解1D微分方程-C語言實現(xiàn) ￥8.88
問題描述：
本次采用伽遼金有限元法求解1D微風方程采用的是平方項的形函數(shù)，其對應的基本形函數(shù)形式如下：
本次測試選取了 p(x)=1; q(x)=0; f(x)=0
ul = 10; a=0; b=1;r=0等基本參數(shù)。
==> 根據(jù)解析解可以知道，本次計算的結(jié)果應該是所有節(jié)點上的值都相等才對。
==> 設(shè)置了劃分10個網(wǎng)格，
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問題描述：
伽遼金有限元法求解微分方程-C++ ￥3.75
當前只實現(xiàn)了 Test 1 案例的求解計算。
然后我們來定義型函數(shù)。型函數(shù)這里采用的是最簡單的帽子函數(shù)的那樣。
那么到這里 我們的所有的單項處理函數(shù)便創(chuàng)建完完畢了。
下面我們要做的便是想辦法組合成Ax = b 的這種形式了。
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==> 求解結(jié)果--> 解析解與數(shù)值解的對比圖。
==> 趨勢雖然是對的，就是這個誤差著實有點大呀。現(xiàn)在先記錄下來，改天看看咋回事。
==>其實一開始我把微分方程是修改成這樣的。
==> 然后沒有采用分部積分這一過程，就直接求解了，然后發(fā)生了一個天大的笑話，求解結(jié)果如下所示：
==> hhahahahahahahahahaha。 太他媽的尷尬了。
==> 下面是Python求解實現(xiàn)過程。
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==> 分布積分法來進行微分方程的求解
==> 對應的解析解的求解方法如下所示：
==》 伽遼金法求解的一般步驟：
寫出微分方程的弱解形式。
進行分布積分法。
網(wǎng)格劃分。
生成系數(shù)矩陣和方程組的右端項。
進行方程組的求解。
求解出節(jié)點上的U值。
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求解方程如下所示：
==》 f(x)=sin(pi*x)
==》 伽遼金法求解公式如下：
==》寫成矩陣形式如下所示：
==》 解析解與數(shù)值解的對比圖如下所示：
（1） 在積分的時候采用梯形公式求解結(jié)果如下：
（2）在積分的時候采用辛普森公式求解結(jié)果如下：
==》 好像沒多大差別。
==》其對應的求解系數(shù)如下所示：
（1）梯形公式求積之后的系數(shù)和節(jié)點上的坐標數(shù)據(jù)如下：
（2）辛普森公式求積之后的系數(shù)和節(jié)點上的坐標數(shù)據(jù)如下：
==》應該是函數(shù)太簡單了，可能f(x)復雜一點便能顯示出來差別了。
==》 下面是Python實現(xiàn)的整個過程。
伽遼金有限元法求解微分方程-C語言程序?qū)崿F(xiàn)01 ￥8.88
問題描述：
測試基本問題：
解析解與數(shù)值解的對比圖如下所示：
問題1是一個常數(shù)，這里便不再圖形化顯示。
問題2解析解與數(shù)值解對比圖：
問題3解析解與數(shù)值解對比圖：
問題4解析解與數(shù)值解對比圖：
伽遼金有限元求解微分方程 -- C語言實現(xiàn) ￥4.5
進行分布積分法。
3. 網(wǎng)格劃分。
4. 生成系數(shù)矩陣和方程組的右端項。
5. 進行方程組的求解。
6. 求解出節(jié)點上的U值。
通過仿真分析高強度超聲聚焦技術(shù)在生物組織中的傳播
信號的振幅為 0.1MPa，中心頻率為 1MHz，在傳播過程中只會涉及有限的部分域。當信號傳播時，振幅足以產(chǎn)生高階諧波，但不足以形成激波，這意味著不需要能夠捕獲激波的功能。
二維軸對稱幾何模型的圖解。
我們可以使用以下公式計算從信號到焦點的傳播時間：
其中，c 是聲速，d 是相應材料中的傳播距離。
使用 COMSOL Multiphysics 5.6 版提供的非線性壓力聲學，時域顯式 接口，我們可以模擬流體中的有限幅值高聲壓級非線性波。在本教程中，該接口使用間斷伽遼金有限元法(dG-FEM)，以雙曲守恒律的形式求解非線性聲學方程組。這是一種更節(jié)省內(nèi)存的方法，可以求解決具有數(shù)百萬自由度(DOFs)的模型。
通常，當求解一個波傳播問題時，網(wǎng)格需要足夠細，以解析信號的頻率信息。本教程中使用的模型以脈沖為特征，使得傳播信號在空間中是有限的。在這種情況下，僅在計算域的這一部分需要精細的網(wǎng)格（節(jié)省許多自由度）。為了實現(xiàn)此目的，啟用自適應網(wǎng)格細化 以自動重新劃分網(wǎng)格，從而確保使用足夠細的網(wǎng)格來解析傳播信號的高階諧波。
自適應網(wǎng)格細化特征的設(shè)置。
分析高強度超聲聚焦信號的傳播
從下面的結(jié)果中，我們可以看到聲波信號開始于 t=10μs，并在水和組織域之間傳播。我們還可以看到部分信號在 t=20μs 時反射回源。此外，信號的聚焦在 t=30μs 時可見，在 t=40μs 時達到最大值。這些結(jié)果表明，越接近焦點區(qū)，信號強度越大。
t = 10、20、30 和 40μs 時，超聲信號的傳播。
我們可以通過分析水-組織界面和焦點處的信號來證實上述結(jié)果。從下圖我們可以看到，在焦點處，聲壓幅值大約是水-組織界面處的10倍。
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