脈沖函數的案例
單位脈沖函數及卷積（杜哈梅積分）——從常微分方程的解出發理解
-----前言-----
單位脈沖函數（Dirac函數）在一般的數學物理方法書籍中有詳細的介紹。對于該函數的工程應用，在自動控制原理中，可以通過一個系統對單位脈沖激勵的響應（脈沖響應）的表現，來判斷系統的時域穩定性等性質。但是直接求一個系統的脈沖響應不那么容易，往往借助拉普拉斯變換及其逆變換，才能表示出系統的脈沖響應。單位脈沖激勵能有這個應用，在于其自身的拉氏變換為常數1，所以系統脈沖響應的拉氏變換就是系統的傳遞函數，在時域用脈沖響應評價系統，相當于直接評價系統的傳遞函數。當然，這是后話，后續筆者擬總結一下拉氏變換。
在信號與系統中，單位脈沖函數的最大的作用是引出了卷積積分的定義。筆者是通過鄭君里的《信號與系統》了解這一點的，但是我覺得該書相關推導過于復雜，不易理解。另一方面，在結構動力學中，單自由度系統的振動微分方程起著至關重要的作用，可以說是理解結構動力學的基石。在這門學科中，比較注重方程的解，相關理解也很具象和容易。本文擬從二階常系數微分方程的解出發，深入理解卷積的內涵。
-----LTI系統響應的分類-----
傳統來說，LTI系統常微分方程的解為齊次解和特解之和。除此之外，還可以將方程的解形式上分為零狀態解和零輸入解，它們的意義分別為（鄭君里P60）：
鄭君里P63指出：
而疊加性和均勻性非常重要。
展開 基于comsol的階梯脈沖增長函數的設置 ￥800
</p><p><br></p><p><img src="https://www.yqgqt.org.cn/platform/static/ueditor/dialogs/attachment/fileTypeImages/icon_rar.gif"><a href="https://oss.jishulink.com/upload/201908/b2f676e76a45415bbaf967feb1846c78.rar" rel="noopener noreferrer" target="_blank" style="color: rgb(0, 102, 204);">階梯脈沖函數模型.rar</a></p><p>階梯脈沖增長函數， 周期性的，但每個周期后重心均上移，且在一個周期內按照不同方波脈沖分布，如下圖所示。</p><p>這個函數集成了 階梯、脈沖、周期的特征。</p><p><br></p><div contenteditable="false" width="100%"><img title="QQ圖片20190827114023.png" style="max-width: 760px;" alt="QQ圖片20190827114023.png" src="https://img.jishulink.com/upload/201908/2df50d30c2e548d28ee9b9f8162952ca.png" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/201908/2df50d30c2e548d28ee9b9f8162952ca.png?
展開 你知道這些振動與模態分析的主要概念嗎？
非參數模型：頻率響應函數（傳遞函數）、脈沖響應函數都可以反映了振動結構的特性，稱為非參數模型。
上述三種模型是等價的。從系統的物理參數模型（質量、剛度、阻尼）可以得到模態參數模型（模態、頻率、衰減系數或模態質量、模態剛度、模態阻尼、模態矢量），進而得到非參數模型（頻響函數或脈沖響應函數）。以上是振動理論的基本內容，也是系統識別的理論基礎。
振動結構的系統識別
物理參數識別：結構的物理模型為基礎，物理參數為識別目標。是進行結構動力學修改的基礎。
模態參數識別：以模態參數模型為基礎，模態參數作為識別目標。優點：模態參數從整體上反映結構的固有振動特性，需識別的參數少，模態參數識別是系統識別的基本要求，是物理參數識別的基礎，也是模態分析的主要任務。
