有限差分法的案例
使用隱式有限差分法求解沒有時間步長限制的問題
作者Cadence CFD 解決方案
關鍵要點
當前向時間步的輸出表達式依賴于自身時，隱式有限差分法用于求解問題。
隱式有限差分方程中會有不止一個未知數。
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。
采用數值方法求解偏微分方程
為了求解偏微分方程，通常采用數值方法。基于偽譜 (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技術的數值方法用于解決熱傳導問題、流體流動問題和擴散問題。有限差分法可以是顯式的或隱式的，具體取決于為給定系統開發的方程式類型。在隱式有限差分法中，不需要隨意遞歸計算，因為函數依賴于自身。
讓我們進一步了解隱式有限差分法。
求解偏微分方程的解析方法
過程或系統的數值模型在工程和科學中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數學模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數實際問題都涉及復雜的邊界條件或不規則邊界。在建模為困難邊值問題的系統中，分析方法不起作用。對于此類復雜的數學模型，解決問題涉及使用數值方法。
有限差分法
差分技術包括偽譜 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在這些數值方法中，有限差分法非常重要，因為它需要最少的內存和計算時間。此外，與其他數值技術相比，它涉及簡單的實現，復雜性較低。
除了傳統的有限差分法外，還有多種變體可供使用。開發了各種有限差分變體，旨在提高有限差分法在數值建模中的準確性、效率和穩定性。
有限差分法變體
當使用解析方法求解偏微分方程時，解是表達問題域中因變量變化的封閉形式表達式。然而，基于有限差分法的解決方案給出了域中離散點處的變量值。離散點通常稱為網格點。
展開 CFD學習：使用有限差分法求解泊松方程
要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續場問題替換為有限正則模態的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領域，工程師必須應對各種物理情況。大多數情況都可以使用數學方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現象的數學建模很常見。大多數物理現象（當進行數學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關的、與時間相關的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數學模型導出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學溶質的量和擴散率 (k) 表示。穩態擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數來表示。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
1 有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
2 有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 
FDTD講義（時域有限差分法）
FDTD講義（時域有限差分法）3.rar
FDTD講義（時域有限差分法）1.rar
FDTD講義（時域有限差分法）2.rar
CFD學習：用時域有限差分法求解麥克斯韋方程組
FDTD 和 FDFD
時域有限差分法是求解麥克斯韋方程組最通用、最有效的技術。可以使用傅里葉變換將時域解變換到頻域。然而，這需要大量的時間步長或插值來實現正確的分辨率或在結果中選擇特殊頻率。
