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從該定理可知，共軛梯度法能否快速收斂，主要取決于“A”是否“接近于”單位矩陣。特別地，當(dāng)A就是單位矩陣時(shí)，rank(B)=0，此時(shí)一步即可收斂，當(dāng)然這是很顯然的。 基于上述定理，多種基于共軛梯度法法衍生的預(yù)處理共軛梯度法（PCG）得以廣泛地應(yīng)用。

這些空間梯度是由于在具有梯度尺寸的晶粒中逐漸達(dá)到屈服點(diǎn)以及相應(yīng)的梯度滑動(dòng)阻力而產(chǎn)生的。CPFE結(jié)果還揭示了梯度應(yīng)力和梯度塑性應(yīng)變的非均勻空間分布，這是隨機(jī)晶粒取向和梯度晶粒尺寸共同作用的結(jié)果。

<h1><strong>插件介紹</strong></h1><p>Voronoi FGM 3D (Mesh) V1.0 - AbyssFish 插件可在Abaqus軟件內(nèi)生成梯度分布的三維泰森多邊形長(zhǎng)方體模型。插件可用于梯度功能材料(Functionally Gradient Materials)、梯度納米金屬材料、梯度金屬結(jié)構(gòu)等梯度晶體模型的建立。

圖3 不同分布梯度模型三、結(jié)論結(jié)合開源軟件neper，通過用戶自定義梯度分布函數(shù)，可以很方便地實(shí)現(xiàn)梯度組織模型的建立，除本文介紹的x方向單向梯度模型的建立之外，采用該方法，可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)多方向復(fù)雜梯度多晶組織模型的建立。

插件介紹 CAD球體功能梯度材料3D插件可在AutoCAD內(nèi)建立大小呈現(xiàn)梯度分布的球體及長(zhǎng)方體孔隙三維模型。 功能梯度材料（FGM）模型包含大小梯度變化的球體及與之適配的長(zhǎng)方體部件，可用于球體材料的梯度分布或梯度多孔結(jié)構(gòu)材料建模。

而本文即將討論的共軛梯度法，是迭代法的一種，并且，其屬于目前求解對(duì)稱線性方程組的主要迭代方法。各大商業(yè)有限元軟件，在面臨對(duì)稱線性方程組的求解時(shí)幾乎都會(huì)選用各種變化形式的共軛梯度法進(jìn)行求解。 共軛梯度法的具體原理和算法如下： 假定要求解的對(duì)稱線性方程組是： 其中，A是對(duì)稱正定的系數(shù)矩陣。

這些力可以區(qū)分為垂直和水平壓力梯度力。 垂直壓力梯度力 垂直壓力梯度力是由于壓力沿垂直方向的變化而產(chǎn)生的。該力負(fù)責(zé)影響飛機(jī)的升力和高度性能。例如，飛機(jī)在低壓高空飛行時(shí)，垂直氣壓梯度力使空氣向上推，飛機(jī)出現(xiàn)逆風(fēng)。這種對(duì)飛行不利的逆風(fēng)會(huì)造成飛機(jī)性能和穩(wěn)定性問題。因此，這會(huì)產(chǎn)生更多關(guān)于維持飛機(jī)俯仰角和足夠升力的問題。 水平壓力梯度力 水平壓力梯度力是水平方向壓力差的結(jié)果。

FGM概念FGM是功能梯度材料（Functionally graded materials）的英文簡(jiǎn)稱，也被稱為梯度功能材料。功能梯度材料(FGM)是一種新型非均勻復(fù)合材料,是由性能不同的兩種或多種材料復(fù)合成組分和結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)連續(xù)梯度變化的材料。它要求功能、性能隨內(nèi)部位置的變化而變化，以實(shí)現(xiàn)功能梯度的材料。從本質(zhì)上來講，F(xiàn)GM是一種比較特殊的復(fù)合材料。

&nbsp;梯度</strong></p><p>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;了解了什么是梯度算子之后，我們能夠很容易的得到梯度公式。

