拉普拉斯變換的案例
分概念
2.3 富利葉變換與拉普拉斯變換
積分變換是求解數理方程的有力工具。其中，富利葉變換和拉普拉斯變換常用來求解常系數偏微分方程，通過變換，將原函數的微積分運算化為變換函數的四則運算，以便于方程的求解。富利葉變換常用到動力學或者結構振動的問題中，原函數是時間T的函數，變換函數是譜量ω(工程上便是頻率域)的函數，因此，富利葉法在工程上也稱為譜分解方法。它不僅能夠使方程的求解更加方便，而且可以確定振動問題的譜密度，這是振動問題中一個重要的測度，利用譜密度可以直觀地看出振動能量在頻率域上的分布，從而找出工程結構有效的抗振措施。拉普拉斯變換是考慮振動體在T=0時開始受到外界影響，如施加荷載以后結構的各種物理變化，特別適用于如土壤的固結理論和混凝土的徐變理論。
富利葉變換有兩種形式：一種是三角函數形式，另外一種是指數函數形式。一些數學文獻將拉普拉斯變換從富利葉變換的理論推導出來，不過從解決實際問題來看，拉普拉斯變換絕非富利葉變換的一個變種，富利葉變換的原函數自變量從-∞到+∞，而拉普拉斯變換自變量僅從O～+∞，這一點非常重要。物理世界中的各種動力激勵絕對不會在宇宙中至始至終、恒存在，而是從某一個相對時間T=0開始作用，求解這個激勵引起的動力響應，拉普拉斯變換恰好符合這樣一個要求。在預應力混凝土設計和建筑物基礎設計中，人們希望知道預應力的長期損失和建筑物的最終沉降，這些問題便是一個典型的拉普拉斯變換問題。
2.4 變分原理
在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解；另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。變分原理的幾個經典理論是虛功原理、最小勢能原理和最小余能原理，具體原理的推導，可以參考一般的有限元理論專著。
展開 系統的復域分析：從增益角度理解傳遞函數
我們在對拉氏變換的總結中，將拉普拉斯變換的本質理解為：
拉氏變換是對函數在t>0域進行指數衰減后的傅里葉變換，就是將原函數f(t)乘以一個單位階躍函數（使其限定在t>0域）和一個指數衰減函數exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換
數峰青，公眾號：數峰青
拉普拉斯變換總結
我們在對傅氏變換的總結中，理解傅氏變換F(iw)本質上是復振幅密度隨頻率的變化（在諧波的復數形式下討論）。F(iw)是一個復函數，其幅值（模）表示信號中各頻率分量的相對大小，其幅角表示信號中各頻率諧波之間的相位關系，通常習慣上也可以將F(iw)叫做復振幅頻譜（鄭君里P117）。見（或見鄭君里P114）：
數峰青，公眾號：數峰青
傅里葉變換總結
本文第一部分已述，系統的傳遞函數等于系統單位脈沖響應的拉氏變換。結合上面對拉氏變換本質的理解，可以知道，無論是激勵和響應的拉氏變換，還是系統的傳遞函數，都是定義在復域（s=β+iw）的復函數。現在以復數運算規則來審視傳遞函數的公式：U(s)=G(s)F(s)，可以認為：G(s)本質上是一種對輸入信號（定義在s上的）復振幅密度的幅值增益和幅角移動（需要指出，雖然G(s)在計算上等于單位脈沖響應的拉氏變換，但它本質上并不具有響應的拉氏變換的“量綱”，也即不能說G(s)是某個信號在s處的復振幅密度）。為了更好理解G(s)，可以類似上面理解拉普拉斯變換的本質一樣，認為它是原系統經過β“衰減”后的“復增益”頻譜（瞎丁日扯的啊）。
參考資料：
鄭君里《信號與系統上》第三版，高等教育出版社。
展開 拉普拉斯變換總結
參考資料見文后，文中引用格式為“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等
一、拉氏變換的定義
通俗理解，拉氏變換是對函數在t>0域進行指數衰減后的傅里葉變換，就是將原函數f(t)乘以一個單位階躍函數（使其限定在t>0域）和一個指數衰減函數exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換。邢宇明P222有簡單明了的解釋：
可以看出，原函數與指數衰減函數exp(-βt)相乘后，在進行傅里葉變換的過程中，還需要乘以exp(-iwt)再在t>0域進行積分。這里的衰減因子β和頻率w都是我們假設的一個變量，可以通俗理解為：在并不知道原函數f(t)是否絕對可積的情況下，我們假設讓其乘以exp(-βt)進行衰減后就絕對可積了，這時候就滿足古典傅氏變換條件了，對于傅氏變換，我們也是假設將要在f(t).exp(-βt)中提取其復振幅的那個諧波的頻率為w，進而通過三角函數的正交性代入積分公式將其復振幅提取出來。所以，衰減因子β和頻率w是我們假設的兩個變量，考慮到w前面復數i的存在，它們在指數乘法中也變成了β+iw的形式，這就剛好是一個復變量s，所以在拉氏變換中就用復變量s來代替β+iw了，這也是通常說的拉氏變換是將函數變換到復域來進行分析。
二、拉氏變換的收斂域
關于拉氏變換的收斂及收斂域，一般書上介紹比較數學化，這里擬以通俗的方式來進行理解。對拉氏變換收斂域的理解，有利于理解信號與系統、自動控制等領域的系統穩定性、傳遞函數極點等內容。
根據前述拉氏變換的定義，可以將拉氏變換的收斂理解為：對于給定的一個復數域的值s，原函數經過其實部Re(s)代表的指數衰減后，才滿足或者仍滿足古典傅里葉變換的條件，即滿足狄利克雷條件和絕對積分。可以看出，拉氏變換的收斂與否只和復數域的實部Re(s)有關。
展開 NVH_振動傳遞函數（VTF）
傳遞函數的定義為線性系統響應量（輸出）的拉普拉斯變化與激勵量（輸入）的拉普拉斯變換之比。一般情況下對于車身的低頻響應的分析中，車身都假設為線性系統，實驗證明分析出來的結果與實際差別無異；而且輸出量與輸入量這兩個量是經過拉普拉斯變換而來的，是關于頻率的變量，而不是關于時間的變量。
