概率分布的案例
Python | 多彈打擊地面人員的毀傷概率分布
初始威力場
所有破片打擊線（考慮重力）
單個彈打擊的所有破片落點（落速200m/s，落角50°，落高5m）
假設地面目標為人員，不同工況下毀傷概率分布，圖中范圍x為-50m~50m，y為-50m~50m。考慮破片和沖擊波聯合作用。
概率密度函數概率分布函數
概率密度函數概率分布函數
HyperWorks仿真——隨機振動理論簡介
對大量的隨機信號分析表明，雖然單個的信號之間是不相關的，沒有規律的，但是它們的分布卻服從概率分布，稱為正態分布。正態分布可以表示為：
式中，μ為信號的均值，σ為信號的標準差。F(x)是信號小于x的概率。
正態分布曲線如下圖所示，它受到平均值和標準差的影響。
可以看到，均值的改變會使概率分布函數在水平方向移動，標準差的改變會使函數的凸凹程度發生變化。
一般來說，在進行隨機振動分析時會假設隨機信號的均值為零，即使不為零，也可以采用一個均值為零的隨機信號與一個常值信號疊加的方式處理，在這里只分析均值為零的隨機振動。
當均值為零時，決定隨機信號分布函數的變量只有標準差σ。也就是說，σ一旦確定，對應于該隨機信號的概率分布函數也就確定了。這里再次重申一下，隨機信號是隨機的，但是在統計意義上是滿足正態分布的，我們不能通過單個信號或單次測量的信號集合來作為隨機振動的輸入，但是我們可以通過隨機信號的平均功率來確定其概率分布函數。也就是說，隨機振動分析并不是通過具體的輸入得到一個具體的結果，而是通過一個概率分布的輸入，得到一個概率分布的結果。在實際應用中就是，我們輸入隨機信號的功率譜密度，它表征著同樣平均功率的隨機信號輸入，最后會得到一個應力分布，這個應力分布滿足正態分布，也是概率分布的，而不是絕對的。
注：之所以隨機響應與隨機輸入一樣滿足正態分布是因為正態分布具有線性疊加性，而且在進行動力學分析時未涉及非線性部分，所以隨機響應與隨機輸入一樣具有穩定的數值統計特征。
現在我們需要得到σ的值。首先看下σ的定義：
為方差，表示信號偏離平均值的程度。
其中μ為數學期望，代表著信號的平均值。
展開 新論文 | 顆粒材料不確定性量化的隨機離散元方法
本研究將概率密度演化理論 (Li & Chen 2009, Chen et al. 2016, Li & Wang 2022) 應用于巖土工程領域，與精細化確定性離散元分析技術相結合，提出了一類分析顆粒材料隨機力學行為的非侵入式隨機離散元方法。
工作概述
本研究建立的針對顆粒材料隨機力學行為分析的
隨機離散元方法框架
大致分為
4
個步驟：
1. 根據試驗數據對
隨機源
進行概率建模，獲得隨機源變量的概率分布；
2. 依據建立的隨機源概率分布模型，進行基本隨機變量的
概率空間剖分
，生成一系列代表性點及其賦得概率；
3. 在每個代表性點下，對顆粒材料代表性體積元進行
確定性離散元分析
，獲得其關鍵力學響應隨應變的演化曲線；
4. 將代表性點下的賦得概率和確定性響應信息代入
Li-Chen 方程
，采用概率密度演化方法數值求解獲得關鍵響應量和隨機源變量的聯合概率密度函數，進而積分獲得關鍵響應量的概率分布。
研究框架的整體分析流程如下圖所示：
數值結果
應力比隨應變的概率密度演化特征：
(a. 概率密度云圖; b. 概率密度曲面; c. 均值和2倍標準差; d.
展開 
Python – 統計中的正態分布
?
