主成分分析（PCA）
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-05
主成分分析（PCA）的實例教程
圖二、非線性主成分分析（Non-Linear Principal Component Analysis，NL-PCA）于優化目標選取之應用
AI作為加速器，仿真作為基石
IPC團隊再次透過上述流程驗證異型水路設計，進一步證實該方式不僅限于單次實驗，而是一套能重復導入的方式，能實現更高質量的模具設計、更短的成型周期。AI雖能加速探尋，但以物理為基礎的模擬仍是不可或缺的核心。模擬能帶來物理機制、材料行為的精確洞察，為類神經網絡（ANN）、多目標演化算法（MOEA）的搜尋結果奠定真實可靠的基礎。此外，Moldex3D所提供的纖維、熱傳與流動分析洞察，有助于厘清問題根因（如積熱位置），并驗證最終設計。最重要的是，在模具制造前就能先透過Moldex3D驗證所有優化數據指針，有效降低制造風險并減少量產成本。
圖三、考慮兩種替代澆口配置，并采用NL-PCA所選定之四項目標條件下，經多目標演化算法所獲結果
展開 主成分分析法&振型分解法
首先小談下主成分分析法（principal components analysis），也稱主分量分析，是利用降維的思想，在損失很少信息的前提下，把多個指標轉化為幾個綜合指標的多元統計方法。通常把轉化生成的綜合指標稱為主成分，其中每個主成分都是原始變量的線性組合，且各個主成分之間互不相關，使得主成分比原始變量具有某些更優越的性能。這樣在研究復雜問題時就可以只考慮少數幾個主成分而不至于損失太多信息，從而更容易抓住主要矛盾，揭示事物內部變量之間的規律性，同時使問題得到簡化，提高分析效率。
再談下
振型分解法，在討論多自由度體系的強迫振動時，如采用質點位移作為坐標（稱為幾何坐標），則所得到的振動方程為耦聯微分方程，因而必須聯立求解。對于無阻尼簡諧強迫振動，在平穩階段，由于各質點都作同步振動，利用這一特性可將微分方程轉化為代數方程，故求解沒有困難。然而，當考慮阻尼影響或者在一般動力荷載作用下時，求解聯立的微分方程組就會比較困難。按振型分解的計算方法就是針對這一問題提出來的。振型分解法是
基于坐標變換，把原來耦聯的微分方程組變為n個互相獨立的微分方程，從而使原來多自由度體系的動力計算變為一系列單自由度體系的問題，當然這一方法只限于線性體系的應用。下面介紹振型分解法。
展開 為了解決這一痛點，CAESES 5.0 基于主成分分析的方法，開發了降維的功能。
我們把設計變量能表示的所有船型方案叫做設計空間。N個設計變量對應N維設計空間。降維的功能旨在降低設計空間的維度，即減少設計變量。利用主成分分析的方法，在保證變形效果不變的前提下，把設計變量數降下來，從而大大提高優化效率。（注意設計變量數降下來并不是傳統的通過敏感性分析等方法剔除部分變量，而是通過數學方法，用幾個變量代替所有變量）
下面通過一個案例來介紹降維功能的使用方法。 選取KCS船進行靜水阻力優化。在船體球鼻艏、船艏、船舯、船艉共設置了 17 個設計變量。變形效果如下圖：
二、降維設置與計算
點擊Optimize>Design Space Utilities>
Dimensionality Reduction，設置Samples：1000，Points per sample: 8000。意為根據17個設計變量，生成1000個船型方案每個船型幾何上取8000個點，用于比較分析各個方案的幾何區別。
點擊綠色啟動按鈕，CAESES會自動生成方案進行比較分析。該過程僅涉及幾何運算，不進行仿真計算，用時較少。實測用20核，1000個方案，每個方案8000個點，分析需要110分鐘左右。
三、降維效果分析
分析結束后，dimensionalityReduction設置界面自動跳轉：
改變number of Principal Parameters，觀察Percentage of Captured Variance。如上圖，基于1000個船型幾何的主成分分析得出，設置6個主參數，可以捕捉到99.9%的變形效果，滿足設計需求。
調整圖片下半部分的6個主參數，點擊To CAD，即基于主參數值推出17個設計變量的值。
展開 基于matlab 的關于主成分分析的詳細代碼，附帶數據及gui界面文件，可直接運行。多種數據預處理方式，可輸出多種結果。注意的是只能按照主成分個數進行分析。按照累計貢獻率有報錯。程序已調通，可直接運行。
研究巧妙地采用廣義球諧函數（GSH）結合主成分分析（PCA），將復雜的織構空間精準壓縮至僅需5到10個核心參數 。這種參數化方法不僅大幅降低了訓練負擔，更具備極其強大的“雙向映射”能力：工程師可以隨時利用這些降維后的少數參數，反向完美重構出原始的織構極圖 ！相比之下，如果僅使用單一的Taylor因子進行簡化，雖然便捷，但會引入更大的預測誤差和不確定性 。
