有限差分
關注創建者：趙波 創建時間：2015-11-30
有限差分的視頻教程
預制破片爆炸仿真（truegrid/autodyn/ANSYS）
TrueGrid是一種功能強大、易學的網格生成軟件，它可以方便快捷地生成優化的、高質量的、多塊結構的六面體網格模型，非常適合為有限差分和有限元軟件做前處理。 本文運用truegrid軟件進行預制破片建模，生成.zon格式文件，隨后導入autodyn，通過一系列的設置開始爆炸仿真，并對彈丸爆炸后進行后處理。 附件有truegrid學習資料及本文建模程序。
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彈體爆炸仿真（Mott分布）及破片后處理
TrueGrid是一種功能強大、易學的網格生成軟件，它可以方便快捷地生成優化的、高質量的、多塊結構的六面體網格模型，非常適合為有限差分和有限元軟件做前處理。 本文運用truegrid軟件進行彈丸建模，生成.zon格式文件，隨后導入autodyn，通過一系列的設置開始彈丸爆炸仿真，并對彈丸爆炸后隨機破片（Mott分布）進行后處理。 附件有truegrid學習資料及本文建模程序。
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OptiWave 光通信設計軟件
OptiWave 光通信設計軟件包括以下 7 個模塊： 1、OptiGrating 光柵設計軟件 2、OptiFiber 光纖設計軟件 3、OptiFDTD 有限差分時域仿真設計軟件 4、OptiBPM 光波導設計軟件 5、OptiSPICE 光電回路設計軟件 6、OptiInstrument 儀器通信和控制軟件 7、OptiSystem 光通信系統與放大器設計軟件
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有限差分的實例教程
目錄: 第一部分 三維并行時域有限差分
第一章 時域有限差分方法
1.1 差分的基本概念
1.2 時域有限差分方法概述
1.3 網格數值色散
1.4 穩定性分析
1.5 非均勻網格技術
參考文獻
第二章 截斷時域有限差分網格的邊界條件
2.1 PEC和PMC邊界條件
2.2 Mur吸收邊界條件
2.3 不分裂場PML吸收邊界條件
2.4 伸展坐標PML吸收邊界條件
2.5 時域卷積PML吸收邊界條件
2.6 吸收邊界條件的穩定特征
參考文獻
第三章 并行時域有限差分技術
3.1 MPI庫簡介
3.2 時域有限差分數據交換技術
3.3 時域有限差分區域分解
3.4 并行時域有限差分技術實現
3.4.1 x方向數據交換
3.4.2 y方向數據交換
3.4.3 z方向數據交換
3.5 并行時域有限差數據收集技術
3.5.1 時域有限差分網格收集
3.5.2 時域有限差分結果收集
3.5.3 時域有限差分遠場收集
3.5.4 面電磁場和面電流收集
3.6 并行時域有限差分效率分析
3.7 一些相關問題并行處理技術
3.7.1 激勵源
3.7.2 波導匹配終端
3.7.3 子網格加密技術
3.8 應用舉例
3.8.1 交叉偶極子
3.8.2 圓喇叭天線
3.8.3 貼片天線陣
參考文獻
第四章 時域有限差分技術的改進
第五章 激勵源
第六章 時域有限差分數據收集和處理
第七章 并行時域有限差分方法的工程應用
第二部分 旋轉對稱體并行時域有限差分方法
第八章 旋轉對稱體時域有限差分技術
第九章 旋轉對稱體并行時域有限差分技術
第十章 旋轉對稱體并行時域有限差的工程應用
附錄一 基本MPI函數簡介
附錄二 共形時域有限差分網格生成技術
展開 作者Cadence CFD 解決方案
關鍵要點
當前向時間步的輸出表達式依賴于自身時，隱式有限差分法用于求解問題。
隱式有限差分方程中會有不止一個未知數。
隱式有限差分法一般用于求解對時間步長沒有限制的問題。
采用數值方法求解偏微分方程
為了求解偏微分方程，通常采用數值方法。基于偽譜 (PS)、有限元 (FM) 和有限差分 (FD) 等差分技術的數值方法用于解決熱傳導問題、流體流動問題和擴散問題。有限差分法可以是顯式的或隱式的，具體取決于為給定系統開發的方程式類型。在隱式有限差分法中，不需要隨意遞歸計算，因為函數依賴于自身。
