脈沖函數(shù)
關(guān)注創(chuàng)建者：琳泓c(diǎn)omsol 創(chuàng)建時間：2019-08-27
脈沖函數(shù)的實(shí)例教程
-----前言-----
單位脈沖函數(shù)（Dirac函數(shù)）在一般的數(shù)學(xué)物理方法書籍中有詳細(xì)的介紹。對于該函數(shù)的工程應(yīng)用，在自動控制原理中，可以通過一個系統(tǒng)對單位脈沖激勵的響應(yīng)（脈沖響應(yīng)）的表現(xiàn)，來判斷系統(tǒng)的時域穩(wěn)定性等性質(zhì)。但是直接求一個系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換，才能表示出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。單位脈沖激勵能有這個應(yīng)用，在于其自身的拉氏變換為常數(shù)1，所以系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，在時域用脈沖響應(yīng)評價系統(tǒng)，相當(dāng)于直接評價系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。當(dāng)然，這是后話，后續(xù)筆者擬總結(jié)一下拉氏變換。
在信號與系統(tǒng)中，單位脈沖函數(shù)的最大的作用是引出了卷積積分的定義。筆者是通過鄭君里的《信號與系統(tǒng)》了解這一點(diǎn)的，但是我覺得該書相關(guān)推導(dǎo)過于復(fù)雜，不易理解。另一方面，在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，單自由度系統(tǒng)的振動微分方程起著至關(guān)重要的作用，可以說是理解結(jié)構(gòu)動力學(xué)的基石。在這門學(xué)科中，比較注重方程的解，相關(guān)理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數(shù)微分方程的解出發(fā)，深入理解卷積的內(nèi)涵。
-----LTI系統(tǒng)響應(yīng)的分類-----
傳統(tǒng)來說，LTI系統(tǒng)常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態(tài)解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
展開 </p><p><br></p><p><img src="https://www.yqgqt.org.cn/platform/static/ueditor/dialogs/attachment/fileTypeImages/icon_rar.gif"><a href="https://oss.jishulink.com/upload/201908/b2f676e76a45415bbaf967feb1846c78.rar" rel="noopener noreferrer" target="_blank" style="color: rgb(0, 102, 204);">階梯脈沖函數(shù)模型.rar</a></p><p>階梯脈沖增長函數(shù)， 周期性的，但每個周期后重心均上移，且在一個周期內(nèi)按照不同方波脈沖分布，如下圖所示。</p><p>這個函數(shù)集成了 階梯、脈沖、周期的特征。</p><p><br></p><div contenteditable="false" width="100%"><img title="QQ圖片20190827114023.png" style="max-width: 760px;" alt="QQ圖片20190827114023.png" src="https://img.jishulink.com/upload/201908/2df50d30c2e548d28ee9b9f8162952ca.png" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/201908/2df50d30c2e548d28ee9b9f8162952ca.png?
展開 非參數(shù)模型：頻率響應(yīng)函數(shù)（傳遞函數(shù)）、脈沖響應(yīng)函數(shù)都可以反映了振動結(jié)構(gòu)的特性，稱為非參數(shù)模型。
上述三種模型是等價的。從系統(tǒng)的物理參數(shù)模型（質(zhì)量、剛度、阻尼）可以得到模態(tài)參數(shù)模型（模態(tài)、頻率、衰減系數(shù)或模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼、模態(tài)矢量），進(jìn)而得到非參數(shù)模型（頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)）。以上是振動理論的基本內(nèi)容，也是系統(tǒng)識別的理論基礎(chǔ)。
振動結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)識別
物理參數(shù)識別：結(jié)構(gòu)的物理模型為基礎(chǔ)，物理參數(shù)為識別目標(biāo)。是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)修改的基礎(chǔ)。
模態(tài)參數(shù)識別：以模態(tài)參數(shù)模型為基礎(chǔ)，模態(tài)參數(shù)作為識別目標(biāo)。優(yōu)點(diǎn)：模態(tài)參數(shù)從整體上反映結(jié)構(gòu)的固有振動特性，需識別的參數(shù)少，模態(tài)參數(shù)識別是系統(tǒng)識別的基本要求，是物理參數(shù)識別的基礎(chǔ)，也是模態(tài)分析的主要任務(wù)。
