比例邊界有限元法的案例
基于多面體比例邊界有限元法的混凝土壩地震響應(yīng)分析
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展開 第二屆比例邊界有限元法最新進(jìn)展研討會將在大連召開
來源：中國力學(xué)學(xué)會
斷裂力學(xué)與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應(yīng)性極強(qiáng)，并具有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，但這種利用局部定義的多項(xiàng)展開式來實(shí)現(xiàn)的方法仍有某些不足之處。具體來進(jìn)，困難出現(xiàn)在如下兩種情況下：（a）問題的定義域?yàn)闊o限域時(shí)，（b）存在奇異性（部分或全部導(dǎo)數(shù)為無窮大）時(shí)。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項(xiàng)展開式來描述奇異性時(shí)則近似程度很差。事實(shí)上，收斂定理在后一個(gè)問題中已不再能使用，因?yàn)樵谄娈慄c(diǎn)附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實(shí)用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因?yàn)閷?shí)際上無限域及奇異性只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)——這使我們能用大而有限的區(qū)域及接近奇異的點(diǎn)得到有用的結(jié)果，然而這兩種數(shù)學(xué)“假設(shè)”都是有用的，因?yàn)槔盟鼈兡苁褂?jì)算工作量有本質(zhì)性的下降。實(shí)際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務(wù)就是論述如何在數(shù)值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉(zhuǎn)變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細(xì)地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當(dāng)邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發(fā)現(xiàn)，這里所用的一些方法和第十二章中推導(dǎo)各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質(zhì)是；按標(biāo)準(zhǔn)形式為未知函數(shù)選擇一組試試探函數(shù)。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數(shù)時(shí)要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現(xiàn)在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數(shù)的數(shù)目可以比準(zhǔn)有限元法所用的少很多。
展開 有限元法邊界條件的處理
邊界上的節(jié)點(diǎn)通常有兩種情況，
1. 一種邊界上的節(jié)點(diǎn)可自由變形，此時(shí)節(jié)點(diǎn)上的載荷等于0，或者節(jié)點(diǎn)上作用某種外載荷，可以令該點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷等于規(guī)定的載荷Q。這種情況的處理是比較簡單的。
2. 另一種邊界上的節(jié)點(diǎn)，規(guī)定了節(jié)點(diǎn)位移的數(shù)值。這種情況下，有兩種方法可以處理：
* 劃0置1法
* 置大數(shù)法
劃0置1法是精確的方法，置大數(shù)法則是近似的方法。下面分別介紹這兩種方法
置大數(shù)法
假設(shè)v自由度的位移已知為b(b可以為0或者其他任意值)。
1. 將v自由度相應(yīng)對角線上的剛度系數(shù) k(v,v) 換成一個(gè)極大的數(shù)，例如可以換成 k(v,v)*1E8
k(v,v) ---> k(v,v) * 1E8
2. 將v自由度相應(yīng)節(jié)點(diǎn)載荷 F(v) 換成 F(v) * 1E8 * b
F(v) ---> F(v) * 1E8 * b
3. 其余均保留不變，求出的
v =~ b
此方法的處理只需要修改兩個(gè)數(shù)值即可，簡單方便，雖然求得的是近似值，但一般仍然推薦使用
劃0置1法
假設(shè)v自由度的位移已知為b(b可以為0或者其他任意值)。
位移為0
1. 只保留相應(yīng)主對角線上的元素k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改為0。
2. 在載荷向量中，令F(v)=0
此時(shí)，求出的v = 0是精確解
位移不為0
1. 只保留相應(yīng)主對角線上的元素 k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改為0。
2. 在載荷向量中，令
F(v) = k(v,v)*b
F(i) = F(i) - k(i,v)*b i != v
此時(shí)，求出的v = b是精確解
劃0置1法處理上比置大數(shù)法要麻煩不少，雖然求得的是精確解，但是還是使用比較少
展開 
有限元法，有限差分法和有限體積法的區(qū)別 附有限體積法基礎(chǔ)文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。它以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。這是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。
構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。
在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。常見的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區(qū)別