讓我們進一步了解隱式有限差分法。
求解偏微分方程的解析方法
過程或系統的數值模型在工程和科學中使用偏微分方程表示。求解基于偏微分方程的數學模型以獲得問題解。求解問題的解析方法僅適用于系統具有簡單邊界的偏微分方程。然而，大多數實際問題都涉及復雜的邊界條件或不規則邊界。在建模為困難邊值問題的系統中，分析方法不起作用。對于此類復雜的數學模型，解決問題涉及使用數值方法。
有限差分法
差分技術包括偽譜 (PS)、有限元 (FM)和有限差分 (FD) 方法。在這些數值方法中，有限差分法非常重要，因為它需要最少的內存和計算時間。此外，與其他數值技術相比，它涉及簡單的實現，復雜性較低。
除了傳統的有限差分法外，還有多種變體可供使用。開發了各種有限差分變體，旨在提高有限差分法在數值建模中的準確性、效率和穩定性。
有限差分法變體
當使用解析方法求解偏微分方程時，解是表達問題域中因變量變化的封閉形式表達式。然而，基于有限差分法的解決方案給出了域中離散點處的變量值。離散點通常稱為網格點。
展開 要點
有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。
有限差分法將偏微分方程轉換為一組線性方程，并使用矩陣求逆來求解它們。
使用有限差分法獲得泊松方程的解，將具有無限自由度的連續場問題替換為有限正則模態的離散場。
最實用、最常用的偏微分方程是泊松方程
在工程領域，工程師必須應對各種物理情況。大多數情況都可以使用數學方程來描述。泊松方程就是這樣的方程之一，它控制擴散、引力和靜電等物理情況。泊松方程可以使用各種數值方法求解。使用有限差分法(FDM)獲得泊松方程的解很受工程師歡迎。在本文中，我們將進一步探討泊松方程和有限差分法。
工程中的泊松方程
在工程中，物理現象的數學建模很常見。大多數物理現象（當進行數學建模時）都會形成偏微分方程 (PDE)。最實用且最常用的偏微分方程是泊松方程。
泊松方程是一個橢圓偏微分方程，它控制著電磁、靜電、引力和擴散問題等的數學建模。有限差分法是一種近似方法，用于解決涉及偏微分方程的各種問題。問題可以是與時間無關的、與時間相關的、線性的或非線性的。
有限差分法適用于求解狄利克雷、諾伊曼等不同邊界條件的問題，適用于不同邊界形狀或由不同材料組成的區域的問題域。
讓我們看幾個物理情況的例子，其中數學模型導出泊松方程。
用泊松方程表示的物理現象的例子
擴散方程 -在擴散問題中，通量以化學溶質的量和擴散率 (k) 表示。穩態擴散可以用泊松方程的形式描述如下，其中S(x)是溶質源：
熱擴散方程 -熱擴散方程用可能的熱源和熱擴散系數來表示。
展開 1 有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
2 有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。
展開 在天線問題中常用的算法有：矩量法（MOM）、有限元法（FEM）和時域有限差分法（FDTD），數值方法的基本原理就是把連續變量函數離散化，從而建立起收斂的代數方程組，然后用計算機進行求解。本文從中選取兩個典型的算法：時域有限差分（FDTD）和頻域有限元算法（FEM），并對其進行介紹分析。
目前采用時域有限差分算法的商用軟件有CST、XFDTD等。此算法是將麥克斯韋旋度方程的偏微分形式出發，直接在時域進行差分離散得到。
在各向同性線性媒質中，麥克斯韋方程組旋度方程的微分形式為：
算法將空間按立方體進行剖分電場磁場交替排列，如下圖：
電場和磁場在空間交替排列，電磁場的6個分量在空間的取樣點分布在立方體的邊沿和表面中心點上 。電場和磁場分離在任何分量上始終相差兩個步長。在時間上電場分量和磁場分量也差半個步長取一樣。
在上述算法中，時間增量Δt和空間增量Δx，Δy和Δz不是相互獨立的，他們的取值需要滿足一定的條件，即：
這就是此算法需要滿足的Courant穩定性條件。