非參數識別：根據結構的振動所受激勵和響應，確定結構的頻響函數（或傳遞函數），或者系統的脈沖響應函數（頻響函數與脈沖響應函數構成傅里葉變換對）。
模態分析概念
狹義定義：以結構振動理論為基礎，以模態參數識別為目標的分析方法，稱為模態分析。
廣義定義：模態分析是研究結構物理參數模型、模態參數模型和非參數模型的關系，并通過一定手段確定這些系統模型的理論及其應用的一門學科。
模態分析過程
根據具體的方法和手段，模態分析分為理論模態分析和實驗模態分析。
理論模態分析：即模態分析的理論過程。理論模態分析是以線性振動理論為基礎，研究激勵、結構、響應三者的關系，即通過結構的物理參數模型獲得模態參數模型，進而導出非參數模型。
實驗模態分析：即模態分析的實驗過程，是理論模態分析的逆過程。
展開 振動與模態分析的主要概念
3非參數模型：頻率響應函數（傳遞函數）、脈沖響應函數都可以反映了振動結構的特性，稱為非參數模型。
上述三種模型是等價的。從系統的物理參數模型（質量、剛度、阻尼）可以得到模態參數模型（模態、頻率、衰減系數或模態質量、模態剛度、模態阻尼、模態矢量），進而得到非參數模型（頻響函數或脈沖響應函數）。以上是振動理論的基本內容，也是系統識別的理論基礎
三， 振動結構的系統識別：
1物理參數識別：結構的物理模型為基礎，物理參數為識別目標。是進行結構動力學修改的基礎。
2模態參數識別: 以模態參數模型為基礎，模態參數作為識別目標。優點：模態參數從整體上反映結構的固有振動特性，需識別的參數少，模態參數識別是系統識別的基本要求，也是物理參數識別的基礎。模態參數識別是模態分析的主要任務。
3非參數識別：根據結構的振動所受激勵和響應，確定結構的頻響函數（或傳遞函數），或者系統的脈沖響應函數（頻響函數與脈沖響應函數構成傅里葉變換對）。
四，模態分析概念：
狹義定義：以結構振動理論為基礎，以模態參數識別為目標的分析方法，稱為模態分析。
廣義定義：模態分析是研究結構物理參數模型、模態參數模型和非參數模型的關系，并通過一定手段確定這些系統模型的理論及其應用的一門學科。
五，模態分析有哪兩種分析過程：
根據具體的方法和手段，模態分析分為理論模態分析和實驗模態分析。
1理論模態分析：即模態分析的理論過程。理論模態分析是以線性振動理論為基礎，研究激勵、結構、響應三者的關系，即通過結構的物理參數模型獲得模態參數模型，進而導出非參數模型。
2實驗模態分析：即模態分析的實驗過程，是理論模態分析的逆過程。
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comsol脈沖激光設置：教程+模型 ￥15
連續激光很多同學都會設置，但是很多的模型都需要脈沖激光來加工材料，在設置脈沖激光的時候很多同學犯了難，不知如何下手。
這里我用的是一個脈沖12ms，重復頻率50Hz的脈沖激光。
主要思路就是：
1.激光參數設置，2.設置方波函數，3.設置解析函數，4.設置脈沖激光熱源，5.建立幾何，6模型邊界條件，7.網格劃分和研究步驟設置 8.計算結果
最重要的就是周期脈沖函數設置，一般思路就是先利用comsol里面的矩形波函數，設置出單個脈沖周期；接著在解析函數里面調用矩形波函數，進行周期性拓展。然后利用 脈沖激光=激光高斯熱源×脈沖周期函數。
以下就是計算出來的結果：
展開 系統的復域分析：從增益角度理解傳遞函數
另外，由于單位脈沖函數δ(t)的拉氏變換為常數1（收斂域為整個復平面），可以得出：系統的傳遞函數等于系統對單位脈沖激勵的響應（單位脈沖響應）的拉氏變換。將L(δ(t))=1替換G(s)=U(s)/F(s)中的F(s)即可得。
二、從增益角度理解傳函
但是本文想從拉普拉斯變換的定義出發，以增益的角度來理解傳遞函數的內涵。我們在對拉氏變換的總結中，將拉普拉斯變換的本質理解為：
拉氏變換是對函數在t>0域進行指數衰減后的傅里葉變換，就是將原函數f(t)乘以一個單位階躍函數（使其限定在t>0域）和一個指數衰減函數exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換
數峰青，公眾號：數峰青
拉普拉斯變換總結