概率分布決定了隨機變量采用的所有結果的概率。分布可以是連續分布或離散分布，具體取決于隨機變量采用的值。概率分布有幾種類型，如正態分布、均勻分布、指數分布等。在本文中，我們將了解正態分布，還將了解如何使用 Python 繪制正態分布。
什么是正態分布
正態分布是一個連續概率分布函數，也稱為高斯分布，它的平均值是對稱的，并且具有鐘形曲線。它是最常用的概率分布之一。它有兩個參數
Mean（μ） - 它表示分布的中心
Standard Deviation（σ） – 它表示曲線中的分布
正態分布的公式為
?
編輯
正態分布公式
正態分布的性質
Symmetric distribution （對稱分布） – 正態分布相對于其平均值點是對稱的。這意味著分布在其平均值上完全平衡，兩側有一半的數據。
鐘形曲線 – 正態分布的圖形采用鐘形曲線形式，其中大多數點累積在其平均位置。此曲線的形狀由分布的平均值和標準差決定
經驗法則 – 正態分布曲線遵循經驗法則，其中 68% 的數據位于與圖表平均值的 1 個標準差范圍內，95% 的數據位于與平均值的 2 個標準差之間，99.7% 的數據位于與平均值的 3 個標準差之間。
?
編輯
正態分布中的經驗法則
Additive Rule （加法規則） – 兩個或多個正態分布之和將始終為正態分布。
展開 隨機振動的一些概念
平穩：樣本概率分布與時間無關（與時間間隔有關），即主要針對概率分布而言，并非樣本本身。平穩隨機過程滿足一定條件才會各態歷經，各態歷經一定平穩；
隨機信號強度用均方值描述：隨機變量X(t)的平方的均值，記為，在工程上表示信號的平均功率，其平方根稱有效值。信號的平均功率 = 信號交流分量功率 + 信號直流分量功率。
工程上常把數據信號看成不隨時間變化的靜態分量(即直流分量) 和隨時間變化的動態分量之和。
靜態分量用均值表述。用E(x)表示。高斯白噪聲信號均值為0，只有交流分量。
動態分量部分用方差表述。方差是x（t）偏離均值的平方的均值，它反映離開均值的波動情況，交流信號的平均功率。
有時候分母也換成n-1,這取決于數據是樣本數據還是整體數據。
概率密度函數、概率分布函數、自相關函數、相關系數后續再寫。
展開 激活學習：一種挑戰反向傳播的生物啟發算法
激活學習的學習規則
如果我們將每一層神經網絡看成一個激活強度的過濾器，它可以表示比較簡單的輸入概率分布；那么激活學習就是一個多層神經網絡將多個激活強度過濾器串聯起來，來表示非常復雜的概率分布。在激活學習中，網絡的輸出激活強度(平方和)用來估計輸入的likelihood。為了保證激活強度在各層的可傳遞性，我們使用的非線性激活函數要保證它的輸入和輸出的強度是不變的。最終，我們可以訓練一個激活學習神經網絡，它可以直接估計輸入的概率分布。因為整個訓練的過程跟任何具體任務是無關的，它也是一個通用模型，可以用于各類學習任務。
2
激活學習的實驗結果
1. 首先是分類任務
，這時候激活學習網絡的輸入既包含圖片又包含標簽，預測分類的過程就是給定圖片來推理標簽使得整個網絡的激活強度是最大的。受到認知科學實驗的啟發(J. L. McClelland, How Far Can You Go with Hebbian Learning, and When Does it Lead you Astray?), 正確信息的反饋在人類學習中起到很重要的作用。例如，人在學習某個東西的時候，如果識別錯誤，這時候如果能夠糾正并告訴它正確的結果，可以明顯提升它的學習效果。所以在激活學習中，我們引入了反饋并生成正樣本和負樣本, 正樣本是圖片和正確標簽，負樣本是圖片和最差的錯誤標簽，給正樣本一個正的學習率，負樣本一個負的學習率，可以明顯提高學習的分類準確率。在MNIST上基于2層的全連接網絡可以達到約1.36%的錯誤率，在CIFAR-10上3層的全連接網絡可以達到約37%的錯誤率，基本上達到了跟反向傳播差不多的性能。
展開 客戶相關的道路載荷大數據獲取和道路載荷分布模型的構建——西門子工業軟件公司CUCO技術體系簡介