非參數(shù)識別：根據(jù)結(jié)構(gòu)的振動所受激勵和響應(yīng)，確定結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)（或傳遞函數(shù)），或者系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（頻響函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對）。
模態(tài)分析概念
狹義定義：以結(jié)構(gòu)振動理論為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)識別為目標(biāo)的分析方法，稱為模態(tài)分析。
廣義定義：模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)物理參數(shù)模型、模態(tài)參數(shù)模型和非參數(shù)模型的關(guān)系，并通過一定手段確定這些系統(tǒng)模型的理論及其應(yīng)用的一門學(xué)科。
模態(tài)分析過程
根據(jù)具體的方法和手段，模態(tài)分析分為理論模態(tài)分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。
理論模態(tài)分析：即模態(tài)分析的理論過程。理論模態(tài)分析是以線性振動理論為基礎(chǔ)，研究激勵、結(jié)構(gòu)、響應(yīng)三者的關(guān)系，即通過結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)模型獲得模態(tài)參數(shù)模型，進(jìn)而導(dǎo)出非參數(shù)模型。
實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析：即模態(tài)分析的實(shí)驗(yàn)過程，是理論模態(tài)分析的逆過程。
展開 3非參數(shù)模型：頻率響應(yīng)函數(shù)（傳遞函數(shù)）、脈沖響應(yīng)函數(shù)都可以反映了振動結(jié)構(gòu)的特性，稱為非參數(shù)模型。
上述三種模型是等價的。從系統(tǒng)的物理參數(shù)模型（質(zhì)量、剛度、阻尼）可以得到模態(tài)參數(shù)模型（模態(tài)、頻率、衰減系數(shù)或模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼、模態(tài)矢量），進(jìn)而得到非參數(shù)模型（頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)）。以上是振動理論的基本內(nèi)容，也是系統(tǒng)識別的理論基礎(chǔ)
三， 振動結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)識別：
1物理參數(shù)識別：結(jié)構(gòu)的物理模型為基礎(chǔ)，物理參數(shù)為識別目標(biāo)。是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力學(xué)修改的基礎(chǔ)。
2模態(tài)參數(shù)識別: 以模態(tài)參數(shù)模型為基礎(chǔ)，模態(tài)參數(shù)作為識別目標(biāo)。優(yōu)點(diǎn)：模態(tài)參數(shù)從整體上反映結(jié)構(gòu)的固有振動特性，需識別的參數(shù)少，模態(tài)參數(shù)識別是系統(tǒng)識別的基本要求，也是物理參數(shù)識別的基礎(chǔ)。模態(tài)參數(shù)識別是模態(tài)分析的主要任務(wù)。
3非參數(shù)識別：根據(jù)結(jié)構(gòu)的振動所受激勵和響應(yīng)，確定結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)（或傳遞函數(shù)），或者系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（頻響函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)構(gòu)成傅里葉變換對）。
四，模態(tài)分析概念：
狹義定義：以結(jié)構(gòu)振動理論為基礎(chǔ)，以模態(tài)參數(shù)識別為目標(biāo)的分析方法，稱為模態(tài)分析。
廣義定義：模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)物理參數(shù)模型、模態(tài)參數(shù)模型和非參數(shù)模型的關(guān)系，并通過一定手段確定這些系統(tǒng)模型的理論及其應(yīng)用的一門學(xué)科。
五，模態(tài)分析有哪兩種分析過程：
根據(jù)具體的方法和手段，模態(tài)分析分為理論模態(tài)分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析。
1理論模態(tài)分析：即模態(tài)分析的理論過程。理論模態(tài)分析是以線性振動理論為基礎(chǔ)，研究激勵、結(jié)構(gòu)、響應(yīng)三者的關(guān)系，即通過結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)模型獲得模態(tài)參數(shù)模型，進(jìn)而導(dǎo)出非參數(shù)模型。
2實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析：即模態(tài)分析的實(shí)驗(yàn)過程，是理論模態(tài)分析的逆過程。
展開 連續(xù)激光很多同學(xué)都會設(shè)置，但是很多的模型都需要脈沖激光來加工材料，在設(shè)置脈沖激光的時候很多同學(xué)犯了難，不知如何下手。
這里我用的是一個脈沖12ms，重復(fù)頻率50Hz的脈沖激光。
主要思路就是：