我們在對傅氏變換的總結中，理解傅氏變換F(iw)本質上是復振幅密度隨頻率的變化（在諧波的復數形式下討論）。F(iw)是一個復函數，其幅值（模）表示信號中各頻率分量的相對大小，其幅角表示信號中各頻率諧波之間的相位關系，通常習慣上也可以將F(iw)叫做復振幅頻譜（鄭君里P117）。見（或見鄭君里P114）：
數峰青，公眾號：數峰青
傅里葉變換總結
本文第一部分已述，系統的傳遞函數等于系統單位脈沖響應的拉氏變換。結合上面對拉氏變換本質的理解，可以知道，無論是激勵和響應的拉氏變換，還是系統的傳遞函數，都是定義在復域（s=β+iw）的復函數?，F在以復數運算規則來審視傳遞函數的公式：U(s)=G(s)F(s)，可以認為：G(s)本質上是一種對輸入信號（定義在s上的）復振幅密度的幅值增益和幅角移動（需要指出，雖然G(s)在計算上等于單位脈沖響應的拉氏變換，但它本質上并不具有響應的拉氏變換的“量綱”，也即不能說G(s)是某個信號在s處的復振幅密度）。
展開 什么是希爾伯特變換？
因而，希爾伯特變換可視作一個濾波器，可以通過傳遞函數來描述它。起到希爾伯特變換作用的濾波器，我們稱之為希爾伯特變換器或90度相位移動器。假設輸入信號x(t)和輸出信號y(t)的傅里葉變換分別為X(jω)和Y(jω)，那么，希爾伯特變換使相位移動90度，定義為
我們知道正弦信號相位移動90度，可以變成余弦信號，反之亦然。那么，我們可以說，正弦信號的希爾伯特變換是余弦信號，余弦信號的希爾伯特變換是正弦信號。
除了用傳遞函數來描述希爾伯特濾波器的特性之外，還可以用脈沖響應函數來描述。脈沖響應函數由頻響函數經傅里葉逆變換得到。但上式不能直接進行逆變換，因為它不是一個衰減函數。為了使之滿足逆變換的要求，對上式乘以一個指數函數，而指數函數求逆非常方便。如果變量σ趨于0，如圖4所示，那么，原始的傳遞函數乘以指數函數后，變換成
圖4 希爾伯特變換的頻響函數和脈沖響應函數
修改后的傳遞函數H(jω)的脈沖響應函數為
對上式求極限，我們可以得到希爾伯特變換的脈沖響應函數為
時域信號的希爾伯特變換也可以通過一個確定的公式來計算，類似傅里葉變換。通過上面的脈沖響應函數我們知道，它在t=0時刻是沒有定義的。對于這個定義而言，涉及到卷積積分。
展開 模態分析基本步驟概述：大致可分為四個基本過程
首先，將結構物在靜止狀態下進行人為激振，通過測量激振力與振動動響應并進行雙通道快速傅里葉變換（FFT）分析，得到任意兩點之間的機械導納函數（傳遞函數）。
用模態分析理論通過對試驗導納函數的曲線擬合，識別出結構物的模態參數，從而建立起結構物的模態模型。根據模態疊加原理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預言結構物的實際振動的響應歷程或響應譜。
近十多年來，由于計算機技術、FFT分析儀、高速數據采集系統以及振動傳感器、激勵器等技術的發展，試驗模態分析得到了很快的發展，受到了機械、電力、建筑、水利、航空、航天等許多產業部門的高度重視。已有多種檔次、各種原理的模態分析硬件與軟件問世。在各種各樣的模態分析方法中，大致均可分為四個基本過程：
1. 動態數據的采集及頻響函數或脈沖響應函數分析
(1) 激勵方法。試驗模態分析是人為地對結構物施加一定動態激勵，采集各點的振動響應信號及激振力信號，根據力及響應信號，用各種參數識別方法獲取模態參數。激勵方法不同，相應識別方法也不同。
目前主要由單輸入單輸出（SISO）、單輸入多輸出（SIMO）多輸入多輸出（MIMO）三種方法。以輸入力的信號特征還可分為正弦慢掃描、正弦快掃描、穩態隨機（包括白噪聲、寬帶噪聲或偽隨機）、瞬態激勵（包括隨機脈沖激勵）等。
(2) 數據采集。SISO方法要求同時高速采集輸入與輸出兩個點的信號，用不斷移動激勵點位置或響應點位置的辦法取得振形數據。SIMO及MIMO的方法則要求大量通道數據的高速并行采集，因此要求大量的振動測量傳感器或激振器，試驗成本較高。
(3) 時域或頻域信號處理。例如譜分析、傳遞函數估計、脈沖響應測量以及濾波、相關分析等。
2.