2. 全曲線生成的泛函主成分分析（fPCA）為了直接預測完整的應力-應變行為，該框架在輸出端引入了泛函主成分分析（fPCA） 。代理模型不再逐點預測離散數據，而是直接學習提取整條拉伸曲線的“形狀基函數”及其權重 。只需輸入微觀特征參數，模型瞬間就能完美拼裝出平滑、連續且符合物理規律的宏觀應力-應變曲線 。
3. 具備“自知之明”的置信區間預測與傳統深度神經網絡的“盲目自信”不同，該工作選用高斯過程（GP）回歸作為核心代理模型 。高斯過程不僅能給出精確的預測曲線，更能進行嚴格的不確定性量化（UQ），輸出帶有95%置信區間的預測包絡帶 。這意味著，當輸入一種模型從未見過的極端奇異織構時，它會通過變寬的陰影帶誠實地發出“誤差警告”，極大地提升了工程預測的可靠性與安全性 。
作者的整體設計思路如下圖：
總結：工程實用性與計算效率的絕對飛躍這套“GSH-PCA降維 + fPCA重構 + GP預測”的全新組合拳，使得原本需要耗費數天的龐大多晶體模擬任務，如今不到一秒即可完成 。這種革命性的效率躍升，為依賴成千上萬次模擬迭代的蒙特卡洛分析、材料不確定性傳播以及微觀結構優化設計真正掃清了算力障礙 。
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研究巧妙地采用廣義球諧函數（GSH）結合主成分分析（PCA），將復雜的織構空間精準壓縮至僅需5到10個核心參數 。這種參數化方法不僅大幅降低了訓練負擔，更具備極其強大的“雙向映射”能力：工程師可以隨時利用這些降維后的少數參數，反向完美重構出原始的織構極圖 ！相比之下，如果僅使用單一的Taylor因子進行簡化，雖然便捷，但會引入更大的預測誤差和不確定性 。
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IPC團隊首先透過主成分分析（PCA），在確保不遺漏問題本質的情況下，縮減優化目標。接著運用Moldex3D模擬分析結果來訓練類神經網絡（ANN）代理模型，以快速預測溫度與冷卻時間。該團隊也采用多目標演化算法（MOEA）高效探索數千種可行設計，再透過Moldex3D驗證出最具效益的方案。
因子提取方法的類型
下面討論了一些因子提取類型方法：
主成分分析 （PCA）：
PCA 是一種廣泛使用的因子提取方法。
它旨在提取導致觀測變量中最大可能方差的因子。
計算因子權重以提取連續因子，直到無法提取出更有意義的方差。
可以使用各種技術來完成，例如相關性分析、互信息和主成分分析 （PCA）。
特征提取：這涉及將數據轉換為低維空間，同時保留重要信息。當原始特征具有高維和復雜時，通常會使用特征提取。可以使用 PCA、線性判別分析 （LDA） 和非負矩陣分解 （NMF） 等技術來完成。
采樣：這涉及從數據集中選擇數據點的子集。采樣通常用于減小數據集的大小，同時保留重要信息。
一、背景及概念
利用CAESES對船體的水動力性能進行優化時，首先要提取出與船體幾何變形相關的設計變量。在這一過程中，工程師會遇到一個痛點問題：增加設計變量，能提供更豐富的變形，容易得到更好的船型方案，但是所需仿真計算的方案數會以指數關系增加（推薦方案數S=2N，N為變量個數），從而大大提高了計算成本和時間成本。為了解決這一痛點，CAESES 5.0 基于主成分分析的方法，開發了降維的功能。
基于matlab 的關于主成分分析的詳細代碼，附帶數據及gui界面文件，可直接運行。多種數據預處理方式，可輸出多種結果。注意的是只能按照主成分個數進行分析。按照累計貢獻率有報錯。程序已調通，可直接運行。
主成分分析（PCA）和變分自編碼器（VAE）是兩種常用的降維方法，可以在保留數據中的關鍵信息的同時，降低其存儲和計算需求。
進一步可以證明，這個重構損失跟主成分分析(PCA)的重構損失是一致的，所以它跟馬毅老師提出的PCANet的有一定的聯系，但是這里一個重要的不一樣的是不同神經元的特征是非正交的，這保證即使少量的神經元停止工作對整個神經網絡的影響不會特別大。更重要的一個結論是每一層網絡的輸出激活強度(輸出的平方和)不會高于輸入強度，而且對于越典型的輸入其輸出激活強度就越強。
機器學習模型降維包–Lunar簡介
Lunar降維建模原理
-積分求解和“機器學習”求解
-主成分分析（PCA）
主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種多變量統計方法，它是最常用的降維方法之一，通過正交變換將一組可能存在相關性的變量數據轉換為一組線性不相關的變量，轉換后的變量被稱為主成分。
降維常用方法有以下兩種：
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主成分分析法（PCA）：通過構建原始特征的線性組合，形成組合內部最小關聯的新組合，達到降低特征內部關聯，降低維數的目的；
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