彈性波動(dòng)力學(xué)的案例
矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)，揭示量子力學(xué)的物質(zhì)基礎(chǔ)和作用原理
不僅如此，薛定諤還在德·布羅意給出的能量、動(dòng)量條件的基礎(chǔ)上推出了物質(zhì)波的波動(dòng)方程。由于波對當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家來說早已是一個(gè)駕輕就熟的研究領(lǐng)域，只要有波動(dòng)方程，他們就能輕易計(jì)算出這個(gè)波在一切時(shí)刻的狀態(tài)以及它和其他物質(zhì)的相互作用方式，因此薛定諤的理論在主流物理學(xué)家中備受關(guān)注，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了量子力學(xué)的第二種數(shù)學(xué)形式：波動(dòng)力學(xué)。
有趣的是，與矩陣力學(xué)的發(fā)展過程正相反，在波動(dòng)力學(xué)的建立過程中幾乎沒有受到多少來自實(shí)驗(yàn)方面的引導(dǎo)。除了依靠一些廣為人知的實(shí)驗(yàn)事實(shí)對理論作必要的驗(yàn)證和支持，德·布羅意和薛定諤等人主要的創(chuàng)新性洞見幾乎都是從對物質(zhì)本原的哲學(xué)思考中得到的。他們的出發(fā)點(diǎn)即是揭示量子效應(yīng)背后的物質(zhì)基礎(chǔ)和作用原理，而不是滿足于總結(jié)和描述可以看到的表面規(guī)律。
展開 力學(xué)筆記#2：什么是聲速？固體波動(dòng)方程和流體波動(dòng)方程推導(dǎo)的區(qū)別，聲速和體積模量的關(guān)系。
其實(shí)沒法定義到底是哪一類量會(huì)按照聲速傳播，比如說按照熱力學(xué)中的廣延量和強(qiáng)度量來劃分吧，那強(qiáng)度量中壓強(qiáng)擾動(dòng)會(huì)按聲速傳播，溫度這種強(qiáng)度量發(fā)生擾動(dòng)就不會(huì)按照聲速傳播，它有自己的熱傳導(dǎo)方程；按照力學(xué)參量/幾何參量等來劃分吧，那力學(xué)參量中的部分量也不會(huì)這樣。當(dāng)然這是題外話了，也可能我還沒學(xué)到。
關(guān)于絕熱等熵，就是說擾動(dòng)前后熵不變，比如聲音傳播經(jīng)過空中某個(gè)點(diǎn)前后，該點(diǎn)的熵不變。激波的傳播就會(huì)造成壓強(qiáng)、速度等間斷面，也不會(huì)是等熵的了。固體中絕熱等熵過程典型的就是彈性小變形，彈性動(dòng)力學(xué)就是研究聲波在固體中的傳播；聲波在流體中的傳播的研究是建立在無黏可壓流模型基礎(chǔ)上的，必須要考慮流體的可壓縮性，因?yàn)槿绻麑⒘黧w當(dāng)成不可壓縮物質(zhì)，波速將無限大。另外，吳望一P527也說明了高速空氣邊界層外中的小擾動(dòng)仍然可以采用無黏等熵假設(shè)。
聲音的傳播遵循波動(dòng)方程，但是固體力學(xué)的波動(dòng)方程和流體力學(xué)的波動(dòng)方程只是在形式上相同，它們分別基于不同的控制方程（分別是拉梅方程和NS方程）建立的，且分別是拉格朗日描述和歐拉描述，當(dāng)然這也分別是固體力學(xué)和流體力學(xué)慣用的描述方式。
二、 固體波動(dòng)方程
固體波動(dòng)方程的推導(dǎo)可以見吳家龍P233，我們在這里對關(guān)鍵推導(dǎo) 如果彈性介質(zhì)的位移場是無旋的（▽×U=0），則：
圖中的式（12-1）就是拉梅方程。可以看見，固體中的彈性波有兩種，膨脹波的波速與兩個(gè)拉梅常數(shù)都有關(guān)，而畸變波的波速只和拉梅常數(shù)中的剪切模量G有關(guān)。
三、流體的波動(dòng)方程
流體的波動(dòng)方程在好幾個(gè)著作中都有提到。比如汪志誠的《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理》（高教社第五版）P26，但只是推導(dǎo)了牛頓聲速公式，并未將擾動(dòng)過程看成等熵的。關(guān)于牛頓對聲速的測量以及拉普拉斯的修正，吳望一P525有介紹。
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相對應(yīng)的，彈性力學(xué)借助于微元體，可以求出彈性體任意點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，那么，這些解對應(yīng)于材料力學(xué)的工程目標(biāo)，應(yīng)力、應(yīng)變解可用于分析彈性體的強(qiáng)度問題，應(yīng)變和位移可以分析彈性體的剛度問題，應(yīng)力可以分析彈性體的穩(wěn)定性問題，也就是說彈性力學(xué)與材料力學(xué)具有相同的工程目標(biāo)。
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淺談熱彈性力學(xué) 附彈性力學(xué)徐芝綸下載