對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為 (1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。 (3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值
3 有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。
展開 有限元+譜元法的高頻計(jì)算 附隨機(jī)有限元譜方法下載
本質(zhì)上講述了一個(gè)譜元法可以減小計(jì)算量的故事，不過借著一個(gè)別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創(chuàng)新有三種：原理和方法型創(chuàng)新、對象型創(chuàng)新和結(jié)果型創(chuàng)新。第一種創(chuàng)新是真創(chuàng)新，后面兩個(gè)故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學(xué)方程弱形式由Patera在1984年計(jì)算流體力學(xué)中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進(jìn)行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時(shí)兼?zhèn)?em>有限元可以模擬任何復(fù)雜介質(zhì)模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續(xù)的函數(shù)（可以是三角函數(shù)、多項(xiàng)式等）的疊加來近似真實(shí)解，而有限元法則是使用單元內(nèi)簡單多項(xiàng)式插值函數(shù)的疊加來近似真實(shí)解。即有限元的插值函數(shù)只在該單元內(nèi)作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統(tǒng)方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當(dāng)，且時(shí)間分辨率也非常小，計(jì)算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數(shù)（有點(diǎn)類似全局基函數(shù)，選三角函數(shù)時(shí)還可以利用FFT提高計(jì)算效率）來解決這些問題。
譜元法有時(shí)域的和頻域兩種。時(shí)域譜元法和傳統(tǒng)的有限元法區(qū)別較小，應(yīng)該說是一種高階的有限元法，其為了達(dá)到精度，細(xì)分網(wǎng)格是通過切比雪夫多項(xiàng)式或者勒讓德多項(xiàng)式等正交多項(xiàng)式的根來定網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內(nèi)使位移函數(shù)采用波動方程的一般解，得到與頻率相關(guān)的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計(jì)算的波長跟故障尺度相當(dāng)）。若用有限元方法，網(wǎng)格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節(jié)點(diǎn)，而頻域譜元法則只需很少的節(jié)點(diǎn)。
展開 有限元法講解及運(yùn)用常應(yīng)變?nèi)切螁卧鈴椥粤W(xué)平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運(yùn)用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。
步驟2：單元分析
進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過對有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個(gè)單元的場函數(shù)是只包含有限個(gè)待定節(jié)點(diǎn)參量的簡單場函數(shù)，這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。
有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計(jì)使用。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)，有限元法也被用于計(jì)算機(jī)輔助制造中。
展開 有限元基礎(chǔ)理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當(dāng)今科學(xué)研究與工程應(yīng)用中被廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值方法，受到越來越多人關(guān)注，越來越多學(xué)者與高校學(xué)生也開始從事有限元分析。筆者作為一個(gè)CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時(shí)，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個(gè)人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學(xué)習(xí)熱情也慢慢冷卻，就這樣持續(xù)一段時(shí)間后，在不斷查看相關(guān)論壇與帖子之后，終于迎來了轉(zhuǎn)機(jī)。
在技術(shù)鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，了解到學(xué)習(xí)有限元分析，萬萬不能停留在只學(xué)習(xí)軟件操作的層面上，過去的我，因?yàn)闆]有這個(gè)思想指導(dǎo)，忽略了理論的學(xué)習(xí)，導(dǎo)致一直在學(xué)習(xí)案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個(gè)案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設(shè)置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創(chuàng)造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學(xué)習(xí)興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學(xué)理論，發(fā)現(xiàn)當(dāng)你有意識地去完成一個(gè)項(xiàng)目和案例，會大大提高你的學(xué)習(xí)動力和毅力，就這樣，我開始進(jìn)行理論學(xué)習(xí)與操作學(xué)習(xí)相結(jié)合的學(xué)習(xí)生活。此帖，主要是我學(xué)習(xí)有限元法的相關(guān)筆記，供大家參考。