以對特定問題感興趣的頻率求解模型非常簡單。對于這種情況，頻域比時域更自然，可用于解決問題。此類問題的一個例子是模擬高 Q 諧振器的品質因數和諧振頻率。頻域有限差分 (FDFD) 也是基于 Yee 單元并且也很簡單。可以概括地說，FDFD是從FDTD衍生而來的。
時域有限差分法是用于求解麥克斯韋方程組的最先進方法，尤其是在復雜幾何形狀中。FDTD 技術的應用廣泛且不限于太陽能電池、LED、光開關、傳感器和非線性器件。
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文章來源：cadence博客
展開 218基于matlab的有限差分法求解泊松方程 ￥1
基于matlab的有限差分法求解泊松方程，采用SOR超松弛迭代法。模型采用方形區域，劃分網格數為100*100，網格數可以很方便的更改。程序已調通，可直接運行。
有限差分、有限元及有限體積法概述
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等， 其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分 方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式 ，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
展開 時域有限差分與頻域有限元算法淺析
在天線問題中常用的算法有：矩量法（MOM）、有限元法（FEM）和時域有限差分法（FDTD），數值方法的基本原理就是把連續變量函數離散化，從而建立起收斂的代數方程組，然后用計算機進行求解。本文從中選取兩個典型的算法：時域有限差分（FDTD）和頻域有限元算法（FEM），并對其進行介紹分析。
目前采用時域有限差分算法的商用軟件有CST、XFDTD等。此算法是將麥克斯韋旋度方程的偏微分形式出發，直接在時域進行差分離散得到。
在各向同性線性媒質中，麥克斯韋方程組旋度方程的微分形式為：
算法將空間按立方體進行剖分電場磁場交替排列，如下圖：
電場和磁場在空間交替排列，電磁場的6個分量在空間的取樣點分布在立方體的邊沿和表面中心點上 。電場和磁場分離在任何分量上始終相差兩個步長。在時間上電場分量和磁場分量也差半個步長取一樣。
在上述算法中，時間增量Δt和空間增量Δx，Δy和Δz不是相互獨立的，他們的取值需要滿足一定的條件，即：
這就是此算法需要滿足的Courant穩定性條件。
在此條件下差分方程的數值解與原偏微分方程的嚴格解之間的差有界，否則，計算結果將隨著時間步長無限制的寄生增長。除此之外，時域差分算法在對麥克斯韋方程組數值計算還會在網格中引起，相速度隨頻率變化，色散現象，導致色散誤差。如果在模擬空間中采用大小不同的網格或包含不同的介質區域，這時網格尺寸與波長之比將是位置的函數，在不同網格或介質的交界面處將出現非物理的繞射和反射現象，對此也應該進行定量的研究，以保證正確估計FDTD算法的精度。此誤差除了與頻率和網格大小、時間步長有關，還與波的傳播方向有關，具有各向異性。減小網格數目可以有效減小色散誤差。
展開 光通信設計軟件——OptiFDTD 有限差分時域仿真設計軟件
它功能強大、高度集成且用戶友好，OptiFDTD的核心程序基于時域有限差分法（FDTD），具有二階數值精度和最先進的邊界條件-單軸完美匹配層（UPML）邊界條件。該算法使用全矢量麥克斯韋微分方程對電場和磁場在時域和空間域內進行求解，適用于任意形狀的幾何模型同時對器件的材料特性不需要有任何限制。
OptiFDTD可以顯著提高設計工程師的工作效率，縮短產品推向市場的周期。和其他Optiwave光子自動設計軟件的協同仿真。
FDTD能夠實現有效且強大的仿真能力，并對具有非常精細結構細節的亞微米器件進行分析。亞微米級表示高度的光限制，并且相應地，在典型的器件設計中使用的材料的折射率差異大，這是使用其他數值方法無法解決的限制。
OptiFDTD工作流程
· 使用OptiFDTD創建和運行FDTD模擬可以使用以下4個主要程序來完成：
· OptiFDTD Designer-OptiFDTD主要程序。從這里，您可以創建新設計、設置模擬參數、編寫腳本和啟動模擬。數據保存在擴展名為.fdt的項目文件中。