H(s)=Y(s)/U(s)
H(s)為傳遞函數；Y(s)為輸出量；U(s)為輸入量。
由于傳遞函數為結構的固有屬性，與輸入力的大小無關，所以為了分析的方便，一般輸入力的大小在整個計算頻率段內設為1N。
結構設計CAE分析的幾個概念
2.3 富利葉變換與拉普拉斯變換
積分變換是求解數理方程的有力工具。其中，富利葉變換和拉普拉斯變換常用來求解常系數偏微分方程，通過變換，將原函數的微積分運算化為變換函數的四則運算，以便于方程的求解。富利葉變換常用到動力學或者結構振動的問題中，原函數是時間T的函數，變換函數是譜量ω(工程上便是頻率域)的函數，因此，富利葉法在工程上也稱為譜分解方法。它不僅能夠使方程的求解更加方便，而且可以確定振動問題的譜密度，這是振動問題中一個重要的測度，利用譜密度可以直觀地看出振動能量在頻率域上的分布，從而找出工程結構有效的抗振措施。拉普拉斯變換是考慮振動體在T=0時開始受到外界影響，如施加荷載以后結構的各種物理變化，特別適用于如土壤的固結理論和混凝土的徐變理論。
富利葉變換有兩種形式：一種是三角函數形式，另外一種是指數函數形式。一些數學文獻將拉普拉斯變換從富利葉變換的理論推導出來，不過從解決實際問題來看，拉普拉斯變換絕非富利葉變換的一個變種，富利葉變換的原函數自變量從-∞到+∞，而拉普拉斯變換自變量僅從O～+∞，這一點非常重要。物理世界中的各種動力激勵絕對不會在宇宙中至始至終、恒存在，而是從某一個相對時間T=0開始作用，求解這個激勵引起的動力響應，拉普拉斯變換恰好符合這樣一個要求。在預應力混凝土設計和建筑物基礎設計中，人們希望知道預應力的長期損失和建筑物的最終沉降，這些問題便是一個典型的拉普拉斯變換問題。
2.4 變分原理
在物理與力學中有很多問題需要采用變分原理，如彈性靜力學中的最小勢能原理，動力學中的哈密頓原理，塑性力學中的變分原理。變分原理在計算力學中特別重要，一方面，按照變分原理可以用李茲法或者伽遼金法獲得結構近似解;另一方面，變分原理也是有限元法的基礎。
展開 理論模態分析之單自由度系統（二）
所以我們完全可以假設初始條件為零，之所以這樣假設，是因為這會給積分變換法求解微分方程帶來很大的方便。
復習積分變換，再看一個例子。
拉普拉斯變換與微分的關系：
在振動理論中，由于存在阻尼，假設初始條件為零，并不影響振動問題的求解。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
1 粘性阻尼，振動微分方程（物理參數）
進行傅立葉變換（特殊的拉普拉斯變換），獲得頻率響應函數（函數參數）
2 結構阻尼，振動微分方程（物理參數）
進行傅立葉變換，獲得頻率響應函數（函數參數）
3 加速度頻響函數，速度頻響函數，位移頻響函數之間的轉換
展開 頻響函數及其與傳遞函數的關系|穩定裕度的理解
然而，跟拉普拉斯變換的定義一樣，這個β“衰減”是我們設想出來的，相當于假設這么一個衰減因子，進而使得我們能在復域求出傳遞函數的極點，具體見：
數峰青，公眾號：數峰青
拉普拉斯變換總結
對于一個經過傳遞函數的極點判定已經具有BIBO穩定性的系統，其β“衰減”已經失去作用了。這時候我們更關系系統本身對不同頻率的諧波的增益如何。
系統不經過β“衰減”所具有的對諧波的增益就是系統的頻響函數，其實就是傳遞函數中取β為0得到的結果。傳遞函數是定義在復平面上的，想象其圖像是三維空間中的一個曲面，曲面以s為自變量，以G(s)為函數。取β為0，實際就是用該三維空間中β=0表示的平面去“切”這個曲面，進而將函數降維為一個以iw為自變量的一元函數。總之，穩定系統的頻響函數表示其對一個諧波的復振幅頻譜的增益（含幅值增益和幅角移動）。
當然，也有利用系統在諧波作用下的穩態響應來建立頻響函數概念的，如王天威P114和盧京潮P143。這樣的好處是能更好理解什么是穩態響應。
其實也可以通過傅里葉變換來建立頻響函數的概念。如前所述，頻響函數是針對具有BIBO穩定性的系統的表征手段。既然其已經是穩定系統，那么可以說明該系統的單位脈沖響應是滿足古典傅里葉變換條件的。仿照傳遞函數的定義G(s)=U(s)/F(s)，也可以將一個有界輸入的傅氏變換與該系統得到的相應有界輸出的傅氏變換分別代入該式即可得到系統的頻響函數。
總之，以上幾種方式是內在統一的，不過個人更愿意從增益的角度理解頻響函數。因為得到廣泛應用的伯德圖便反映了頻響函數具有增益本質的事實。伯德圖中的對數幅頻曲線就是將頻響函數的幅值變換為20log(G(iw))隨頻率的變化曲線，該公式不正是增益的公式嗎？
展開 偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅里葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅里葉變換或傅里葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題；分離變數法可以求解無界空間的定解問題。還可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解，對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進行反演就可以了。
應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
下載地址：偏微分方程陳祖墀