然后，依據每一個狀態單元，將車輛某處某載荷對應的時域數據進行分割和提取，進而獲得“某一車輛每行駛1km時車輛某處的某載荷對應的偽損傷（或等效載荷幅值，……）”的一系列樣本值Xi，進而獲得對應于每一個狀態空間的條件概率分布P(A|Bi)，從而完成載荷的“關聯”。
圖2 CUCO項目中載荷的關聯1
4 客戶相關的道路載荷分布模型的建立
在第2小節獲得P(Bi)，第3小節獲得P(A|Bi)后，如圖3所示，我們可以依據全概率公式，獲得“客戶相關”條件下的某一樣本車輛每行駛1km時，車輛某處的某載荷對應的偽損傷（或等效載荷幅值，……）的概率分布P(A)。將其放大到設計里程，即可獲得“客戶相關”條件下的某一樣本車輛累積行駛里程達到設計里程時，車輛某處的某載荷對應的偽損傷的密度函數或分布函數。
我們有n輛樣本車，可以獲得n個這樣的重要分布，如圖3所示，可以據此獲得客戶相關條件下覆蓋（比如說）95％客戶使用習慣的載荷邊界。這一過程嚴格的說牽扯到二維隨機變量的概率分布問題，不過我們可以討個巧，限制在邊緣分布的范疇里，簡單的依舊用論壇里目前介紹的那些對付一維隨機變量的手段來處理，因此暫時不需要牽扯到更復雜的統計學工具。
圖4給出了CUCO項目的整體思路，可以方便大家通覽從第2節到第4節的內容，并對CUCO項目有一個總體性的理解。
圖3 CUCO項目給出的客戶相關條件下覆蓋95％客戶使用習慣的載荷邊界1
圖4 CUCO項目的統計學設計和思路1
這里我們要說一句，并不是所有的行業在進行耐久性工程的時候都需要進行CUCO項目。之所以有些行業務必要進行CUCO項目，究其原因是P(Bi)的高度隨機性和不可預測性。因此，只能借助于統計學大數定理和大數據來對其使用狀態進行劃分，之后再借助全概率公式對結果進行“組裝”。
展開 隨機有限元模型（賦予不同單元隨機材料屬性腳本） ￥20
基于概率理論和有限元數值模擬技術，在ABAQUS平臺上編制PYTHON材料隨機模擬程序，建立了考慮鑄鋼材料不均勻性的隨機有限元模型，分析了鑄鋼材料不均勻性對索鞍極限承載力的影響規律。
材料屬性采用PYTHON的NUMPY數據庫隨機產生，各單元的彈性模量E和屈服強度fy的參數服從正態分布。
單元所采用的彈性模量的概率分布圖和屈服強度的概率分布圖如下圖所示：
生成的隨機模型如下圖所示：
M-L 和 FEM 的數學聯系
構造表達式，比如
假設條件概率分布符合高斯分布：
假設條件概率分布符合多項式分布：
假設條件概率分布符合伯努利分布：
等等形式，不一一列舉。
2. 很顯然，上式無法求解待定系數，所以額外引入最優解約束條件：
05 K-NN的數學原理
表面上看，K-NN的數學原理和以上有所不同，其實有同有不同：
不同之處在于，沒有提及構造表達式，其實最優解約束條件已經包含了構造表達式。所以數學原理在思想還是一樣的。
06 總結
01 上文所有的數學原理都是先構造表達式，在額外加最優解約束條件。很顯然表達式不是隨意構造的，在結構有有限元中，我們的形函數很豐富，有三角形，四邊形，四面體，六面體等，有一次，有二次等；最優解約束條件其實是有根據的，即最小勢能原理和變分原理。
02 在線性模型中，我們構造了線性表達式，所以稱為線性模型，如果我們構造的是二次的表達式，則屬于非線性模型；而最優解約束條件（最小二乘），我們并沒有指出根據，所以最小二乘與其說是約束條件，不如說是評價準則，評價數據符合線性模型的程度，越符合，則最小二乘結果越小；如果構造的是二次表達式，最小二乘則是評價數據符合二次模型的程度。
03 在決策樹模型中，同樣構造了表達式，那么它的最優解約束條件是原理性的，還是人為賦予的評價準則呢？筆者認為是人為賦予的評價，該約束條件評價了數據適合切分的程度，切得越細，則表示數據越不適合切分。
04 在上文中，已經指明，樸素貝葉斯的最優解約束條件是有根據的，即貝葉斯定理。而高斯分布，伯努利分布等即使構造表達式的不同方式。這里的最優解約束條件不是為了評價數據符合各種假設分布的程度。
展開 離散斷裂網絡DFN模型---Baecher Model
本文簡要描述了另一個廣泛使用的模型: Baecher模型 .