展開 振動專業重要總結
3 函數參數：頻率響應函數(FRF)，脈沖響應函數(IRF)。
三：參數識別的三種類型
1 物理參數識別：結構動力學修改的依據。
2 模態參數識別：物理參數識別的依據。
3 函數參數識別：模態參數識別的根據。
四：結構模態分析
1 理論模態分析：由物理參數獲得模態參數。
2 實驗模態分析：由函數參數獲得模態參數。
五：模態的類型
1 無阻尼和比例阻尼結構的模態為實模態（純模態）。
2 非比例阻尼結構的模態為復模態。
《MATLAB在振動信號處理中的應用》
29
第2章 振動信號處理的基本概念 30
2．1 振動的描述 30
2．1．1 周期振動 31
2．1．2 非周期振動 33
2．1．3 隨機振動 34
2．2 單自由度系統的振動力學模型和特征參數 35
2．2．1 單自由度系統的振動力學模型 35
2．2．2 單位脈沖響應函數與杜哈美爾積分 37
2．2．3 單自由度系統的傳遞函數和頻響分析 39
2．3 多自由度系統的傳遞函數和頻響函數 42
2．3．1 比例阻尼系統(實模態理論) 43
2．3．2 一般阻尼系統(復模態理論) 44
2．3．3 多自由度系統的脈沖響應函數與頻響函數的關系 48
2．4 振動信號處理的基本內容 48
2．4．1 振動信號的預處理 49
2．4．2 振動信號的時域處理 49
2．4．3 振動信號的頻域處理 49
2．4．4 試驗模態參數識別 49
2．5 傅里葉變換 50
2．5．1 傅里葉級數的展開 50
2．5．2 連續傅里葉變換 51
2．5．3 傅里葉變換的性質 51
2．5．4 離散傅里葉變換 52
2．5．5 泄漏和加窗 52
2．5．6 快速傅里葉變換 53
第3章 振動測試 55
3．1 振動測試內容簡介 55
3．2 振動測試系統的組成 56
3．2．1 振動信號測量 56
3．2．2 振動數據采集 56
3．3 振動測量儀器 57
3．4 數據采集系統 58
3．4．1 采集系統的工作原理 58
3．4．2 數據采集的操作過程 60
3．4．3 采樣定理 61
3．5 激振設備 62
3．5．1 振動臺 62
3．5．2 激振器 63
3．5．3 起振機 64
3．5．4 力錘 65
3．6 振動測試的基本內容及激振方式 65
3．6．1 振動強度測試 66
3．6．2 動力特性測試 67
第4章 振動信號預處理方法 69
4．1 采樣數據的標定變換 69
4．2 消除多項式趨勢項
展開 聲學發展史之——智能聲學
如上圖所示，
為遠端說話人的聲音信號，
為回聲通道的脈沖響應函數，
為回聲信號，
為近端說話人的聲音，
為近端麥克風采集的聲音信號，
為誤差。遠端說話人的聲音通過近端喇叭放出后，通過直射或者反射被近端的麥克風采集到，又傳回了遠端，這就是回聲產生的基本原因。
那怎么消除回聲呢？從圖中可以看出，那就是對回聲通道的脈沖響應函數w進行估計，和遠端聲音信號進行卷積后，就可以得到回聲信號的估計值，然后將麥克風采集到的信號減去回聲信號的估計值，再進行傳輸或者播放就解決了這個問題。那怎樣對回聲通道的脈沖響應函數進行估呢？自適應濾波器。常用的算法有：LMS,NLMS,RLS,APA等。