1970年代，熱彈性理論在理論方面取得了許多重要進(jìn)展，主要在于依托連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的理論基礎(chǔ)，從質(zhì)量守恒、能量守恒、熵不等式等基本定律和理論出發(fā)建立熱傳導(dǎo)方程、熱彈性力學(xué)基本方程，并展開相應(yīng)的分析和討論，熱彈性力學(xué)也逐漸成為一門新的交叉學(xué)科。
我國學(xué)者自1960年代開始，即發(fā)表了不少有關(guān)熱應(yīng)力的研究成果。如劉先志對有內(nèi)含物的固體的熱應(yīng)力和熱變形進(jìn)行了深入的研究，錢偉長、富寶連等研究了線性熱彈性力學(xué)的變分原理，胡海昌、鐘萬勰等人對扁殼的熱應(yīng)力進(jìn)行了研究等。如今，我們熟知的機(jī)械、土木、電子和航空航天等，展現(xiàn)出熱應(yīng)力問題的普遍性和重要性. 熱應(yīng)力問題在工程設(shè)計(jì)中非常關(guān)鍵，過大的熱應(yīng)力可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞失效、開膠、脫焊等。
隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和廣泛使用，熱應(yīng)力的數(shù)值方法快速發(fā)展，特別是用有限元法在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。應(yīng)用有限元法時(shí)，需將構(gòu)件離散化成為許多單元，從而使復(fù)雜形狀和非均質(zhì)的構(gòu)件的熱應(yīng)力溫度場、熱變形等的計(jì)算成為可能。所以近年來有許多關(guān)于具體構(gòu)件的熱應(yīng)力有限元分析的論文發(fā)表。有限元計(jì)算的結(jié)果雖然有一定程度的近似性，但由于構(gòu)件的形狀和物性系數(shù)的分布不受限制，因而更能滿足工程應(yīng)用的需要，成為了解決工程問題的主要手段。
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彈性力學(xué)中的五個(gè)基本假定 附彈性力學(xué)徐芝綸第四版文檔下載
在彈性力學(xué)的問題里，通常是已知物體的形狀和大小（即已知物體的邊界）、物體的彈性常數(shù)、物體所受的體力、物體邊界上所受的約束情況或面力，而應(yīng)力分量、形變分量和位移分量則是需要求解的未知量。
如何由這些已知量求出未知量，彈性力學(xué)的研究方法是：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上，還要建立邊界條件。即在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上的微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束與位移的關(guān)系，建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下從平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。
對任何學(xué)科進(jìn)行研究時(shí)，總不可能將所有的影響因素都考慮在內(nèi)，否則該問題將會(huì)變成非常復(fù)雜而無法求解。因此，在任何學(xué)科中總是首先對各種影響因素進(jìn)行分析，既必須考慮那些主要的影響因素，又必須略去那些影響很小的因素。然后抽象地概括出這些主要因素，建立一個(gè)所謂的“物理模型”，并對該模型進(jìn)行研究。當(dāng)然，研究的結(jié)果將可以用于任何符合該物理模型的實(shí)際物體。在彈性力學(xué)問題中，通過對主要影響因素的分析，歸結(jié)為以下的幾個(gè)彈性力學(xué)基本假定。
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Burgers模型中，Maxwell元件中的E1為瞬時(shí)彈性模量，表征了瀝青混合料在高速荷載作用下抵抗變形的能力，產(chǎn)生的變形在卸載后可完全恢復(fù)；粘性參數(shù)η1反映了材料抵抗產(chǎn)生永久變形的能力，其值越大，產(chǎn)生的永久變形越小。Kelvin元件的彈性模量E2和η2表征了卸載后隨時(shí)間推移能逐漸恢復(fù)的變形。Burgers模型具備了瞬時(shí)彈性和無限遠(yuǎn)時(shí)間內(nèi)的粘性流動(dòng)性質(zhì)。
（2）Maxwell模型
廣義的Maxwell模型是由一個(gè)彈簧[H]和若干個(gè)[M]并聯(lián)而成，可以用來描述較為復(fù)雜的松弛行為。
3 小結(jié)
瀝青路面粘彈性力學(xué)分析的主要力學(xué)參數(shù)之一為動(dòng)態(tài)模量，動(dòng)態(tài)模量可以有多種方法測試得到，SPT簡單性能試驗(yàn)機(jī)測得的結(jié)果較為精確，可以根據(jù)不同的研究問題選擇不同的模型進(jìn)行描述，使得瀝青路面粘彈性力學(xué)分析結(jié)果更加準(zhǔn)確。
