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八、總結(jié)有限元分析的最大特點(diǎn)就是標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化，這種特點(diǎn)時(shí)使大規(guī)模分析和計(jì)算成為可能。實(shí)現(xiàn)有限元分析標(biāo)準(zhǔn)化和規(guī)范化的載體就是單元，通過構(gòu)造具有代表性的單元裝配成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。在此例中構(gòu)造三角形單元，先列出小剛度矩陣，再進(jìn)行裝配，最后帶入邊界條件和外力得出位移、應(yīng)力、應(yīng)變的解，并且畫出云圖。云圖中體現(xiàn)了應(yīng)力集中，即在小孔周圍網(wǎng)格密集（即應(yīng)力大），在遠(yuǎn)離小孔的地方應(yīng)力網(wǎng)格稀疏，符合了彈性力學(xué)的理論。

前面我們展示過計(jì)算流體力學(xué)解迷宮：《教你用CFD解迷宮》很多CFDer揚(yáng)眉吐氣：我就說學(xué)CFD有用吧！做有限元的同學(xué)不淡定了：那我呢？別急兄弟，有限元也可以的。CFD解迷宮的本質(zhì)，是讓流體從高壓區(qū)向低壓區(qū)流動(dòng)。只要進(jìn)出口有壓力差，流體總能找到一條通路。同理，如果進(jìn)出口有電勢差，電流也能找到一條通路。

摘要：本文分析了過盈配合的有限元計(jì)算時(shí)用到超彈性本構(gòu)時(shí)可壓縮性對計(jì)算結(jié)果的影響情況，得到在過盈配合中必須考慮這種可壓縮性的結(jié)論并分析考慮可壓縮性的原因。1、引言 過盈配合是橡膠工業(yè)中的一種常見的配合方式。橡膠為超彈性材料，有限元計(jì)算中通常假定為不可壓或者幾乎不可壓。本文首先給出一種不可壓橡膠模型過盈配合的理論解，并與ABAQUS 計(jì)算解進(jìn)行比較。

有限元仿真的必要步驟 從有限元分析的原理上看，網(wǎng)格劃分的越細(xì)密，求解結(jié)果的精度越高。

在后處理的過程中，要圍繞關(guān)鍵性的設(shè)計(jì)指標(biāo)展開分析，注意計(jì)算結(jié)果是否反映了設(shè)計(jì)思想和意圖。總而言之，有限元分析實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)解題的過程，要重視解題的方法，更需要重視題目的提出過程。這好比不僅要會(huì)“解方程”，更重要的是要會(huì)正確的“列方程”。“列方程”的依據(jù)不是別的，正是基于力學(xué)和物理學(xué)的基本原理。

這種現(xiàn)象首先由MacNeal指出，考慮下列的梯形單元，其坐標(biāo)在參考平面x-z中可以表示為： 考慮純彎曲變形的梁中M/EI=1，v=0，則梁的位移的解析解為： 或者使用等參坐標(biāo)表示為： 則有限元的位移為： 對應(yīng)的應(yīng)變場為： 而實(shí)際的解析應(yīng)變場為： 比較解析解和有限元解可知，當(dāng)時(shí)，二者不相等。

有限元仿真的必要步驟 從有限元分析的原理上看，網(wǎng)格劃分的越細(xì)密，求解結(jié)果的精度越高。但在實(shí)際工程的設(shè)計(jì)和應(yīng)用中，網(wǎng)格數(shù)量的急劇增加會(huì)導(dǎo)致計(jì)算的時(shí)間成本大幅增加，而且當(dāng)網(wǎng)格數(shù)量達(dá)到一定數(shù)量后，計(jì)算精度的提高并不明顯。

<p>高斯勒讓德積分是有限元中最常見的數(shù)值積分方法之一，在有限元中有著廣泛的應(yīng)用。實(shí)際上，關(guān)于該積分方法的書籍和公眾號文章也已經(jīng)較多，本文主要是基于現(xiàn)有的教程，基本上把該方法的具體理論和使用重復(fù)了一遍，另外基于常用的數(shù)值計(jì)算庫PETSc描述下在PETSc中如何使用高斯勒讓德積分（本文后續(xù)都將高斯勒讓德積分簡稱為高斯積分）。

在有限元求解中，最終通常要求解的是一個(gè)關(guān)于場變量的線性方程組，在常見的位移場有限元中，要求解的是各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，該線性方程組的系數(shù)矩陣通常稱為剛度矩陣，方程組右邊通常稱為右端項(xiàng)或者荷載向量。一般情況下，由于網(wǎng)格劃分后并不是所有節(jié)點(diǎn)都兩兩連接，因此實(shí)際上最終形成的整體剛度矩陣中大部分元素為0，這種矩陣稱為稀疏矩陣。