1.激光參數(shù)設(shè)置，2.設(shè)置方波函數(shù)，3.設(shè)置解析函數(shù)，4.設(shè)置脈沖激光熱源，5.建立幾何，6模型邊界條件，7.網(wǎng)格劃分和研究步驟設(shè)置 8.計(jì)算結(jié)果
最重要的就是周期脈沖函數(shù)設(shè)置，一般思路就是先利用comsol里面的矩形波函數(shù)，設(shè)置出單個脈沖周期；接著在解析函數(shù)里面調(diào)用矩形波函數(shù)，進(jìn)行周期性拓展。然后利用 脈沖激光=激光高斯熱源×脈沖周期函數(shù)。
以下就是計(jì)算出來的結(jié)果：
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脈沖函數(shù)的最新內(nèi)容
此外，還可以計(jì)算給定輸入脈沖的光纖傳遞函數(shù)和帶寬。
圖4.50μm光纖的DMD和單個脈沖寬度
模式帶寬測量
系統(tǒng)設(shè)置：
使用50mm光纖，我們可以設(shè)置模式帶寬的測量：
從組件庫中，將以下組件拖放到布局中：
? 在“Default/Filter Library/Filter Analyzers”中，將“Optical Filter Analyzer”拖放到布局中。
見（或見鄭君里P114）：
數(shù)峰青，公眾號：數(shù)峰青
傅里葉變換總結(jié)
本文第一部分已述，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。結(jié)合上面對拉氏變換本質(zhì)的理解，可以知道，無論是激勵和響應(yīng)的拉氏變換，還是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，都是定義在復(fù)域（s=β+iw）的復(fù)函數(shù)。
-----前言-----
單位脈沖函數(shù)（Dirac函數(shù)）在一般的數(shù)學(xué)物理方法書籍中有詳細(xì)的介紹。對于該函數(shù)的工程應(yīng)用，在自動控制原理中，可以通過一個系統(tǒng)對單位脈沖激勵的響應(yīng)（脈沖響應(yīng)）的表現(xiàn)，來判斷系統(tǒng)的時域穩(wěn)定性等性質(zhì)。但是直接求一個系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換，才能表示出系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。
Evaluation）即顯示某一點(diǎn)上光場的特性
PS:在中心位置處測量光場隨波長變化
PS：中心位置處不同波長對應(yīng)的電場振幅
9) 點(diǎn)擊鍵，對上述結(jié)果進(jìn)行逆向時間傅里葉變換
PS：輸入OPLA探測的時間偏移量33.3656ps以使變換結(jié)果居中于該時間點(diǎn)
PS：電場振幅在時域中的分布
10) 逆向時間傅里葉變換所得結(jié)果為時域中脈沖的包絡(luò)函數(shù)
步驟4：加權(quán)函數(shù)
運(yùn)行CHARGE求解器以獲得系統(tǒng)對基板中任意位置的電子-空穴對的脈沖響應(yīng)（格林函數(shù) Green’s function）。由此，我們計(jì)算了一個空間變化的加權(quán)函數(shù)，該函數(shù)表示在空間中任何點(diǎn)生成的電子-空穴對被特定像素的觸點(diǎn)收集的概率（本例中為綠色）。
在這一步中，我們在CHARGE仿真中使用point generation source來確定器件的加權(quán)函數(shù)W(x,y,z)。
主要思路就是：
1.激光參數(shù)設(shè)置，2.設(shè)置方波函數(shù)，3.設(shè)置解析函數(shù)，4.設(shè)置脈沖激光熱源，5.建立幾何，6模型邊界條件，7.網(wǎng)格劃分和研究步驟設(shè)置 8.計(jì)算結(jié)果
最重要的就是周期脈沖函數(shù)設(shè)置，一般思路就是先利用comsol里面的矩形波函數(shù)，設(shè)置出單個脈沖周期；接著在解析函數(shù)里面調(diào)用矩形波函數(shù)，進(jìn)行周期性拓展。然后利用 脈沖激光=激光高斯熱源×脈沖周期函數(shù)。
從圖中可以看出，那就是對回聲通道的脈沖響應(yīng)函數(shù)w進(jìn)行估計(jì)，和遠(yuǎn)端聲音信號進(jìn)行卷積后，就可以得到回聲信號的估計(jì)值，然后將麥克風(fēng)采集到的信號減去回聲信號的估計(jì)值，再進(jìn)行傳輸或者播放就解決了這個問題。那怎樣對回聲通道的脈沖響應(yīng)函數(shù)進(jìn)行估呢？自適應(yīng)濾波器。常用的算法有：LMS,NLMS,RLS,APA等。
相比較于電話通信，在智能音箱的遠(yuǎn)場交互使用場景中，自適應(yīng)的回聲消除，顯得更尤為重要。
對自由振動，可以通過自由振動和脈沖響應(yīng)函數(shù)(系統(tǒng)的時域特性參量之一,其傅里葉變換即機(jī)械導(dǎo)納)的關(guān)系直接計(jì)算模態(tài)參量。對受迫振動,可以用數(shù)字時間序列分析方法或其他方法（如隨機(jī)減量法、濾波法等）來計(jì)算模態(tài)參量。時域識別方法的優(yōu)點(diǎn)是能利用運(yùn)行狀態(tài)下機(jī)器的振動信號，適用于不能在實(shí)驗(yàn)室測試的大型結(jié)構(gòu)；缺點(diǎn)是天然振源的激振力往往無法測定和控制，而僅能由響應(yīng)值來識別，故精度較低。
IIR和FIR濾波器則是設(shè)計(jì)脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻響特性，進(jìn)行特定頻段的濾波，可以實(shí)現(xiàn)頻段的精準(zhǔn)分離，包括低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器，其缺點(diǎn)是會影響原始信號的相位，這對原始信號相位有要求的分析需要謹(jǐn)慎使用。
一、模型
伴有余弦或正弦函數(shù)的脈沖面（2D）高斯熱源焊接模擬，材料默認(rèn)為結(jié)構(gòu)鋼。