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地震波動(dòng)力學(xué)理論與方法
瀝青路面粘彈性力學(xué)分析基礎(chǔ)研究 附粘彈性力學(xué)楊挺青下載
摘要：瀝青混合屬于一種典型的粘彈性材料，路面結(jié)構(gòu)的粘彈性力學(xué)行為可以較好的反映荷載作用下瀝青路面結(jié)構(gòu)的響應(yīng)情況。本文結(jié)合最新瀝青路面設(shè)計(jì)規(guī)范，介紹了研究瀝青粘彈性力學(xué)行為的意義，分析了影響瀝青路面粘彈性力學(xué)響應(yīng)的因素，介紹了表征粘彈性力學(xué)行為的力學(xué)模型。
關(guān)鍵詞：瀝青路面；粘彈性；影響因素；力學(xué)模型
1 瀝青路面粘彈性力學(xué)研究意義
瀝青路面以其優(yōu)良的行車性能而獲得青睞，成為各國公路建設(shè)路面結(jié)構(gòu)形式的首選，新建路面90％以上采用了半剛性基層瀝青路面。但是，瀝青路面早期破壞嚴(yán)重問題，即在沒有達(dá)到設(shè)計(jì)年限，就由于反射裂縫、溫度裂縫、車轍、剝離、泛油、水損害等原因喪失其良好的行車性能。其中尤以開裂和車轍最為普遍嚴(yán)重。
路面設(shè)計(jì)的主要任務(wù)就是確保其壽命期間不發(fā)生不可接受的損壞，這是不同設(shè)計(jì)方法的共同目標(biāo)。選擇合適的分析方法來對瀝青面層中的應(yīng)力進(jìn)行定量分析是十分必要的。過去，大多采用多層彈性層狀體系的解析解，采用靜態(tài)模量對路面進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)存在很大局限性。因此，現(xiàn)行規(guī)范提出瀝青混合料層采用動(dòng)態(tài)模量作為力學(xué)計(jì)算的基本力學(xué)指標(biāo)，與靜態(tài)模量相比，以動(dòng)態(tài)模量表征瀝青混合料的材料特性能更好地接近路面的工作狀態(tài)。因此從路面結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)出發(fā)，深入研究瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量及動(dòng)態(tài)特性具有十分重要的意義。
2 影響瀝青路面粘彈性力學(xué)響應(yīng)的因素分析
2.1瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量的獲得途徑
瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量試驗(yàn)是研究混合料試件在不同溫度、不同荷載作用頻率以及不同加載方式下瀝青混合料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，可以較好地了解瀝青混合料的力學(xué)性質(zhì)隨溫度和時(shí)間的變化規(guī)律，可采用簡單性能試驗(yàn)機(jī)（SPT）測試瀝青混合料動(dòng)態(tài)模量試驗(yàn)，也可以采用UTM試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，還可采用萬能試驗(yàn)機(jī)（保證豎向變形測試準(zhǔn)確）。
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牛頓擺的Abaqus仿真模擬
理想中的牛頓擺不考慮能量損失，是完全的彈性碰撞，現(xiàn)實(shí)中的牛頓擺有摩擦（球與球之間、球與空氣，繩索連接處等），系統(tǒng)存在阻尼，非彈性碰撞與阻尼會(huì)耗散掉初始動(dòng)能，繩索與球自身變形引起的振動(dòng)也會(huì)吸收一部分能量。
牛頓擺碰撞仿真模型
這個(gè)問題的核心不在于球怎么振動(dòng)，而在于沖擊的傳遞過程，所以我們通過剛體接觸建模來建立牛頓擺的碰撞仿真模型。
球與球之間的接觸屬性設(shè)置里面需要定義適當(dāng)?shù)姆ㄏ蚪佑|算法、摩擦系數(shù)與接觸尼阻。
牛頓擺碰撞仿真
還記得我們有一期文章提到的Abaqus虛擬高速攝影嗎？在這里可以派上用場，我們想知道極短的碰撞時(shí)間內(nèi)沖擊的傳遞過程，可以在碰撞過程中（0.1071s到0.1075s內(nèi)）設(shè)置較為密集的場變量輸出，其余時(shí)間段稀疏一點(diǎn)，這樣的話，會(huì)有一個(gè)慢鏡頭向我們展示力的傳遞過程。
小球加速度云圖
球心速度矢量圖
從5個(gè)球水平方向速度V3的變化曲線來看，動(dòng)能主要在兩端的2個(gè)球之間交換，每次碰撞都有一小部分動(dòng)能轉(zhuǎn)移到中間的3個(gè)球上面；從5個(gè)球垂直方向速度V2的變化曲線也可以看出，系統(tǒng)能量一直在耗散，兩端的球擺動(dòng)升高幅度逐漸降低。
5個(gè)球的水平速度V3與垂直速度V2變化曲線
2懟3（左）與3懟2（右）的情況