針對偏微分方程整體求解解析解困難的情況，有限元方法是將分析目標(biāo)對象本身進(jìn)行細(xì)化，劃分成小的有限個(gè)網(wǎng)格單元，比如三角形，四面體，六面體等，有時(shí)也會(huì)根據(jù)求解特點(diǎn)將高緯度幾何降為低緯度幾何單元，將構(gòu)造的基函數(shù)和形函數(shù)應(yīng)用在每一個(gè)網(wǎng)格單元，利用加權(quán)余量方法求解未知量。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，后來逐步推廣到熱，聲，電磁，流體等領(lǐng)域，是解決工程數(shù)值分析的通用方法。

能量有限元法的模型及其在車身中的應(yīng)用[D]. 中國科學(xué)院大學(xué)博士論文, 2018，寧波. [3] 原凱，王建民，韓麗，等. 能量有限元在振動(dòng)與噪聲預(yù)示中的研究進(jìn)展[J]. 強(qiáng)度與環(huán)境, 2015.42(3): 12-19. [4] 祝丹暉，解妙霞，孔祥杰，等.復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)中高頻動(dòng)響應(yīng)能量有限元方法研究[J]. 中國工程科學(xué)，2013，15(1): 107-112.

來源：有限元在線ABAQUS的非線性主要在有三種：幾何非線性，材料非線性以及接觸非線性。接觸非線性在ABAQUS的有限元計(jì)算分析中應(yīng)用非常廣泛，特別是動(dòng)態(tài)顯式的求解，只要模型中包含兩個(gè)以上相互接觸的部件，就要用到接觸非線性。ABAQUS接觸非線性的設(shè)置主要在Interation模塊中完成，設(shè)置接觸的屬性時(shí)，可以設(shè)置摩擦系數(shù)，阻尼系數(shù)，損壞，失效準(zhǔn)則等非線性參數(shù)，如圖1所示。

一、前言 本文以如下圖所示的懸臂梁為例，介紹ANSYS后處理中的結(jié)點(diǎn)解與單元解的主要區(qū)別。

能量有限元法的模型及其在車身中的應(yīng)用[D]. 中國科學(xué)院大學(xué)博士論文, 2018，寧波. [3] 原凱，王建民，韓麗，等. 能量有限元在振動(dòng)與噪聲預(yù)示中的研究進(jìn)展[J]. 強(qiáng)度與環(huán)境, 2015.42(3): 12-19. [4] 祝丹暉，解妙霞，孔祥杰，等.復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)中高頻動(dòng)響應(yīng)能量有限元方法研究[J]. 中國工程科學(xué)，2013，15(1): 107-112.

一、前言 本文以如下圖所示的懸臂梁為例，介紹ANSYS后處理中的結(jié)點(diǎn)解與單元解的主要區(qū)別。懸臂梁長度為60mm，其橫截面尺寸為H*B=10mm*6mm，材料為鋼材，牌號為Q235B，其=彈性模量為200Gpa，泊松比為0.3，其端部承受集中載荷P=100N，沿梁的長度方向承受均布荷載q=1N/mm2。如下圖所示。

一、前言 本文以如下圖所示的懸臂梁為例，介紹ANSYS后處理中的結(jié)點(diǎn)解與單元解的主要區(qū)別。懸臂梁長度為60mm，其橫截面尺寸為H*B=10mm*6mm，材料為鋼材，牌號為Q235B，其=彈性模量為200Gpa，泊松比為0.3，其端部承受集中載荷P=100N，沿梁的長度方向承受均布荷載q=1N/mm2。如下圖所示。

鋼軌軌面存在焊接頭不平順，另外在服役過程中難免會(huì)出現(xiàn)局部凹陷、波磨、擦傷等缺陷。在有限元模型中對其進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，需要編寫程序，對光滑軌面（圖1）網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)進(jìn)行修改，然后按照以下公式進(jìn)行施加。其中，缺陷在縱向?yàn)橛嘞倚螤睿▓D2），在橫向?yàn)閽佄锞€形狀（圖3），也可以忽略橫向幾何變化，僅考慮公式前半部分。

沙漏控制是在進(jìn)行有限元分析時(shí)常見的一個(gè)概念，涉及到數(shù)值計(jì)算中的穩(wěn)定性和精度問題。沙漏控制（Hourglass Control）：在有限元分析中，沙漏控制是一種用來減少或消除稱為“沙漏模態(tài)”或“沙漏變形（通常沒有剛度，網(wǎng)格變形呈現(xiàn)鋸齒狀）”的數(shù)值不穩(wěn)定性的技術(shù)。圖1.