逆有限元法的案例
有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 逆有限元相關文章，有否有朋友一起開發？
通過離散的應變重構幾何變形（文章做了超鏈，點擊可以鏈接網站）
2021
R. Roy, M. Gherlone, C. Surace, A. Tessler
Full-Field Strain Reconstruction Using Uniaxial Strain Measurements: Application to Damage Detection
Applied Sciences, vol. 11(4): 1681, 2021.
A. Kefal, A. Tessler
Delamination Damage Identification in Composite Shell Structures based on Inverse Finite Element Method and Refined Zigzag Theory
Paper presented at the 8th International Conference on Marine Structures (MARSTRUCT2021), Trondheim, Norway.
2020
R. Roy, A. Tessler, C. Surace, M. Gherlone
Shape Sensing of Plate Structures Using the Inverse Finite Element Method: Investigation of Efficient Strain–Sensor Patterns
Sensors, vol. 20(24):7049, 2020.
P. Savino, F. Tondolo, M. Gherlone, A. Tessler
Application of Inverse Finite
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。
斷裂力學與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數時要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。
展開 
有限元+譜元法的高頻計算 附隨機有限元譜方法下載
本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
展開 有限元法講解及運用常應變三角形單元解彈性力學平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個單元的頂點稱為節點（或結點）。
步驟2：單元分析
進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個單元的場函數是只包含有限個待定節點參量的簡單場函數，這些單元場函數的集合就能近似代表整個連續體的場函數。根據能量方程或加權殘量方程可建立有限個待定參量的代數方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數值解。
有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協調、不協調、混合、雜交、擬協調元等。有限元法十分有效、通用性強、應用廣泛，已有許多大型或專用程序系統供工程設計使用。結合計算機輔助設計技術，有限元法也被用于計算機輔助制造中。
展開 有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發現當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數值方法，基于這些數值計算的理論基礎，我們開發出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
展開 有限元法（FEM） 附有限元仿真實踐原理下載
其他有限元公式
在上述例子中，我們為基函數和試函數使用了相同的函數集來實現模型方程的離散化。如果一個有限元公式可以使試函數不同于基函數，則該公式稱為 Petrov-Galerkin 法。這是一種常用的方法；例如，在解決對流-擴散問題的過程中，只會對流線方向進行穩定化處理。其也被稱為流線迎風 /Petrov-Galerkin（SUPG）法。
在耦合方程組的求解過程中，不同的因變量可能會用到不同的基函數。一個典型的例子是納維-斯托克斯方程的求解，其中的壓力往往比速度更平滑、更易進行近似。在某類方法中，如果一個耦合方程組中不同的因變量的基函數（以及試函數）屬于不同的函數空間，那么這類方法便稱為混合有限元法。
COMSOL Multiphysics 軟件中用于流體流動分析的混合單元法的設置，其中二次形函數（基函數）用于計算速度，線性形函數用于計算壓力。
下載地址：有限元仿真實踐原理
展開 變分法有限元法和外推法
感覺這本書比較不錯，適合初學者
有限差分、有限元及有限體積法概述
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據所采用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形 網格，從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。不同的組合 同樣構成不同的有限元計算格式。對于權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數 ；最小二乘法是令權函數等于余量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域 內選取N個配置點 。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程余量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有采用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常采用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。
展開 有限元編程-附源代碼《有限元方法基礎教程（第五版）》學習記錄1——直接剛度法（一維彈簧單元）
對于力學專業的我來說，有限元理論是必須了解的知識。這本書已經看了一遍了，但是理解不太深刻。打算認真看第二遍，通過編程來牢固知識。我自己愛好編程，在編程過程中，通過程序設計，發現我的理解又提升了很多。
計算機語言：Python（個人愛好）
對應章節：第2章 剛度法（位移法）
實現內容：
（1）采用直接剛度法；
（2）定義了彈簧單元；
（3）實現剛度的組裝；
（4）考慮了齊次、非齊次邊界條件；
（5）可以輸出整體剛度矩陣、節點位移、節點外力、單元內力、單元剛度矩陣。
下一步目標：
（1）補償法的實現；
（2）勢能法的研究。
非齊次例子展示：
SpringUnit.rar
展開 
OptiMode應用矢量有限元法模擬表面等離子體激元
這些表面等離子體激元(SPPs)在金屬電介質界面具有電場強度極值，由于其對任意接近該表面的改變極其敏感通常可用于傳感應用。利用合適的模式解算器可以得到具有2D結構的導模。
等離子體平均功率流圖
1. 應用
?
亞波長光學
?
傳感
?
信號傳輸
?
光學偏振器
?
彎曲波導
2. 優勢
?
VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
?
搜索具有復值模式指數的模態
?
高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
?
三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
?
利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
?