這個(gè)問題本質(zhì)上并沒有這里討論的那么的簡單，我們可以將其稱之為不連續(xù)介質(zhì)中的波動(dòng)問題（由于波動(dòng)理論發(fā)展于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，而不連續(xù)介質(zhì)中的沖擊往往是單向傳遞，所以這種波動(dòng)的叫法聽起來可能有點(diǎn)別扭），類似于連續(xù)介質(zhì)中的材料剛度與密度會(huì)影響彈性波的速度，不連續(xù)介質(zhì)interface的接觸傳力特性會(huì)直接影響剛體（或彈性體）之間的沖擊傳遞速度與沖擊能量傳遞效率。
展開 我與力學(xué)的一萬小時(shí)——彈性力學(xué)
本文首發(fā)于技術(shù)鄰社區(qū)：每周小確幸，無需授權(quán)即可轉(zhuǎn)載。學(xué)習(xí)內(nèi)容：應(yīng)力理論。
外力與內(nèi)力
某一物體受到外力的作用，根據(jù)作用域的不同，可將外力分為體積力和表面力（簡稱體力和面力）。所謂體力，是分布在物體內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，例如重力，電磁力等；所謂面力，是分布在物體表面各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，例如壓力，接觸力等。當(dāng)物體受外力作用后，其內(nèi)部不同部分之間將產(chǎn)生相互作用的力，即內(nèi)力。為了描述內(nèi)力，Cauchy引入了應(yīng)力的概念，即在內(nèi)部截面上的某一點(diǎn)單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。
應(yīng)力矢量
對于受到外力的作用后處于平衡狀態(tài)的物體，為研究其內(nèi)部任意一點(diǎn) M 的內(nèi)力，假想使用一個(gè)過 M 點(diǎn)的平面 S 將其截開成 A 和 B 兩部分，將 B 部分移去，取物體的 A 部分作為考察對象，則 B 對 A 的作用以分布的內(nèi)力代替。現(xiàn)考察平面 S 上包括 M 點(diǎn)在內(nèi)的微小面積 △S 上的內(nèi)力，設(shè)平面 S 的外法線為 V ，作用在微面上的內(nèi)力和為 △F ，于是應(yīng)力 σ(v) 可以定義為：
應(yīng)力是一個(gè)矢量，其大小和方向不僅與 M 點(diǎn)的位置有關(guān)，而且還與微面 △S 的外法線 V 有關(guān)。因此，即使內(nèi)力作用在同一點(diǎn)上，如果包含此點(diǎn)在內(nèi)的微面外法線不同，微面上的應(yīng)力矢量也各不相同。
應(yīng)力張量
首先，介紹一個(gè)重要的概念：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，即，作用于同一點(diǎn)所有不同外法線方向微面上的應(yīng)力矢量構(gòu)成該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。
應(yīng)力張量的不變量
應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量
應(yīng)力平衡方程
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張量的基本概念
張量這一術(shù)語起源于力學(xué)，它最初是用來表示彈性介質(zhì)中各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的，后來張量理論發(fā)展成為力學(xué)和物理學(xué)的一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具。張量之所以重要，是因?yàn)樗梢詽M足一切物理定律必須與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的特性，現(xiàn)代力學(xué)的大部分文獻(xiàn)都采用張量表示。
零階張量：溫度，質(zhì)量，其值與坐標(biāo)系選取無關(guān)。
一階張量：即平時(shí)所說的矢量，位移，速度，力，既有大小又有方向。
二階張量：應(yīng)力張量，應(yīng)變張量。
高階張量：三階張量，壓電張量；四階張量，彈性張量。
啞指標(biāo)，自由指標(biāo)與愛因斯坦求和約定
自由指標(biāo)，free index：如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)僅僅出現(xiàn)一次，則表示要取遍該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)的所有等式，該重復(fù)的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。
啞指標(biāo)，dummy index：如果在表達(dá)式的某項(xiàng)中，某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)遍歷求和，該重復(fù)的指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。