在此條件下差分方程的數值解與原偏微分方程的嚴格解之間的差有界，否則，計算結果將隨著時間步長無限制的寄生增長。除此之外，時域差分算法在對麥克斯韋方程組數值計算還會在網格中引起，相速度隨頻率變化，色散現象，導致色散誤差。如果在模擬空間中采用大小不同的網格或包含不同的介質區域，這時網格尺寸與波長之比將是位置的函數，在不同網格或介質的交界面處將出現非物理的繞射和反射現象，對此也應該進行定量的研究，以保證正確估計FDTD算法的精度。此誤差除了與頻率和網格大小、時間步長有關，還與波的傳播方向有關，具有各向異性。減小網格數目可以有效減小色散誤差。
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2.2 Ansys Lumerical FDTD/RCWA：亞波長光柵設計
聚焦納米級表面浮雕光柵仿真建模，是衍射波導核心器件設計關鍵：
采用嚴格耦合波分析（RCWA）與時域有限差分（FDTD）求解器，建模輸入、輸出耦合光柵衍射特性；
優化光柵核心參數，適配530nm基準波長、1.52折射率波導材料；
導出JSON光柵數據文件與.sop插件文件，以表面屬性形式接入Speos
關鍵詞：斯格明子；SPP波；光學斯格明子；相位調控
本工作基于表面等離激元（SPP）場，設計六邊形金屬狹縫結構實現光學斯格明子的動態調控，通過時域有限差分法（FDTD）仿真，驗證入射光相位調控可精準改變光學斯格明子的形貌與位置，為拓撲光學結構的可控構建提供仿真依據。
在這種情況下，電磁場分析（例如時域有限差分（FDTD）或嚴格耦合波分析（RCWA）更為合適，因為其會考慮上述影響。雖然這些方法是計算密集型的，但它們可為亞波長系統提供必要的精度，無需極高的中央處理單元（CPU）和圖形處理單元（GPU）性能，便可獲得基于光線的近似。
光線追跡可以覆蓋所有涉及光的應用，從天文學到電磁學、航空航天、國防、通信、醫療技術以及消費類電子產品。
什么是光線追跡？3個月前
在這種情況下，電磁場分析（例如時域有限差分（FDTD）或嚴格耦合波分析（RCWA）更為合適，因為其會考慮上述影響。
仿真方法
采用三維有限差分光束傳輸法對MWS和PLC模式（解）復用器進行了數值模擬。在ANSYS Lumerical FDE求解器中計算MWS-FMF和SSC-PLC的重疊耦合損耗。利用三維時域有限差分法（3D-FDTD）計算了SSC與石英單模波導之間的總耦合損耗。
首先通過有限差分時域（FDTD）方法仿真不同層厚度下的光場分布和光提取效率，確定各層的最佳厚度范圍。然后針對活性層的消光系數進行參數掃描，分析其對吸收損耗和光提取的影響規律。
仿真驗證：3D-FDTD技術與性能評估
（一）仿真工具與參數設置
研究采用三維時域有限差分法（3D-FDTD）進行仿真驗證，使用Lumerical FDTD分析軟件構建模型，關鍵設置如下：
波長范圍：1000-1300nm網格精度：全局10nm，敏感區域（MIM納米環）細化至2nm（dx=dy=dz=2nm）邊界條件：z軸采用完美匹配層（PML），x、y軸為周期性邊界光源：平面波溫度
仿真驗證：FDTD方法揭示光學性能
為精準評估濾波器性能，研究采用時域有限差分法（FDTD）進行仿真，選用Ansys Lumerical FDTD solver。FDTD是求解麥克斯韋方程組的強大工具，能在時間和空間域中精確模擬電磁波與結構化材料的相互作用，其核心是基于Yee算法對麥克斯韋旋度方程進行離散化迭代求解。
我們使用時域有限差分法（FDTD）優化了模式轉換器和MMI結構（圖2b,c）。模式轉換器在z方向上的電場分量Ez如圖2e所示，展示了從波導模式到等離子體模式的有效耦合。當LN錐形長為490nm、Au錐形長為980nm時，單個模式轉換器在1550nm波長下實現6.4dB插入損耗。因此，有效電極Pad長度約為17μm。圖2f展示了MMI結構的相應電場傳輸分布。
OptiFDTD應用：偏振分束器4個月前
偏振分束器的仿真采用三維時域有限差分法（OptiFDTD），工作波長為 1550nm。在三維 OptiFDTD 中，通過有限元法（FEM）求解器進行精確的模式分析，以獲取光源注入的光模式分布（有限元法通用求解器的設置詳見表 1）。