展開 基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅里葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅里葉變換或傅里葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題；分離變數法可以求解無界空間的定解問題。還可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解，對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進行反演就可以了。
應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
來源：ANSYS學習與應用
展開 我們為什么要進行傅里葉變換，它的意義是什么？
關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都讓人很難理解太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列。
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。
傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier（1768-1830），Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。
當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）和拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749-1827），當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。
展開 為什么要進行傅立葉變換？傅立葉變換有何意義？
一、傅立葉變換的由來
關于傅立葉變換，無論是書本還是在網上可以很容易找到關于傅立葉變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解，
要理解傅立葉變換，確實需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換是怎么變換的，當然，也需要一定的高等數學基礎，最基本的是級數變換，其中傅立葉級數變換是傅立葉變換的基礎公式。
二、傅立葉變換的提出
讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時具有爭議性的決斷：任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發表出來。
誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。
為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？
展開 
我們為什么要進行傅里葉變換？它的意義是什么
所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。
展開 工程數學手冊（第四版）
放大圖
工程數學手冊（第四版）
作 者 ：歐陽芳銳著
編 號 ：B213
書 號 ：009155-8 出版日期：2001-12-21
狀 態 ：現書
定 價 ：￥50元
會員價：￥50元
立即節省：￥0元 點擊熱度： 68
圖書介紹：
此商品暫無介紹
目錄：
前言
1.代數
2.幾何
3.三角學
4.平面解析幾何
5.空間解析幾何
6.初等函數
7.微分學
8.數列和初級
9.積分
10.向量分析
11.復函數
12.傅立葉級數
13.高階超越函數
14.常微分方程
15.偏微分方程
16.拉普拉斯變換
17.數值方法
18.概率與統計
19.不定積分表
20.定積分表
21.平面曲線和區域
22.空間曲線和曲面
附錄A 數值表
附錄B 數學符號和術語
附錄C 美國慣用單位和國際單位轉換表
附錄D 曲型問題，數學程序和現代計算器
附錄E 參考文獻
索引
展開 我們為什么要進行傅里葉變換？它的意義是什么
所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換 (DFT) 才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數和復數兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了，需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變換 (real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去，先來理解實數傅立葉變換，在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換 (transform) 雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合一一映射準則的，對于離散數字信號處理 (DSP)，有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。
傅立葉變換的物理意義
傅立葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。
展開 2-1基于matlab的拉普拉斯金字塔圖像融合算法
圖像融合
拉普拉斯金字塔圖像融合 ￥12.2
基于matlab的拉普拉斯金字塔圖像融合算法，可以使部分圖像模糊的圖片清楚，也可以使圖像增強。程序已調通，可直接運行。