相比較于電話通信，在智能音箱的遠場交互使用場景中，自適應的回聲消除，顯得更尤為重要。為什么呢？試想一下，音箱正在大聲播放著我們喜歡聽的歌曲，這時候我們突然想讓音箱播放今天的天氣情況，通常情況下，我們人到音箱上麥克風的距離要遠遠大于音箱上喇叭到麥克風的距離，音量也沒有喇叭播放的大，我們播放天氣的指令完全淹沒在了音箱自己播放的音樂當中，導致就沒有聽到我們的指令，因此必須進行回聲消除，否則音箱根本就不知道我們有沒有給它指令，何談交互。簡單說，回聲消除就是要讓音箱聽清我們說的。
5. 去混響
用回聲消除技術解決了音箱喇叭播放的聲音對我們語音指令的影響后，房間里的混響也會對指令產生影響。怎么理解房間混響呢？聲源發出的聲音， 除了直接抵達我們耳朵的部分，還有一部分經過房間墻壁或者家居等物品反射或者散射之后才抵達我們的耳朵，這些延遲到達的聲音就被稱為混響聲。這個延遲的時間越長，表示混響的效果越強。
展開 
RP Fiber Power 非線性光纖環形鏡
文件：Nonlinear fiber loop mirror .fpw
該范例研究非線性環形鏡函數，并由一段有源短光纖，一段無源長光纖，及光纖耦合器構成。將脈沖入射至光纖耦合器的輸入端口，在環形腔中獲得兩個反向脈沖。當其中一個脈沖在進入無源光纖之前被放大，而另一路在其后被放大，兩路存在非線性相移。因此，當脈沖再次在光纖耦合器內相遇，由于干涉效應的影響，輸入端口無輸出功率，其它端口存在功率分布。
在克爾非線性效應、色散及放大效應下，研究超短脈沖傳輸。
圖形如下所示：
圖1為有源光纖內的平均功率。可見，泵浦功率主要部分仍未被吸收。
圖2為時域內的輸出脈沖。用戶可設置不同的輸入脈沖能量，研究耦合過程。
圖3為耦合比與輸入脈沖能量的關系。準確講應為，進入輸出端口的功率部分與輸入脈沖能量的函數曲線。對于每一個脈沖能量，需要計算放大器的穩定狀態。
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展開 實驗模態分析和仿真模態分析的意義 ￥1
首先，將結構物在靜止狀態下進行人為激振，通過測量激振力與胯動響應并進行雙通道快速傅里葉變換（FFT）分析，得到任意兩點之間的機械導納函數（傳遞函數）。用模態分析理論通過對試驗導納函數的曲線擬合，識別出結構物的模態參數，從而建立起結構物的模態模型。根據模態疊加原理，在已知各種載荷時間歷程的情況下，就可以預言結構物的實際振動的響應歷程或響應譜。
近十多年來，由于計算機技術、FFT分析儀、高速數據采集系統以及振動傳感器、激勵器等技術的發展，試驗模態分析得到了很快的發展，受到了機械、電力、建筑、水利、航空、航天等許多產業部門的高度重視。已有多種檔次、各種原理的模態分析硬件與軟件問世。在各種各樣的模態分析方法中，大致均可分為四個基本過程：
（1）動態數據的采集及頻響函數或脈沖響應函數分析
1）激勵方法。試驗模態分析是人為地對結構物施加一定動態激勵，采集各點的振動響應信號及激振力信號，根據力及響應信號，用各種參數識別方法獲取模態參數。激勵方法不同，相應識別方法也不同。目前主要由單輸入單輸出（SISO）、單輸入多輸出（SIMO）多輸入多輸出（MIMO）三種方法。以輸入力的信號特征還可分為正弦慢掃描、正弦快掃描、穩態隨機（包括白噪聲、寬帶噪聲或偽隨機）、瞬態激勵（包括隨機脈沖激勵）等。
2）數據采集。SISO方法要求同時高速采集輸入與輸出兩個點的信號，用不斷移動激勵點位置或響應點位置的辦法取得振形數據。SIMO及MIMO的方法則要求大量通道數據的高速并行采集，因此要求大量的振動測量傳感器或激振器，試驗成本較高。