· OptiFDTD Simulator-從設計器運行模擬并處理.fdt文件中的項目文件。在Desinger中執行模擬時自動打開。模擬結果存儲在擴展名為.fda的文件中。
· OptiFDTD Analyzer-使用OptiFDTD Analyzer（.fda）加載并分析生成的結果文件。包含廣泛的查看選項、分析和后處理功能，并具有將數據導出為其他文件格式的功能。
特點
集成仿真環境
OptiFDTD 擁有一個完整的且使用方便的3D圖形用戶界面，以此可進行復雜器件的設計、仿真和分析。來自第三方CAD軟件所提供的廣泛使用的DXF和GDSII的格式可以方便地導入和導出OptiFDTD。
展開 漫談基于有限體積法鑄造模擬仿真技術
有限體積法和有限差分法計算速度對比如圖2所示：
圖2 計算速度對比
3、計算精度
對比有限差分法和有限體積法兩者的計算精度，兩種計算算法凝固過程模擬結果幾乎一樣。液相分數20%至10%時，結果有微小的差異，這是因為兩個軟件所采用的網格算法不一樣而導致。
凝固時間 320 秒 (圖片從左到右液相體積分數分別為：70%, 50%, 30%, 20%, 10%,0.5%)；
圖3 液相分數分布對比 (A)有限差分法 (B) NovaCast
對比兩種算法的凝固缺陷預測，兩種算法均顯示鑄件中沒有縮孔缺陷。有限差分法和有限體積法凝固結果對比如下圖4所示：
（上圖為有限差分法，下圖為NovaCast）
圖4 縮孔缺陷
來源：安世亞太
展開 
微型燃氣輪機轉子-浮環軸承系統的動力學研究
DyRoBes軟件和有限差分法
求解浮環軸承油膜壓力分布是研究承載力、流量的必要途徑，而求解油膜壓力分布的核心在于求解 Reynolds 方程。有限差分法可以很好的實現Reynolds 方程的求解，有限差分法中需要用到不同轉速下的偏心率，這使得有限差分法的程序難以實現。DyRoBeS軟件可以分析浮環軸承的油膜壓力，能夠得到油膜壓力分布圖和不同轉速下的偏心率，所得到的偏心率可為有限差分法服務，最后可以將 DyRoBeS軟件和有限差分法所得的結果進行比較。
3. 內外層油膜的Reynolds 方程及浮環
與轉子轉速的關系
浮環軸承具有內外兩層油膜，如圖 2-2 所示，因此會有 2 個 Reynolds 方程與其相對應。根據滑動軸承潤滑的基本理論，推導出浮環軸承內外油膜的 Reynolds方程，如公式（2-2）和（2-3）所示。對于外層油膜的 Reynolds 方程，公式（2-2）右側的速度項只涉及到浮環的轉速，然而，對于內層油膜的 Reynolds 方程，公式（2-3）右側的速度項涉及到了浮環和軸頸的轉速。
展開 流體力學與譜方法：挑戰計算精度的極限
工程上進行CFD計算的時候，常用的離散方法是有限差分法和有限體積法。例如FLUENT采用的就是有限體積法。但是，在需要精度很高的一些基礎研究中，常常采用另一種離散方法——譜方法（spectral method），它具有有限差分法和有限體積法無法比擬的計算精度。今天我們就來聊聊譜方法。
我們以一個具體問題為例。這個問題是常微分方程邊值問題。未知函數u=f(x)滿足
邊界條件是
這個問題是有解析解的，其解析解為
下面我們分別用有限差分法和譜方法來求解這個方程的數值解。讀者可能對有限差分法已經有一定的了解，所以這樣講更有助于讀者對譜方法的理解。
什么是（1）、（2）的數值解呢？（1）、（2）的數值解就是滿足邊界條件（2）的一個函數u*=g(x)，它使得殘差
盡可能地小。不同的數值解法的差別就在于構造數值解u*=g(x)的方法不同，以及評價殘差“小”的方法不同。
首先我們用有限差分法來試試。我們在[-1,1]內劃分n個等距網格節點
其中h=2/(n-1)是網格尺寸。x1=-1和xn=1是邊界節點，其余的是內部節點。將各個節點處的數值解u*的值記為u1,u2,…,un。那相鄰節點之間的區間里面u*的值呢？對于有限差分法來說，其做法是在每個節點附近構造局部的低階插值多項式。例如，在節點xi附近，讓u*等于一個二階拉格朗日插值多項式p(x)