在過去的幾十年中，應(yīng)變梯度模型得到了不斷的發(fā)展和完善。其中一個(gè)重要的進(jìn)展是基于變分原理的應(yīng)變梯度模型，這種方法可以更好地處理材料的宏觀和微觀結(jié)構(gòu)之間的相互作用。另外，還有一些新的應(yīng)變梯度模型被提出，如擴(kuò)散應(yīng)變梯度模型、自適應(yīng)應(yīng)變梯度模型等，這些模型更加復(fù)雜，可以更好地描述納米材料的非局部行為。除了理論方面的發(fā)展，應(yīng)變梯度模型在實(shí)驗(yàn)方面的應(yīng)用也得到了大力推廣。

沿直線分布的FGM梯度晶體模型只需在CAD草圖建立時(shí)將邊界線用多段線分段繪制即可，每段的尺寸與對(duì)應(yīng)位置的晶粒尺寸一致。 可對(duì)模型劃分網(wǎng)格，并進(jìn)行后續(xù)的梯度晶粒結(jié)構(gòu)仿真模擬分析。

<p><strong>功能說明</strong></p><p>插件可在AutoCAD軟件內(nèi)生成指定梯度分布的Voronoi圖形，用于功能梯度材料、變晶粒Voronoi圖，加權(quán)泰森多邊形等方面的幾何建模。

COMSOL中梯度Voronoi晶粒結(jié)構(gòu)建模，可精準(zhǔn)研究非均勻晶粒對(duì)力學(xué)、熱傳導(dǎo)及失效的多物理場(chǎng)影響，為高性能梯度材料設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，助力航空航天與電子領(lǐng)域應(yīng)用，推動(dòng)微觀-宏觀性能關(guān)聯(lián)研究。本案例介紹在COMSOL內(nèi)建立大小尺寸梯度分布的晶粒結(jié)構(gòu)模型。

二維梯度模塊界面 圖1.1 二維梯度晶體模型生成界面2.

梯度多孔介質(zhì)FGM模型采用CAD球體功能梯度材料3D插件建立，模型在AutoCAD內(nèi)建立完成后導(dǎo)出為sat格式文件。通過插件可靈活控制孔隙率、梯度、孔徑分布及最小間距約束，生成符合實(shí)際工程需求的梯度孔隙結(jié)構(gòu)。

常見的非對(duì)稱系數(shù)矩陣求解方法主要有：廣義最小殘差法(GMRES)，雙共軛梯度法（Bicg）穩(wěn)定雙共軛梯度法(BiCGStab)，穩(wěn)定混合雙共軛梯度法（BiCGStab(l)），這些方法相對(duì)于常規(guī)的共軛梯度法在推導(dǎo)上均增加了一些難度，實(shí)際推導(dǎo)往往較為復(fù)雜。本文不展開推導(dǎo)，僅對(duì)穩(wěn)定雙共軛梯度法(BiCGStab)的偽代碼作簡(jiǎn)要粘貼。

梯度孔隙3D模型采用CAD球體功能梯度材料3D插件建模，AutoCAD參數(shù)化建模完成后將多孔結(jié)構(gòu)梯度模型導(dǎo)出為sat格式文件。 在ANSYS Workbench內(nèi)選擇與研究相適應(yīng)的分析系統(tǒng)，并在幾何結(jié)構(gòu)下導(dǎo)入梯度孔隙幾何模型。

ANSYS Workbench內(nèi)建立梯度功能材料模型可以采用CAD功能梯度材料2D插件建模后導(dǎo)入到Workbench內(nèi)。在插件內(nèi)設(shè)置模型參數(shù)后運(yùn)行即可在AutoCAD內(nèi)建立梯度分布的隨機(jī)圓形模型。 在CAD內(nèi)將FGM模型構(gòu)建實(shí)體后導(dǎo)出為IGES格式文件。

功能梯度材料（FGM）作為一種新型復(fù)合材料，通過材料內(nèi)部成分或微觀結(jié)構(gòu)的梯度變化，優(yōu)化特定性能適應(yīng)復(fù)雜環(huán)境，被廣泛應(yīng)用于高溫防護(hù)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、生物醫(yī)學(xué)、光電設(shè)備等領(lǐng)域。本案例介紹在ABAQUS內(nèi)建立功能梯度材料模型。