2 Baecher模型
DFN顯式地將斷裂或者節理作為不連續的特征，用帶有概率分布的隨機變量來定義. 因此，DFN可以用來推斷現場觀測數據，從而代表巖體不連續的性質。離散斷裂網絡模型是根據斷裂特征之間的特定關系生成的，如斷裂產狀、斷裂、尺寸和終止條件。其中, Baecher模型(Baecher et al., 1978, Statistical Description of Rock Properties and Sampling)是一種非常靈活的算法，可以生成復雜的節理網絡。
Baecher模型
Baecher模型是一個典型的盤形節理模型，其中節理尺寸即跡長是有限的，并且遵循某種統計分布。每個節理由三個參數定義，即中心點、產狀和直徑。節理的中心按照泊松點過程在空間中定位, 在三維空間中均勻分布, 而產狀和直徑既可以按照概率分布函數定義分布變化，也可以是常數。通常我們假定產狀服從Fisher分布. 模型中產生的節理數量由節理烈度來控制。Baecher模型是Itasca系列軟件和Golder FracMan中主要使用的DFN模型.
作為對比, 在二維平面上，Baecher模型與Veneziano模型類似，節理由獨立的線段來表示, 而Veneziano模型的斷裂是由共面線段來表示。Baecher模型的跡長呈對數正態分布, 而Veneziano模型的跡長呈指數分布.
生成的二維Baecher模型
目前, Baecher模型保存在兩個文件夾內, 一個用來保存pdf文件[23個] (..\Rock Mechanics\Baecher Model), 另一個保存txt文件, 用于機器學習(..
展開 
利用Isight優化的五個步驟
設計空間探索
Isight提供了多種工具幫助用戶探索設計空間：
試驗設計：了解輸入與輸出之間的影響關系
優化：在設計空間尋求更好的設計
蒙特卡洛分析：評估輸入變量的概率分布對輸出參數的影響
循環任務：多次執行仿真流程
近似模型：建立可視化的設計空間
5. 結果解讀
Isight提供了相應的工具幫助用戶深入了解探索結果：
試驗設計：Pareto圖、主效應圖和相關性圖
優化：表格、圖表、數據挖掘及總結
蒙特卡洛分析：概率分布、累積分布
近似模型：結果可視化工具
來源：有限元在線
如何使用NumPy生成正態分布隨機數
概率分布描述了事件或實驗所有可能結果的可能性。正態分布是最有用的概率分布之一，因為它可以很好地模擬許多自然現象。
正態分布
正態分布在其峰值周圍是對稱的。由于這種對稱性，分布的均值通常用μ表示，并位于該峰值處。標準差σ描述了分布的擴散程度。
如果一些樣本服從正態分布，則隨機抽取一個樣本接近均值的概率很高。實際上，大約68％的所有樣本都在距離平均值一個標準差之內。
圖中曲線下的面積解釋為概率測量。綠色區域代表所有小于平均數一個標準偏差的樣本，占曲線下面積的68％。
我們都知道在Matlab中可以使用randn函數創建正態分布的隨機數。
在Python中，可以使用NumPy從正態分布中創建隨機數樣本。
numpy生成隨機數
NumPy包含一個完整的子包numpy.random，專門用于處理隨機數。由于歷史原因，該軟件包包括許多函數。
通常應該通過實例化默認隨機數生成器（RNG）來開始：
import numpy as np
rng = np.random.default_rng()
RNG可以從許多不同的分布中生成隨機數。
要從正態分布中抽樣，可以使用.normal()函數：
雖然上圖這些數字看起來是隨機的，但很難確認這些數字是否從給定分布中抽取的。
因此，可以一次生成大量隨機數：