式子有點復雜，但其實本質很簡單，就是構造一個二次函數p(x)，讓它的函數圖像穿過(xi-1,ui-1)、(xi,ui)、(xi+1,ui+1)三個點。圖1以節點數n=5為例畫出了有限差分法中數值解u*的構造方法示意圖。可以看出插值多項式的局部性，例如x3附近的u*是用基于x2、x3、x4為插值節點的拉格朗日插值多項式表示的。可以看出u*是分段光滑的函數。
展開 在數值模擬過程中，離散化的目的是什么？如何對計算區域進行離散化？離散化時通常使用哪些網格？如何對控制方程進行離散？離散化常用的方法有哪些？它們有什么不同？
按照應變量在計算網格節點之 間的分布假設及推到離散方程的方法不同，控制方程的離散方法主要有：有限差分法，有限元法，有限體積法，邊界元法，譜方法等等。這里主要介紹最常用的有限 差分法，有限元法及有限體積法。（1）有限差分法（Finite Difference Method，簡稱FDM）是數值方法中最經典的方法。它是將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域，然后將偏微分方程（控制方程）的 導數用差商代替，推導出含有離散點上有限個未知數的差分方程組。求差分方程組（代數方程組）的解，就是微分方程定解問題的數值近似解，這是一種直接將微分 問題變為代數問題的近似數值解法。這種方法發展較早，比較成熟，較多用于求解雙曲型和拋物型問題（發展型問題）。用它求解邊界條件復雜，尤其是橢圓型問題 不如有限元法或有限體積法方便。（2）有限元法（Finite Element Method，簡稱FEM）與有限差分法都是廣泛應用的流體力學數值計算方法。有限元法是將一個連續的求解域任意分成適當形狀的許多微小單元，并于各小單 元分片構造插值函數，然后根據極值原理（變分或加權余量法），將問題的控制方程轉化為所有單元上的有限元方程，把總體的極值作為個單元極值之和，即將局部 單元總體合成，形成嵌入了指定邊界條件的代數方程組，求解該方程組就得到各節點上待求的函數值。有限元法的基礎是極值原理和劃分插值，它吸收了有限差分法 中離散處理的內核，又采用了變分計算中選擇逼近函數并對區域積分的合理方法，是這兩類方法相互結合，取長補短發展的結果。它具有廣泛的適應性，特別適用于 幾何及物理條件比較復雜的問題，而且便于程序的標準化。對橢圓型問題（平衡態問題）有更好的適應性。有限元法因求解速度較有限差分法和有限體積法滿，因 此，在商用CFD軟件中應用并不普遍，目前的商用CFD軟件中，FIDAP采用的是有限元法。
展開 簡述幾種常用數值方法的優勢及適用性
有限差分法（FDM, Finite Difference Method）
有限差分法的基本思想是把求解域劃分為差分網格，用有限的網格節點來代替連續的求解域，并使用Taylor級數展開等方法，把定解問題中的微商換成差商，從而把原問題離散化為差分格式，進而求出數值解。這是一種將微分問題轉化為代數問題的近似數值解法。
有限差分法是數值解法中最經典的方法，發展較早且較為成熟。相比于其他方法，有限差分法較為“簡單粗暴”，直觀易懂、通用性強，適用于簡單幾何形狀和均勻網格的問題，但難以處理復雜幾何形狀和邊界條件，且其精度取決于離散化程度。因此在工業軟件領域，有限差分法的應用并不多見。
3. 有限體積法（FVM, Finite Volume Method）
有限體積法又稱有限容積法、控制體積法，將求解域劃分為有限的離散控制體積，對每個控制體積內部的平衡方程進行積分，從而得到一組離散方程，然后通過求解離散方程組得到近似解。
有限體積法具有良好的收斂性和穩定性，對邊界條件的處理相對簡單；相比于有限元法，對網格質量要求較低，更容易處理復雜的幾何體和非均勻網格。
該方法主要應用于流體力學和熱力學等領域。比如在流體力學中，可以用于求解不可壓縮流體或可壓縮流體的守恒方程，如Navier-Stokes方程等，常用于流體的流動模擬和分析。在進行流固耦合分析時，能夠完美和有限元法進行融合。
云道智造伏圖電子散熱（Simdroid EC，點擊文字可申請試用）是針對電子元器件、設備等散熱的專用熱仿真模塊，采用有限體積法求解器，支持流熱耦合計算，提供高精度的離散計算方法，同時結合電子散熱相關行業經驗，提供高保真的仿真模擬
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