3）時域或頻域信號處理。例如譜分析、傳遞函數估計、脈沖響應測量以及濾波、相關分析等。
（2）建立結構數學模型 根據已知條件，建立一種描述結構狀態及特性的模型，作為計算及識別參數依據。
展開 可靠性工程師應該了解的振動試驗基礎知識 附工程振動基礎下載
對自由振動，可以通過自由振動和脈沖響應函數(系統的時域特性參量之一,其傅里葉變換即機械導納)的關系直接計算模態參量。對受迫振動,可以用數字時間序列分析方法或其他方法（如隨機減量法、濾波法等）來計算模態參量。時域識別方法的優點是能利用運行狀態下機器的振動信號，適用于不能在實驗室測試的大型結構；缺點是天然振源的激振力往往無法測定和控制，而僅能由響應值來識別，故精度較低。
載荷識別
指分析和確定振源的性質（是有規律的還是隨機的？是定力還是定運動？等等）、傳播途徑及振源施加在系統上的載荷譜（即載荷的時間歷程）。載荷識別也叫環境預測，它可為分析系統的動力響應和振動原因等提供數據。大型結構承受的載荷非常復雜，很難直接測定，但可以通過結構的響應信號和系統已知的數學模型來反推系統承受的載荷，再根據各種工況下得出的數據進行統計和綜合，最終得到載荷譜。振源的性質和傳播途徑可以用功率譜分析或相關分析方法得出。
振動環境試驗
為了了解產品的耐振壽命和性能指標的穩定性，錄找可能引起破壞或失效的薄弱環節，對系統在模擬實際環境的振動、沖擊條件下進行的考核試驗。定型產品的試驗規范通常已經標準化，新產品要制定合適的試驗方法。
試驗方法分兩大類：
①標準試驗,包括耐預定頻率試驗、耐共振試驗、正弦掃描試驗、寬帶隨機振動試驗、沖擊試驗、聲振試驗和運輸試驗等；
②非標準試驗，包括瞬態波形振動試驗、窄帶隨機振動試驗、隨機波再現試驗、正弦波和隨機波混合試驗等。
振動試驗數據處理和分析
試驗得到的大量原始數據必須經過各種處理，才能作為工程設計計算的依據資料。
展開 圖2 模態計算部分振型圖
表2 機油盤固有頻率及振型描述
階次
仿真頻率/Hz
振型描述
1
232
整體一階扭轉
2
447
側面板局部模態
3
602
端口局部模態
4
609
側面板局部模態
5
720
端口面彎曲模態
6
746
底面板及側面板局部模態
7
857
底面板及側面板局部模態
8
986
縱向彎曲模態
9
1000
端口面開合模態
10
1050
側面板局部模態
3 試驗模態分析
模態測試的主要目的是同時測量系統的輸入和輸出信號，并對其進行數字處理，從而估計出被測試系統的頻響函數或脈沖響應函數，為模態分析提供準確可靠的依據。為了驗證前面用有限元方式獲得的機油盤模態分析的可靠性，通過試驗的手段，獲得發動機機油盤真實的模態振型和頻率，并與有限元分析結果作對比。
3.1 試驗系統
在實際試驗條件下測量發動機機油盤的固有頻率，模擬出在HyperWorks中的自由狀態，要求被測對象處于自由狀態下。本次試驗采用彈性繩懸掛法模擬，選擇沖擊力錘進行單點激勵，用壓電式加速度傳感器單點測量的方法，在采用橡皮繩懸掛時要求橡
皮繩的剛度盡可能的小而不增加附加剛度。模態測試系統由三部分組成：激振系統、信號拾取系統、數據采集和信號分析系統，如圖3所示。
圖3 模態測試系統
3.2 測點與激振點的布置
試驗中模擬“自由-自由”邊界條件，將所測試機油盤用柔軟的彈性繩懸掛于吊架水平位置。
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