和   這兩種表達式經常出現在流體力學公式中，盡管兩者形式很相近，但是表達的意義卻大相徑庭。這次我們通過介紹梯度和散度，來掌握一些公式化簡的技巧。

1. 梯度算子

         什么叫梯度算子？    這個表達式看似是一個整體，實際上卻是由兩個物理符號組成。 其中   是一個物理量，可以是密度、壓力、溫度等，   就是梯度算子。

         梯度算子是高等數學的一個概念，表示空間各方向上的全微分，表達式為：

（

）

 從表達式我們能夠看出，實際上梯度算子是一個向量，只不過這個向量的各個分量是微分形式。如果有其他的物理量與其結合，就能夠組成一些表達式。

2. 梯度

        了解了什么是梯度算子之后，我們能夠很容易的得到梯度公式。梯度本質上就是梯度算子與一個物理量相乘，如 

（

）

 由于   為密度，是一個標量物理量，因此直接將   乘進括號即可，得：

  （

）

公式3即為密度的梯度 。

注：

1） 梯度是一個向量，一個標量函數的梯度記為：   或grad   。在三維直角坐標中表示為   ；如函數   的梯度為   。

2） 梯度的方向表示標量變化最快的方向，梯度的模表示標量變化最快方向的變化量及最大變化量。

3） 柱坐標下的梯度算符

        此處的加法并非數學運算的加法，而是向量的表達方法。其中分別是柱坐標下三個方向（徑向、切向和軸向）的單位向量

 

3. 散度

         散度（divergence）可用于表征空間各點矢量場發散的強弱程度，物理上，散度的意義是場的有源性

對于一個矢量場   而言，散度有兩種不同的定義方式。第一種定義方式和坐標系無關：

 

第二種定義方式則是在直角坐標系下進行的：

從第二種定義方式來看，散度實際上是梯度算子與一個矢量物理量點乘，這個矢量物理量在流體力學中一般為速度V。因此將散度展開書寫為公式（4），兩個向量的點乘等于各個分量相乘再相加，也就是上式。

（

）

注：

1）梯度為向量，而散度為標量。

2）梯度   和散度   符號類似，但兩者意義相差甚大。梯度的   為標量，其意義是對三個方向分別求偏導。而散度的V為矢量，表示的是梯度算子與矢量V的點乘，求和之后為標量。

 

4.舉例

        對于流體力學連續性方程公式（5）進行簡化表達。

（5）

對于這個方程我們可以看到，方程左邊第二項到第四項可以寫成   ，方程左邊后三項可以簡寫成   。因此式5可以簡寫為:

 而6式的第一項和第二項實際上為密度的隨體導數（關于隨體導數，也是流體力學中常出現的符號），可以寫作   ,因此6式可寫為：

當流體為不可壓縮流體時，密度為常數，此時    ，公式7為：

 公式8即為我們經常遇到的不可壓縮流體的連續性方程。

5.總結

       梯度和散度只是流體力學中兩個比較基本的概念，還有一些其他的知識點需要我們掌握，比如拉普拉斯算子、雷諾輸運方程、高斯定理等，當掌握這些知識之后，流體力學的三大守恒公式就可以自行推導了。