一、隨機振動介紹

隨機振動，可以分為兩個方面來了解，一個是“隨機“，一個是”振動“。隨機，指的是運動是不規(guī)律的，不能用一個函數(shù)來表示其隨時間的變化?！闭駝印爸傅氖俏矬w在一個位置附近的往復(fù)運動。隨機振動的常見例子有汽車在路面上的振動，風(fēng)載荷下建筑的振動等。

對于一個沒有規(guī)律的運動，如何去分析結(jié)構(gòu)的受力狀況呢？以汽車在路面上的運動為例，我們可以測得某一次汽車在路面上的運動信息，這里指的是汽車在垂直于路面方向上的上下顛簸狀況(位移和加速度)，但是重新測一次就會發(fā)現(xiàn)，隨著路面狀況的不同，每次測得的數(shù)據(jù)都不一樣，那么我們該拿哪一次數(shù)據(jù)作為我們分析的輸入呢？

這就是所謂的隨機性。對于隨機性的運動，我們可以采用統(tǒng)計平均的方法來分析。對大量的隨機信號分析表明，雖然單個的信號之間是不相關(guān)的，沒有規(guī)律的，但是它們的分布卻服從概率分布，稱為正態(tài)分布。正態(tài)分布可以表示為：

式中，μ為信號的均值，σ為信號的標(biāo)準(zhǔn)差。F(x)是信號小于x的概率。

正態(tài)分布曲線如下圖所示，它受到平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的影響。

可以看到，均值的改變會使概率分布函數(shù)在水平方向移動，標(biāo)準(zhǔn)差的改變會使函數(shù)的凸凹程度發(fā)生變化。

一般來說，在進(jìn)行隨機振動分析時會假設(shè)隨機信號的均值為零，即使不為零，也可以采用一個均值為零的隨機信號與一個常值信號疊加的方式處理，在這里只分析均值為零的隨機振動。

當(dāng)均值為零時，決定隨機信號分布函數(shù)的變量只有標(biāo)準(zhǔn)差σ。也就是說，σ一旦確定，對應(yīng)于該隨機信號的概率分布函數(shù)也就確定了。這里再次重申一下，隨機信號是隨機的，但是在統(tǒng)計意義上是滿足正態(tài)分布的，我們不能通過單個信號或單次測量的信號集合來作為隨機振動的輸入，但是我們可以通過隨機信號的平均功率來確定其概率分布函數(shù)。也就是說，隨機振動分析并不是通過具體的輸入得到一個具體的結(jié)果，而是通過一個概率分布的輸入，得到一個概率分布的結(jié)果。在實際應(yīng)用中就是，我們輸入隨機信號的功率譜密度，它表征著同樣平均功率的隨機信號輸入，最后會得到一個應(yīng)力分布，這個應(yīng)力分布滿足正態(tài)分布，也是概率分布的，而不是絕對的。

注：之所以隨機響應(yīng)與隨機輸入一樣滿足正態(tài)分布是因為正態(tài)分布具有線性疊加性，而且在進(jìn)行動力學(xué)分析時未涉及非線性部分，所以隨機響應(yīng)與隨機輸入一樣具有穩(wěn)定的數(shù)值統(tǒng)計特征。

現(xiàn)在我們需要得到σ的值。首先看下σ的定義：

為方差，表示信號偏離平均值的程度。

其中μ為數(shù)學(xué)期望，代表著信號的平均值。

當(dāng)均值μ為零時，有

即為信號的平均功率

我們得到了σ的表達(dá)式，但是由于x(t)隨時間的變化是隨機的，沒有一個具體的函數(shù)來表示它，我們不能得到σ的值。所以需要進(jìn)行傅里葉變換，將隨機信號由時域轉(zhuǎn)為頻域表述，在這個過程中，它的平均功率不變，保證了σ不隨著傅里葉變換而改變其大小。

即有：

其中，是x(t)的傅里葉變換。這稱之為帕斯瓦定理。

代入平均功率的表達(dá)式，有

其中，表示了信號的平均功率（或能量）在頻域上的分布，即單位頻帶的功率隨頻率變化的情況，故稱之為信號的自功率譜密度函數(shù)，簡稱自功率譜或自譜。

為了滿足傅里葉變換的條件，信號x(t)絕對值需要可積，即。而實際的隨機信號是不滿足的，所以需要將隨機信號進(jìn)行自相關(guān)處理，令

稱為隨機函數(shù)x(t)的自相關(guān)函數(shù)。它反映了隨機信號本身在不同時刻的相互關(guān)系。

對隨機信號來說，當(dāng)時，自相關(guān)函數(shù)即為時域上的平均功率；當(dāng)非常小時，和是相差很小的，當(dāng)慢慢增大時，和逐漸不再相關(guān)，自相關(guān)函數(shù)快速衰減為零。

當(dāng)隨機信號中具有某種周期性信號時，其自相關(guān)函數(shù)會將其識別出來，并且忽略其相位信息。

根據(jù)維納-辛欽定理，信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換對：

所以隨機信號的功率譜密度可以通過對其自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換求得。

注：這里有一個問題，前面說隨機信號不一定滿足傅里葉變換的條件，后面說對信號進(jìn)行自相關(guān)處理后就可以進(jìn)行傅里葉變換進(jìn)而求得功率譜密度，但是對功率譜密度的定義是對隨機信號進(jìn)行傅里葉變換得到的。也就是功率譜密度是對一個不一定滿足變換條件的函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到的。這個地方我還不是很理解。

總結(jié)一下，隨機振動的信號輸入是隨機的，不能作為振動分析的輸入，但是其分布是滿足正態(tài)分布的，可以作為隨機振動分析的輸入。為了確定隨機振動信號的分布，需要知道信號的功率譜密度，這時可以通過求隨機信號的自相關(guān)函數(shù)，對其進(jìn)行傅里葉變換來得到，進(jìn)而得到了隨機振動的輸入。

定義好隨機振動的輸入后，我們需要看下隨機振動的分析結(jié)果。如前面所說，隨機振動分析的輸出是按照概率分布來的。得到的應(yīng)力符合正態(tài)分布。如下圖所示，求出的結(jié)果為1σ應(yīng)力，表明應(yīng)力值小于這個值的概率為68.27%，通常情況下會選取3σ應(yīng)力作為結(jié)果，其值大于可能出現(xiàn)的99.73%的應(yīng)力。

二、參考文獻(xiàn)

1. 如何理解隨機振動的功率譜密度. J Pan. 知乎
   

2. 《OptiStruct結(jié)構(gòu)分析與工程應(yīng)用》，劉勇，陳斌，羅峰. 機械工業(yè)出版社
   

文章來源：結(jié)構(gòu)仿真學(xué)習(xí)