在上式中，i是啞指標(biāo)，j是自由指標(biāo)，根據(jù)自由指標(biāo)與啞指標(biāo)的定義展開上式，即為愛因斯坦求和約定。
Kronecker符號(hào)，Ricci符號(hào)
張量代數(shù)
特殊張量
坐標(biāo)與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換
*詳見應(yīng)力理論
張量的分量轉(zhuǎn)換
*詳見應(yīng)力理論
展開 
辛彈性力學(xué)
它一反彈性力學(xué)以傳統(tǒng)的半逆法為主的求解思路，通過引入對偶變量，在辛幾何空間里采用富有理性的方法進(jìn)行求解，這也是辛體系與傳統(tǒng)方法論的本質(zhì)區(qū)別。本書重點(diǎn)講述了平面各向同性、層合板、各向異性問題以及薄板彎曲問題的分離變量及辛本征函數(shù)展開的直接解析解法，克服了傳統(tǒng)解法的難點(diǎn)，給出了一些傳統(tǒng)方法難于求解問題的解析解。辛體系不僅可用于彈性力學(xué)，也可用于工程力學(xué)的多個(gè)方面及數(shù)學(xué)物理方法中，其實(shí)許多其他學(xué)科，如控制、振動(dòng)、波傳播等也都可以采用同一套理論體系。[local]1[/local]
錢偉長的《彈性力學(xué)》
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錢偉長的《彈性力學(xué)》2.rar
彈性力學(xué)
高教版
程昌均 著教材
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彈性力學(xué)的理論體系與學(xué)習(xí)建議
如果我們明白了彈性力學(xué)在思維培養(yǎng)上是雙向的，那么我們可以構(gòu)造一個(gè)三段式的彈性力學(xué)學(xué)習(xí)方法：
其一、按照學(xué)習(xí)工程的方式，理解彈性力學(xué)各知識(shí)點(diǎn)所對應(yīng)的工程背景，培養(yǎng)具象思維能力；
其二、按照學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，理解彈性力學(xué)各知識(shí)點(diǎn)所需要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，培養(yǎng)抽象思維能力；
其三、依據(jù)力學(xué)原理，構(gòu)建在工程與數(shù)學(xué)之間的相互解釋、翻譯的橋梁，培養(yǎng)雙向綜合的力學(xué)思維。
幸好我們在數(shù)理基礎(chǔ)、理論力學(xué)、材料力學(xué)之后才學(xué)習(xí)彈性力學(xué)，上述的三者基本上就是前面這些課程的綜合提升。提到工程背景，材料力學(xué)為彈性力學(xué)提供了工程解釋的素材（如強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性），可達(dá)到目標(biāo)一；數(shù)理基礎(chǔ)就包括了高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、數(shù)理方程等等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，可達(dá)到目標(biāo)二；彈性力學(xué)中用到的力學(xué)原理，完全可以在理論力學(xué)中找到原型，也就是借助于理論力學(xué)可以達(dá)到目標(biāo)三。學(xué)習(xí)彈性力學(xué)要做好與前期課程的銜接，如圖2所示。
圖2 彈性力學(xué)知識(shí)點(diǎn)劃分與材料力學(xué)與數(shù)理課程的銜接關(guān)系
無論是學(xué)還是教，彈性力學(xué)只要能夠還原出這三類課程，在理解上就不會(huì)有大困難。如果再有難點(diǎn)，就是如何把這些零散的知識(shí)點(diǎn)體系化，融入到學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)體系中。由此可以看出，學(xué)習(xí)彈性力學(xué)需要具有良好數(shù)理基礎(chǔ)、材料力學(xué)基礎(chǔ)、理論力學(xué)基礎(chǔ)，換言之，如果這些課程學(xué)的不是很好，可能學(xué)習(xí)彈性力學(xué)就會(huì)有困難。
但也完全不必氣餒，換個(gè)思路來考慮，前期課程沒有學(xué)好的話，在彈性力學(xué)里還會(huì)再學(xué)一次，得以加固。如果這些課程都沒有學(xué)好，彈性也還能學(xué)，彈性力學(xué)只是用到這些課程中的某些知識(shí)點(diǎn)，與系統(tǒng)學(xué)習(xí)該課程相比難度大大降低；并且在提到相關(guān)課程中的知識(shí)點(diǎn)時(shí)馬上就能體會(huì)其在彈性力學(xué)中的應(yīng)用，這和初學(xué)時(shí)“不知何用”在感情上更容易接受。有這兩點(diǎn)便利，只要自己不放棄，彈性力學(xué)就能學(xué)好。
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