如何學(xué)習(xí)有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復(fù)雜問題的思路，其理論基礎(chǔ)是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數(shù)值方法，基于這些數(shù)值計(jì)算的理論基礎(chǔ)，我們開發(fā)出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學(xué)習(xí)CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學(xué)習(xí)者并沒有太大要求，稍微有點(diǎn)文化或者懂點(diǎn)英文，就能對著教材或者視頻做完一個(gè)案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結(jié)果是什么含義，他們一片茫然，這種學(xué)習(xí)方式，基本上沒有什么用處。
展開 有限元法（FEM） 附有限元仿真實(shí)踐原理下載
其他有限元公式
在上述例子中，我們?yōu)榛瘮?shù)和試函數(shù)使用了相同的函數(shù)集來實(shí)現(xiàn)模型方程的離散化。如果一個(gè)有限元公式可以使試函數(shù)不同于基函數(shù)，則該公式稱為 Petrov-Galerkin 法。這是一種常用的方法；例如，在解決對流-擴(kuò)散問題的過程中，只會對流線方向進(jìn)行穩(wěn)定化處理。其也被稱為流線迎風(fēng) /Petrov-Galerkin（SUPG）法。
在耦合方程組的求解過程中，不同的因變量可能會用到不同的基函數(shù)。一個(gè)典型的例子是納維-斯托克斯方程的求解，其中的壓力往往比速度更平滑、更易進(jìn)行近似。在某類方法中，如果一個(gè)耦合方程組中不同的因變量的基函數(shù)（以及試函數(shù)）屬于不同的函數(shù)空間，那么這類方法便稱為混合有限元法。
COMSOL Multiphysics 軟件中用于流體流動分析的混合單元法的設(shè)置，其中二次形函數(shù)（基函數(shù)）用于計(jì)算速度，線性形函數(shù)用于計(jì)算壓力。
下載地址：有限元仿真實(shí)踐原理
展開 變分法有限元法和外推法
感覺這本書比較不錯，適合初學(xué)者
淺談有限元計(jì)算中的邊界條件：什么是邊界條件
再補(bǔ)充點(diǎn)初始條件：
初始條件，是指過程發(fā)生的初始狀態(tài)，也就是未知函數(shù)及其對時(shí)間的各階偏導(dǎo)數(shù)在初始時(shí)刻t＝0的值．在有限元中，好多初始條件要預(yù)先給定的。不同的場方程對應(yīng)不同的初始條件。
總之，為了確定泛定方程的解，就必須提供足夠的初始條件和邊界條件！
有限元、自然邊界元與辛幾何算法
有限元、自然邊界元與辛幾何算法2.pdf
有限元、自然邊界元與辛幾何算法1.pdf
使用有限元-邊界元方法進(jìn)行電磁仿真
更方便地進(jìn)行 EMI/EMC 測試
波動光學(xué)模塊
內(nèi)置的波束包絡(luò)法克服了對與波長相當(dāng)尺寸的幾何進(jìn)行非散射電磁建模的障礙，非常適合于波導(dǎo)介質(zhì)建模。不過，我們也可以使用 FEM-BEM 耦合來模擬散射電磁問題，從而避免處理網(wǎng)格剖分要求或幾何尺寸限制的問題。建立 EMI/EMC 測試臺模型就是這樣一個(gè)應(yīng)用示例。例如，為了執(zhí)行 RE102 軍事標(biāo)準(zhǔn)（高達(dá) 18GHz 的頻率）的發(fā)射測試，被測設(shè)備（DUT）和天線之間的距離是 1m。對于頻率為 18GHz 的信號，1m 的距離是波長的 60 倍，通過有限元建模這樣一個(gè)巨大的空間在計(jì)算上是非常耗時(shí)的。我們可以將被測設(shè)備和天線分離成兩個(gè)有限元域（當(dāng)然，波長大小相當(dāng)），并與 BEM 耦合，而不是在單個(gè)有限元中建模，如圖7所示。天線上檢測到的功率可以作為被測設(shè)備輻射電磁信號強(qiáng)度的一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)。
圖7.用于發(fā)射分析的 EMI/EMC 測試臺設(shè)置圖。
結(jié)語
由于網(wǎng)格要求和計(jì)算資源限制，電磁模擬受到限制，F(xiàn)EM-BEM 耦合為更廣泛的電磁仿真提供了可行的方法。在研究被測設(shè)備的 EMI/EMC 分析中的發(fā)射和抗擾度測試應(yīng)用中，對 Friis 傳輸方程進(jìn)行驗(yàn)證使結(jié)果更加可靠。
本文內(nèi)容來自 COMSOL 博客
展開 有限差分、有限元及有限體積法概述
對于有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為
(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。
(2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準(zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。
(3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn) 行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法 則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。
有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。
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