VFEM快速而且精確
3. 仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。該傳導結構不僅僅有高介電常數對比度組成，同時具有較高的橫縱比，即寬度遠大于厚度。
利用對稱邊界和如[1]中分類的模式組合，相應波導厚度模式的色散曲線如圖1所示。所有模式具有一個主Ey分量，該分量有TM模組成并具有無限寬度結構。
展開 OptiMode應用矢量有限元法模擬表面等離子體激元
這些表面等離子體激元(SPPs)在金屬電介質界面具有電場強度極值，由于其對任意接近該表面的改變極其敏感通常可用于傳感應用。利用合適的模式解算器可以得到具有2D結構的導模。
等離子體平均功率流圖
1.應用
?亞波長光學
?傳感
?信號傳輸
?光學偏振器
?彎曲波導
2.優勢
?VFEM模式求解器可輕松處理高橫縱比的波導
?搜索具有復值模式指數的模態
?高階插值混合向量/節點元素,可以準確地捕捉到金屬與電介質交界面附近的高電場強度
?三角網格尺寸能夠適應高精度材料屬性
?利用波導的對稱性，可以降低仿真域并把具有特定對稱性的模態作為目標
?VFEM快速而且精確
3.仿真描述
矢量有限元法（VFEM）模式求解器接收復介電常數材料，并使用特別適合對高對比度介電界面進行建模的矢量基函數來表示。其中一個很好的例子就是使用VFEM模式求解器來計算表面等離子傳導結構。
該結構在研究中背面顯示為黑色輪廓線，中心范圍的銀由介電常數為4的材料圍繞。材料銀在633nm波長的介電常數是-19-j0.53[1]。該傳導結構不僅僅有高介電常數對比度組成，同時具有較高的橫縱比，即寬度遠大于厚度。
利用對稱邊界和如[1]中分類的模式組合，相應波導厚度模式的色散曲線如圖1所示。所有模式具有一個主Ey分量，該分量有TM模組成并具有無限寬度結構。
圖1 模態指數作為銀厚度的函數
對于厚度值較小的一些模式表現出較小的損耗，如SS0模式，其Ey分量關于x和y軸對稱。SS0模式備受關注，因為除了其較低的損耗，其坡印廷矢量與一個光纖(HE11)的基模在形狀上極為相似[1]。
SS0模式的坡印廷矢量沿軸傳輸顯示在背面；注意的是，功率在交界面的限制遠大于中心。
展開 有限元接觸分析的解析方法：罰函數法，Lagrangian，遞增Lagrangian乘數法【轉載】
罰函數法:
缺點： 近似解，要求極大罰函數值， 使方程組條件數變差。
優點： 計算量不大，實現最簡單。
Lagrangian乘數法:
缺點： 增加了計算變量（計算量增加），方程性能變差（參見式（2.3）,可以看出其導入了零對角項，該方程變為非正定方程）。
優點： 精確解。
遞增Lagrangian乘數法:
缺點： 需要迭代求解Lagrangian乘數（計算量增加）。
優點： 回避了計算變量的增加；選用合適的罰函數值時，可以回避或減緩方程組條件數的惡化；對于接觸問題解析來說，可以利用此方法把非對稱的接觸剛性矩陣對稱化，大幅度節省內存和計算時間。
內點法:
缺點： 不能處理初始點已經位于接觸面內的問題；采用primal-dual算法增加了計算變量；需要迭代求解。
優點： 內點法應用于接觸問題解析主要是其可以回避解析過程中，接觸點—〉非接觸-〉接觸，即所謂接觸active set的變化問題，因為該方法對接觸面附近的所有點都加上了約束。因此可以期待其提高計算的收斂性。
閱讀原文
展開 基于有限元-元胞自動機法（CAFE）的增材制造過程組織模擬
<p>關鍵詞：增材制造；有限元，元胞自動機，凝固組織，晶體塑性</p><p class="ql-align-justify">增材制造技術是一種先進的數字化制造技術，其采用熱源熔融離散材料（如粉末），并逐層逐道沉積成3維實體構建。這與傳統減材制造 (切削、磨削等) 和等材制造 (鑄造、鍛壓等) 加工材料方式的本質不同。增材制造過程伴隨著快速的熔化和凝固循環，材料經歷復雜的熱歷程。這導致熔池內部及相鄰層、道之間形成獨特的微觀結構，包括精細的枝晶結構、晶粒尺寸、晶粒取向（織構）以及由微觀偏析引起的潛在析出相。這些凝固組織特征直接決定了制件最終的力學性能（如強度、韌性）和物理性能。因此，精準預測和控制凝固組織演變對于增材制造的工業化應用至關重要。</p><p>有限元-元胞自動機（CAFE）法是一種強大的跨尺度模擬方法，為研究增材制造凝固組織形成提供了有力工具。其采用有限元法或有限體積法建立起制造過程的宏觀熔池模型，模擬激光/電子束等熱源移動產生的瞬態溫度場（包括熔池形狀、溫度梯度G、冷卻速率R）、熱應力及潛在的熔池流動。</p><div contenteditable="false" width="100%" class="ql-align-justify">
<img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-axegupay5k/6d18f544077e4f7891aafa2bda90eca2~tplv-tt-origin-web:gif.jpeg?
展開 