numbers = rng.normal(size=10000)
numbers.mean()
numbers.std()
上述操作生成了一萬個按照正態分布的數字。
若沒有指定任何其他參數，則NumPy將創建所謂的標準正態分布數字，其以μ = 0為中心，并具有標準偏差σ=1。
展開 「EDF開源CAE」YACS和OpenTURNS在核電站事故研究中的耦合應用
和之前介紹的一樣，在OpenTURNS中我們可以定義所有輸入變量的概率分布方式和范圍，最終確定我們不確定分析的設置。
在正式進入計算步驟的時候我們可以直接通過OpenTURNS的GUI進行操作。由于之前已經將YACS定義的計算流程作為研究模型導入了OpenTURNS，在進行不確定分析時OpenTURNS中模型的調用將通過執行所導入的YACS流程來進行，同時YACS設定的并行方式也能在OpenTURNS的執行中得到執行。比如接下來我們要做的集中趨勢分析，就可以通過GUI設置和操作。
隨后OpenTURNS的計算結果可以以各種可視化方式得出，包括概率分布函數PDF，累積分布函數CDF，散點圖等多種表現方式。
如之前所說，在實際研究中我們可以運用不確定性分析法研究安全事故中不同參數變化對結果的影響，以下我們展示MAAP，Salome YACS和Salome OpenTURNS耦合研究核安全事故處理應對措施的不確定性的實際結果。下圖展示了熔融物堆內滯留(In-Vessel Retention, IVR) 策略下反應堆壓力容器熔毀的可能性隨著措施操作延遲量的累計概率分布。
下圖是熔融物堆外滯留(Ex-Vessel Retention, EVR)策略下安全殼被熔融物熔穿的距離隨操作延遲量的分布。
展開 GPT2-Large模型解碼方法比較
自動回歸式語言生成基于如下假設：一個詞序列的概率分布可以分解為鄰接的下一個詞條件概率分布的乘積。目前，GPT2, XLNet, OpenAi-GPT, CTRL, TransfoXL, XLM, Bart和T5都可用于自回歸語言生成。
2 GPT2-Large模型
由OpenAI開發的GPT2是一個大規模的基于Tranformer的語言模型，它是在一個大型的超過800萬個高質量網頁的文本語料庫上預先訓練的。其結果是只使用預訓練而不進行微調就可以獲得具有競爭力的性能。由于GPT2是一個自回歸語言模型，因此對語言生成任務非常有用。本試驗使用的是GPT-Large模型(3.25G)。
3 解碼方法
目前有四種流行的解碼方法，分別是: (1) Greedy search; (2) Beam search; (3) Top-K sampling; and (4) Top-p sampling. 下面分別進行試驗。
3.1 Greedy search
Greedy search(貪婪搜索)只是選擇概率最高的詞作為其接下來的詞，如下圖所示。從第一個詞"The"開始搜索，下一個概率最大的單詞是"nice", 接下來概率最大的詞是"woman", 整體序列概率為0.5*0.4=0.2。因此產生出來的句子為"The nice woman",
Greedy search的主要缺點是，它錯過了隱藏在低概率詞后面的高概率詞，在上面的圖中，"dog" 的概率是0.4, 但"dog"后面的"has"概率是0.9，"The dog has”的整體概率為0.4*0.9=0.36>0.2，但Greedy search不能發現這一點，其結果是產生的句子中包含已經出現過的詞和句子結構。
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